弹性力学平面问题的极坐标解答

1、平面问题的极坐标解答平面问题的极坐标解答第四章第四章合肥工业大学本科生教学合肥工业大学本科生教学弹性力学弹性力学主讲教师：袁海平主讲教师：袁海平 (副教授、博士后副教授、博士后)弹性力学2第四章第四章平面问题的极坐标解答平面问题的极坐标解答本章要点本章要点弹性力学简明教程(第三版)徐芝纶院士(1911-1999)要点：要点：（1）极坐标中平面问题的基本方程：）极坐标中平面问题的基本方程： 平衡方程、几何方程、物理方程、平衡方程、几何方程、物理方程、相容方程、边界条件。相容方程、边界条件。（2）极坐标中平面问题的求解方法及应用）极坐标中平面问题的求解方法及应用应用：应用：圆盘、圆环、厚壁圆筒、楔

2、形圆盘、圆环、厚壁圆筒、楔形体、半无限平面体等的应力与体、半无限平面体等的应力与变形分析。变形分析。弹性力学3一、极坐标中的平衡微分方程一、极坐标中的平衡微分方程二、极坐标中的几何方程与物理方程二、极坐标中的几何方程与物理方程三、极坐标中的应力函数与相容方程三、极坐标中的应力函数与相容方程四、应力分量的坐标变换式四、应力分量的坐标变换式五、轴对称应力与相应的位移五、轴对称应力与相应的位移六、圆环或圆筒受均布压力六、圆环或圆筒受均布压力七、压力隧洞七、压力隧洞八、圆孔的孔边应力集中八、圆孔的孔边应力集中九、半平面体在边界上受集中力九、半平面体在边界上受集中力十、半平面体在边界上受分布力十、半平面

3、体在边界上受分布力弹性力学简明教程(第三版)徐芝纶院士(1911-1999)第四章第四章平面问题的极坐标解答平面问题的极坐标解答内容提要内容提要弹性力学平面问题的极坐标解答4极坐标中的微元体极坐标中的微元体xyOdrdrPABCrrrfrfddrr)( rddrrrrdrrrrddrrd体力：体力：ffr,应力：应力：PA面面rr,PB面面r,BC面面drr极坐标中的平衡微分方程极坐标中的平衡微分方程一一drrrrdrrrrAC面面r、的的正面正面上，与坐标方向上，与坐标方向一致一致时为正；时为正；r、的的负面负面上，与坐标方向上，与坐标方向相反相反时为正。时为正。应力正向规定：应力正向规定：

4、弹性力学平面问题的极坐标解答5考虑微元体平衡（厚度为考虑微元体平衡（厚度为1），将力投影到中心径向轴上：），将力投影到中心径向轴上：0rFrdrcos2rddr()cos2rrdddrddrrdrrrr)(sin2dddrsin2ddr0rdrdfrxyOdrdrPABCrrrfrfddrr)( rddrrrrdrrrrdrrd极坐标中的平衡微分方程极坐标中的平衡微分方程一一01rrrrfrrr两边同除以两边同除以 ，并略去高阶小量：，并略去高阶小量：rdrd弹性力学平面问题的极坐标解答6：0F两边同除以两边同除以 ，并略去高阶小量：，并略去高阶小量：rdrd021frrrrr极坐标中的平衡微

5、分方程极坐标中的平衡微分方程一一xyOdrdrPABCrrrfrfddrr)( rddrrrrdrrrrdrrd将力投影到中心环向轴上：将力投影到中心环向轴上：ddrrdrrddrddrdrr2cos2cos2sinddrdrdrrr02sindrrdfddrr弹性力学平面问题的极坐标解答70Mrr 剪应力互等定理剪应力互等定理于是，极坐标下的平衡方程为：于是，极坐标下的平衡方程为：（41）两方程三个未知量，是一次超静定问题，须应用几何学和物两方程三个未知量，是一次超静定问题，须应用几何学和物理学方面的条件才能求解。理学方面的条件才能求解。02101frrrfrrrrrrrrr极坐标中的平衡微

6、分方程极坐标中的平衡微分方程一一xyOdrdrPABCrrrfrfddrr)( rddrrrrdrrrrdrrd方程说明：方程说明：弹性力学8一、极坐标中的平衡微分方程一、极坐标中的平衡微分方程二、极坐标中的几何方程与物理方程二、极坐标中的几何方程与物理方程三、极坐标中的应力函数与相容方程三、极坐标中的应力函数与相容方程四、应力分量的坐标变换式四、应力分量的坐标变换式五、轴对称应力与相应的位移五、轴对称应力与相应的位移六、圆环或圆筒受均布压力六、圆环或圆筒受均布压力七、压力隧洞七、压力隧洞八、圆孔的孔边应力集中八、圆孔的孔边应力集中九、半平面体在边界上受集中力九、半平面体在边界上受集中力十、半

7、平面体在边界上受分布力十、半平面体在边界上受分布力弹性力学简明教程(第三版)徐芝纶院士(1911-1999)第四章第四章平面问题的极坐标解答平面问题的极坐标解答内容提要内容提要弹性力学平面问题的极坐标解答91. 几何方程几何方程dxyOrPPABdrruAB1drruurrdurr)( duurr(1) 只有径向变形，无环向变形。只有径向变形，无环向变形。径向线段径向线段PA的相对伸长：的相对伸长：rudrudrruurrrrPAPPAAPAPAAPr1（a）径向线段径向线段PA的转角：的转角：01（b）线段线段PB的相对伸长：的相对伸长：PBPBBPrdrddurr)(rur（c）1极坐标中

8、的几何方程与物理方程极坐标中的几何方程与物理方程二二环向线段环向线段PB的转角：的转角：PBPPBBrduduurrr)(rur111tan（d）弹性力学平面问题的极坐标解答10径向线段径向线段PA的相对伸长：的相对伸长：rur1r（a）径向线段径向线段PA的转角：的转角：01（b）环向线段环向线段PB的相对伸长：的相对伸长：（c）rur1环向线段环向线段PB的转角：的转角：rur11（d）剪应变为：剪应变为：rrur1111（e）dxyOrPPABdrruAB1drruurrdurr)( duurr极坐标中的几何方程与物理方程极坐标中的几何方程与物理方程二二弹性力学平面问题的极坐标解答11d

9、yxOrPBdrAP A B uduudrruu(2) 只有环向变形，无径向变形。只有环向变形，无径向变形。径向线段径向线段PA的相对伸长：的相对伸长：PAPAAP 0drdrdr2r（f）径向线段径向线段PA的转角：的转角：2rudrudrruu2（g）环向线段环向线段PB的相对伸长：的相对伸长：PBPBBP PBPPBB rduduuur12（h）2ru2（i）环向线段环向线段PB的转角：的转角：剪应变为：剪应变为：222rruru（j）极坐标中的几何方程与物理方程极坐标中的几何方程与物理方程二二弹性力学平面问题的极坐标解答12(3) 总应变总应变21rrr0rurrur21urrur12

10、1rrrruruurr1rurrurrur1ruruurrr1（42）极坐标中的几何方程与物理方程极坐标中的几何方程与物理方程二二弹性力学平面问题的极坐标解答132. 物理方程物理方程平面应力情形：平面应力情形：)(1rrE)(1rErrrEG)1 (21平面应变情形：平面应变情形：)1(12rrErrrEG)1 (21)1(12rE（43）（44）极坐标中的几何方程与物理方程极坐标中的几何方程与物理方程二二弹性力学14一、极坐标中的平衡微分方程一、极坐标中的平衡微分方程二、极坐标中的几何方程与物理方程二、极坐标中的几何方程与物理方程三、极坐标中的应力函数与相容方程三、极坐标中的应力函数与相容

11、方程四、应力分量的坐标变换式四、应力分量的坐标变换式五、轴对称应力与相应的位移五、轴对称应力与相应的位移六、圆环或圆筒受均布压力六、圆环或圆筒受均布压力七、压力隧洞七、压力隧洞八、圆孔的孔边应力集中八、圆孔的孔边应力集中九、半平面体在边界上受集中力九、半平面体在边界上受集中力十、半平面体在边界上受分布力十、半平面体在边界上受分布力弹性力学简明教程(第三版)徐芝纶院士(1911-1999)第四章第四章平面问题的极坐标解答平面问题的极坐标解答内容提要内容提要弹性力学平面问题的极坐标解答15xyOrPxy（1）极坐标与直角坐标间的关系）极坐标与直角坐标间的关系222yxrxyarctancosrx

12、sinry cosrxxrsinryyrrryxsin2rrxycos2（2）应力分量与应力函数关系）应力分量与应力函数关系),(r xyxxrrxrrsincosyyrryrrcossinrrsincosrrcossin极坐标中的应力函数与相容方程极坐标中的应力函数与相容方程三三弹性力学平面问题的极坐标解答16rrrrxsincossincos22rrrrr22222sincossin2cos22222sincossin2rrrrrrycossincossin22rrrrr22222coscossin2sin(a)xxyy22222coscossin2rr(b)极坐标中的应力函数与相容方程极

13、坐标中的应力函数与相容方程三三弹性力学平面问题的极坐标解答17rrrryxcossinsincos2rrrrrcossinsincoscossin22222222222cossinsincosrr(c)xyOrPxy由直角坐标下应力函数与应力的关系：由直角坐标下应力函数与应力的关系：222022011rrryxr220220rxyyrx,0时当rrrryxxyr111222020极坐标中的应力函数与相容方程极坐标中的应力函数与相容方程三三弹性力学平面问题的极坐标解答18（3）极坐标中的相容方程）极坐标中的相容方程rrrrrx2222222sincossin2cos22222sincossin2

14、rrrrrrry2222222coscossin2sin22222coscossin2rr(a)(b)将式将式(a)与与(b)相加相加22222222211rrrryxrrrryx222222222211极坐标中的应力函数与相容方程极坐标中的应力函数与相容方程三三弹性力学平面问题的极坐标解答19极坐标下的极坐标下的 Laplace 微分算子：微分算子：22222211rrrr极坐标下的相容方程为：极坐标下的相容方程为：01111222222222222rrrrrrrr011222222224rrrr（46）说明：方程（说明：方程（46）为常体力情形的相容方程。）为常体力情形的相容方程。极坐标中

15、的应力函数与相容方程极坐标中的应力函数与相容方程三三弹性力学20一、极坐标中的平衡微分方程一、极坐标中的平衡微分方程二、极坐标中的几何方程与物理方程二、极坐标中的几何方程与物理方程三、极坐标中的应力函数与相容方程三、极坐标中的应力函数与相容方程四、应力分量的坐标变换式四、应力分量的坐标变换式五、轴对称应力与相应的位移五、轴对称应力与相应的位移六、圆环或圆筒受均布压力六、圆环或圆筒受均布压力七、压力隧洞七、压力隧洞八、圆孔的孔边应力集中八、圆孔的孔边应力集中九、半平面体在边界上受集中力九、半平面体在边界上受集中力十、半平面体在边界上受分布力十、半平面体在边界上受分布力弹性力学简明教程(第三版)徐

16、芝纶院士(1911-1999)第四章第四章平面问题的极坐标解答平面问题的极坐标解答内容提要内容提要弹性力学平面问题的极坐标解答21 设已知极坐标中的应力分量 、 、 。试求直角坐标中的应力分量 、 、 。rrxyxy在弹性体中取微小三角板A，各边上的应力如图所示。三角板的厚度取为一个单位。令bc边的长度为ds，则ab边及ac边的长度分别为 及 。 sindscosdsrryyxrrrrxyxcaboyxAB应力分量的坐标变换式应力分量的坐标变换式四四在一定的应力状态下，如果已知极坐标中的应力分量，就可以利用简单的关系式求得直角坐标中的应力分量。反之，如果已知直角坐标中的应力分量，也可以利用简单

17、的关系式求得极坐标中的应力分量。弹性力学平面问题的极坐标解答2222sincosdsdsdsrxcossin2sincos22rrx 0yF)sin(coscossin)(22rrxy另取微小三角板另取微小三角板B Bcossin2cossin22rry 0 xFrryyxrrrrxyxcaboyxAB应力分量的坐标变换式应力分量的坐标变换式四四0cossinsincosdsdsrr剪应力互等剪应力互等 0yF弹性力学平面问题的极坐标解答23(1) 用极坐标下的应力分量表示直角坐标下的应力分量用极坐标下的应力分量表示直角坐标下的应力分量(2) 用直角坐标下的应力分量表示极坐标下的应力分量用直角

18、坐标下的应力分量表示极坐标下的应力分量)sin(coscossin)(cossin2cossincossin2sincos222222rrxyrryrrx)sin(coscossin)(cossin2cossincossin2sincos222222xyxyrxyyxxyyxr应力分量的坐标变换式应力分量的坐标变换式四四综上，得出应力分量由极坐标向直角坐标的变换式为：综上，得出应力分量由极坐标向直角坐标的变换式为：弹性力学24一、极坐标中的平衡微分方程一、极坐标中的平衡微分方程二、极坐标中的几何方程与物理方程二、极坐标中的几何方程与物理方程三、极坐标中的应力函数与相容方程三、极坐标中的应力函数

19、与相容方程四、应力分量的坐标变换式四、应力分量的坐标变换式五、轴对称应力与相应的位移五、轴对称应力与相应的位移六、圆环或圆筒受均布压力六、圆环或圆筒受均布压力七、压力隧洞七、压力隧洞八、圆孔的孔边应力集中八、圆孔的孔边应力集中九、半平面体在边界上受集中力九、半平面体在边界上受集中力十、半平面体在边界上受分布力十、半平面体在边界上受分布力弹性力学简明教程(第三版)徐芝纶院士(1911-1999)第四章第四章平面问题的极坐标解答平面问题的极坐标解答内容提要内容提要弹性力学平面问题的极坐标解答25应力分量应力分量相容方程相容方程轴对称应力与相应的位移轴对称应力与相应的位移五五极坐标系下应力分量与相容

20、方程极坐标系下应力分量与相容方程011222222224rrrr22211rrrr22rrrrrr111222弹性力学平面问题的极坐标解答26求解方法：求解方法： 逆解法逆解法1. 轴对称问题应力分量与相容方程轴对称问题应力分量与相容方程（2）应力分量）应力分量22drddrdrr10r（3）相容方程）相容方程012224drdrdrd2. 相容方程的求解相容方程的求解将相容方程表示为：将相容方程表示为：011122222224drdrdrddrdrdrddrdrdrd)(r 轴对称应力与相应的位移轴对称应力与相应的位移五五（1）应力函数）应力函数极坐标平面内仅为极坐标平面内仅为 r 的函数的

21、函数弹性力学平面问题的极坐标解答27轴对称问题拉普拉斯算子轴对称问题拉普拉斯算子drdrdrdrdrdrdrd11222代入相容方程成为代入相容方程成为011drdrdrdrdrdrdrdr为四阶常微分方程，其全部通解只有为四阶常微分方程，其全部通解只有4项。积分得轴对称应力函数通解：项。积分得轴对称应力函数通解：DCrrBrrA22lnln（ A、B、C、D 为待定常数为待定常数）3. 应力分量应力分量将应力函数通解代入应力分量表达式，得轴对称应力的一般性解答将应力函数通解代入应力分量表达式，得轴对称应力的一般性解答02)ln23(2)ln21 (12222rrrCrBrAdrdCrBrAd

22、rdr轴对称应力与相应的位移轴对称应力与相应的位移五五弹性力学平面问题的极坐标解答284. 位移分量位移分量),(uur对于平面应力问题，将应力分量代入物理方程，得相应的形变分量对于平面应力问题，将应力分量代入物理方程，得相应的形变分量ruErrr)(1CrBBrAE)1 (2ln)1 (2)31 ()1 (12ruurErr1)(1CrBBrAE)1 (2ln)1 (2)3()1 (12(a)0112ruruurErrr由式（由式（a）的第一式积分，得）的第一式积分，得轴对称应力与相应的位移轴对称应力与相应的位移五五弹性力学平面问题的极坐标解答29) 1(ln)1 (2)31 ()1 (1r

23、BrBrrAEur将式（将式（b）代入式（）代入式（a）中第二式，得）中第二式，得ruCrBBrAEru)1 (2ln)1 (2)3()1 (2)(4fEBr将上式积分，得将上式积分，得:将式（将式（b）、）、 （c）代入式（代入式（a）中第三式，得）中第三式，得01ruruurrr或写成：或写成：dfddfdrrdfrrf)()()()(11)()1 (2fCr （b）)(f 是任意的待定函数是任意的待定函数)()(41rfdfEBru（c）)(1rf 是是 r 任意函数任意函数0)()(1)()(111rrfdfrdrrdfddfr要使该式成立，两要使该式成立，两边须为同一常数。边须为同一

24、常数。轴对称应力与相应的位移轴对称应力与相应的位移五五弹性力学平面问题的极坐标解答30Fdrrdfrrf)()(11Fdfddf)()(（d）（e）式中式中F 为常数。对为常数。对（d）积分有：积分有：FHrrf)(1（f）其中其中 H 为常数。对式（为常数。对式（e）两边求导）两边求导0)()(22fdfd其解为：其解为：sincos)(KIf（g）cossin)()(KIFddfFdf（h）将式（将式（f） （g） （h）代入式（）代入式（b） （c），得），得（4-12）cossin4KIHrEBrusincos)1 (2KICrBrrBrrAEur)31 () 1(ln)1 (2)1

25、(1轴对称应力与相应的位移轴对称应力与相应的位移五五弹性力学31一、极坐标中的平衡微分方程一、极坐标中的平衡微分方程二、极坐标中的几何方程与物理方程二、极坐标中的几何方程与物理方程三、极坐标中的应力函数与相容方程三、极坐标中的应力函数与相容方程四、应力分量的坐标变换式四、应力分量的坐标变换式五、轴对称应力与相应的位移五、轴对称应力与相应的位移六、圆环或圆筒受均布压力六、圆环或圆筒受均布压力七、压力隧洞七、压力隧洞八、圆孔的孔边应力集中八、圆孔的孔边应力集中九、半平面体在边界上受集中力九、半平面体在边界上受集中力十、半平面体在边界上受分布力十、半平面体在边界上受分布力弹性力学简明教程(第三版)徐

26、芝纶院士(1911-1999)第四章第四章平面问题的极坐标解答平面问题的极坐标解答内容提要内容提要弹性力学平面问题的极坐标解答32已知：已知：baqqba,求：圆环应力分布。求：圆环应力分布。轴对称问题应力轴对称问题应力应力分量表达式：应力分量表达式：CrBrAr2)ln21 (2CrBrA2)ln23(20rr（411）边界条件：边界条件：0arr0brraarrqbbrrq（a）将式（将式（a）代入）代入应力分量，有：应力分量，有：aqCaBaA2)ln21 (2bqCbBbA2)ln21 (2（b）圆环或圆筒受均布压力圆环或圆筒受均布压力六六弹性力学平面问题的极坐标解答33式式(b)中有

27、三个未知常数，二个方程无法完全确定。中有三个未知常数，二个方程无法完全确定。对于多连体问题，位移须满足位移单值条件。对于多连体问题，位移须满足位移单值条件。sincos)1 (2KICrBrrBrrAEur)31 () 1(ln)1 (2)1 (1cossin4KIHrEBru位移多值项位移多值项圆环或圆筒受均布压力圆环或圆筒受均布压力六六要使单值，须有：要使单值，须有：B = 0 ，由式（，由式（b）得）得),(2222abqqabbaA2222)(2abbqaqCba将其代回应力分量式，有：将其代回应力分量式，有：为同一点，位移相同。与211弹性力学平面问题的极坐标解答34barqbara

28、qabrb222222221111baqbaraqabrb222222221111（4-13）（1）若：）若：0, 0aqa,brqbq( 二向等压情况二向等压情况)（2）若：）若：)0(0abqq而（压应力）（压应力）（拉应力）（拉应力）arqabrb112222aqabrb112222)0()0(r圆环或圆筒受均布压力圆环或圆筒受均布压力六六（压应力）（压应力）（拉应力）（拉应力）弹性力学平面问题的极坐标解答35 具有圆形孔道的无限大弹性体。具有圆形孔道的无限大弹性体。r（3）若：）若：)0( , 0baqqbrqbara222211bqbara222211)0()0(（压应力）（压应力）

29、（压应力）（压应力）（4）若：）若：)0(aqbarqra22aqra22圆环或圆筒受均布压力圆环或圆筒受均布压力六六弹性力学36一、极坐标中的平衡微分方程一、极坐标中的平衡微分方程二、极坐标中的几何方程与物理方程二、极坐标中的几何方程与物理方程三、极坐标中的应力函数与相容方程三、极坐标中的应力函数与相容方程四、应力分量的坐标变换式四、应力分量的坐标变换式五、轴对称应力与相应的位移五、轴对称应力与相应的位移六、圆环或圆筒受均布压力六、圆环或圆筒受均布压力七、压力隧洞七、压力隧洞八、圆孔的孔边应力集中八、圆孔的孔边应力集中九、半平面体在边界上受集中力九、半平面体在边界上受集中力十、半平面体在边界

30、上受分布力十、半平面体在边界上受分布力弹性力学简明教程(第三版)徐芝纶院士(1911-1999)第四章第四章平面问题的极坐标解答平面问题的极坐标解答内容提要内容提要弹性力学平面问题的极坐标解答37,E,E问题：问题：厚壁圆筒埋在无限大弹性体内，受内压厚壁圆筒埋在无限大弹性体内，受内压 q 作用，求作用，求圆筒的应力。圆筒的应力。1. 分析分析与以前相比较，相当于两个轴对称问题：与以前相比较，相当于两个轴对称问题：(a) 受内外压力作用的厚壁圆筒；受内外压力作用的厚壁圆筒；(b) 仅受内压作用的无限大弹性体。仅受内压作用的无限大弹性体。确定外压确定外压 p 的两个条件：的两个条件：径向变形连续：

31、径向变形连续：brrbrruu径向应力连续：径向应力连续：brrbrr,E,E压力隧洞压力隧洞七七弹性力学平面问题的极坐标解答382. 求解求解(1) 圆筒的应力与边界条件圆筒的应力与边界条件CrAr22CrA22应力：应力：（a）边界条件：边界条件：(2) 无限大弹性体的应力与边界条件无限大弹性体的应力与边界条件应力：应力：CrAr22CrA22（b）pbrr,E,E,E,Eqarrpbrr边界条件：边界条件：0rr将式（将式（a）、（）、（b）代入相应的边界条件，得到如下方程：）代入相应的边界条件，得到如下方程：压力隧洞压力隧洞七七弹性力学平面问题的极坐标解答39,EpCbAqCaA222

32、20222CpCbA4个方程不能解个方程不能解5个未知量，个未知量，需由位移连续条件确定。需由位移连续条件确定。brrbrruusincosKICrrAEur)11 (2)11 (12(c)(d)由轴对称应力状态下对应的位移分量公式，平面应由轴对称应力状态下对应的位移分量公式，平面应变问题的圆筒和无限大弹性体的径向位移为：变问题的圆筒和无限大弹性体的径向位移为：rCrAEur)11 (2)11 (12sincosKI,E压力隧洞压力隧洞七七弹性力学平面问题的极坐标解答40sincos)21 (21KIrACrEursincos)21 (21KIrArCEur利用：利用：brrbrruusinc

33、os)21 (21KIbACbEsincos)21 (21KIbAbCE(e)要使对任意的要使对任意的 成立，须有成立，须有bACbE)21 (21bAbCE)21 (21IIKK(f)由(d)式知压力隧洞压力隧洞七七0C弹性力学平面问题的极坐标解答410)21 (222bAbACn(g)其中：其中：)1 ()1 (EEn式（式（g）与式（）与式（c）（）（d）联立求解）联立求解（4-16）)1()21(1)1()21(12222nabnnrbnqr)1 ()21 (1)1 ()21 (12222nabnnrbnq)1()21(1)1(22222nabnrbnqr圆筒圆筒及无及无限大限大弹性弹

34、性体应体应力分力分量量式式(f)压力隧洞压力隧洞七七弹性力学平面问题的极坐标解答42,E,Err讨论：讨论：（1）完全接触完全接触压力隧洞问题为最简单的接触问题（面接触）。压力隧洞问题为最简单的接触问题（面接触）。接触面间既不互相脱离，也不互相滑动。接触面间既不互相脱离，也不互相滑动。接触条件为接触条件为应力：应力：brrbrrbrrbrr（2）非完全接触（光滑接触）非完全接触（光滑接触）接触条件：接触条件：当当 n a），），圆孔半径为圆孔半径为 a，在无限远处受有均匀，在无限远处受有均匀拉应力拉应力 q 作用。作用。求：孔边附近的应力。求：孔边附近的应力。圆孔的孔边应力集中圆孔的孔边应力集

35、中八八弹性力学平面问题的极坐标解答45),(rAOxybAqxArrrA原问题转化为：原问题转化为：无限大圆板中间开有一圆孔的新问题。无限大圆板中间开有一圆孔的新问题。rrb（2）问题的求解）问题的求解 问题分析问题分析坐标系：坐标系：就外边界（直线），宜用直角坐标；就外边界（直线），宜用直角坐标；就内边界（圆孔），宜用极坐标。就内边界（圆孔），宜用极坐标。 取一半径为取一半径为 r =b (ba），在其上取一），在其上取一点点 A 的应力，有：的应力，有：由应力转换公式：由应力转换公式：2cos22cos2qqq2sin2cossinqqcossin2sincos22xyyxr)sin(co

36、scossin)(22xyxyr0, 0,xyyxq圆孔的孔边应力集中圆孔的孔边应力集中八八弹性力学平面问题的极坐标解答46新问题的边界条件可表示为：新问题的边界条件可表示为：xyba内内边边界界0arr0arr外外边边界界2cos22qqbrr2sin2qbrr（a）rr问题问题12qbrr0brr2cos2qbrr2sin2qbrr（b）2qrba将外边界条件（将外边界条件（a）分解为两部分：）分解为两部分：2cos2qr2sin2qr（c）ba问题问题2圆孔的孔边应力集中圆孔的孔边应力集中八八弹性力学平面问题的极坐标解答47 问题问题1的解：的解：内边界内边界0arr0arr外边界外边界

37、2qbrr0brr（b 该问题为轴对称问题，其解为该问题为轴对称问题，其解为2112222qbarar2112222qbara0r 当当 ba 时，有时，有2122qrar2122qra0r（d）问题问题12qrba圆孔的孔边应力集中圆孔的孔边应力集中八八弹性力学平面问题的极坐标解答48 问题问题2的解：的解：（非轴对称问题）（非轴对称问题）内内边边界界0arr0arr外外边边界界2cos2qbrr2sin2qbrr（c） 由边界条件（由边界条件（c），可假设：），可假设： 为为 r 的某一函数的某一函数乘以乘以 ； 为为r 的某一函数乘以的某一函数乘以 。 r2cosr2sin 又由极坐标下

38、的应力分量表达式：又由极坐标下的应力分量表达式：22211rrrrrrr1 可假设应力函数为：可假设应力函数为：2cos2qr2sin2qrba问题问题22cos)(rf 将其代入相容方程：将其代入相容方程：011222222rrrr圆孔的孔边应力集中圆孔的孔边应力集中八八弹性力学平面问题的极坐标解答4902cos)(9)(9)(2)(32223344drrdfrdrrfdrdrrfdrdrrfd0)(9)(9)(2)(32223344drrdfrdrrfdrdrrfdrdrrfd)ln(rtert或令：0)(16)(4)(4)(223344dttdfdttfddttfddttfd 该方程的特

39、征方程：该方程的特征方程：01644234特征根为：特征根为：, 41, 22, 0324方程的解为：方程的解为：tttDeCBeAetf224)(2cos12cos)(224rDCBrArrf2241)(rDCBrArrf圆孔的孔边应力集中圆孔的孔边应力集中八八弹性力学平面问题的极坐标解答50 相应的应力分量：相应的应力分量：22211rrrr2cos)642(42rDrCB22r2cos)6212(42rDBArrrr12sin)6226(422rDrCBAr 对上述应力分量应用边界条件（对上述应力分量应用边界条件（c）, 有有内边界内边界0arr0arr外边界外边界2cos2qbrrsi

40、n2qarr（c） （e）2cos2qr2sin2qrba问题问题2圆孔的孔边应力集中圆孔的孔边应力集中八八弹性力学平面问题的极坐标解答51264242qbDbCB26226422qbDbCBAb064242aDaCB06226422aDaCBAa0A4qB2qaC 44qaD2cos2qr2sin2qrba问题问题2代入应力分量式（代入应力分量式（e）, 有有2cos31244raq2cos)31)(1 (22222raraqr2sin)31)(1 (22222raraqrr （f）圆孔的孔边应力集中圆孔的孔边应力集中八八弹性力学平面问题的极坐标解答52将将问题问题1和和问题问题2的解相加的

41、解相加, 得全解：得全解：2cos312124422raqraq2cos)31)(1 (2)1 (2222222raraqraqr2sin)31)(1 (22222raraqrr讨论：讨论：（1）沿孔边，沿孔边，r = a，环向正应力：，环向正应力：)2cos21 ( q),(rAb 齐尔西（齐尔西（G. Kirsch）解）解3q2qq0q906045300圆孔的孔边应力集中圆孔的孔边应力集中八八弹性力学平面问题的极坐标解答53（3）沿沿 x 轴，轴， =0，环向正应力：，环向正应力：) 13(22222raraq, ar ; q,3ar 0圆孔的孔边应力集中圆孔的孔边应力集中八八（2）沿沿

42、y 轴，轴， =90，环向正应力：，环向正应力：)23211 (4422raraq1.04q1.07q1.22q3q4a3a2aar弹性力学平面问题的极坐标解答54（4）若矩形薄板（或长柱）受双向拉应力若矩形薄板（或长柱）受双向拉应力 q1、q2 作用作用xyq1q2q2q1xyq1q1xyq2q2叠加后的应力：叠加后的应力：2cos3121244212221raqqraqq2cos)31)(1 (2)1 (22222212221raraqqraqqr2sin)31)(1 (2222221raraqqrr圆孔的孔边应力集中圆孔的孔边应力集中八八弹性力学55一、极坐标中的平衡微分方程一、极坐标中

43、的平衡微分方程二、极坐标中的几何方程与物理方程二、极坐标中的几何方程与物理方程三、极坐标中的应力函数与相容方程三、极坐标中的应力函数与相容方程四、应力分量的坐标变换式四、应力分量的坐标变换式五、轴对称应力与相应的位移五、轴对称应力与相应的位移六、圆环或圆筒受均布压力六、圆环或圆筒受均布压力七、压力隧洞七、压力隧洞八、圆孔的孔边应力集中八、圆孔的孔边应力集中九、半平面体在边界上受集中力九、半平面体在边界上受集中力十、半平面体在边界上受分布力十、半平面体在边界上受分布力弹性力学简明教程(第三版)徐芝纶院士(1911-1999)第四章第四章平面问题的极坐标解答平面问题的极坐标解答内容提要内容提要弹性

44、力学平面问题的极坐标解答56xyO22P1. 楔顶受有集中力楔顶受有集中力P作用作用 楔形体顶角为楔形体顶角为，下端为无限长（单位厚度），下端为无限长（单位厚度），顶端受有集中力顶端受有集中力 P ，与中心线的夹角为，与中心线的夹角为，求：，求：（1）应力函数的确定）应力函数的确定因次分析法：因次分析法：rr,rP)N/m( :2单位)N/m( :单位rP半平面体在边界上受集中力半平面体在边界上受集中力九九由应力函数与应力分量间的微分关系，由应力函数与应力分量间的微分关系，可推断：可推断：)(rf （a）将其代入相容方程，以确定函数将其代入相容方程，以确定函数)(f011222222rrrrr

45、rrr弹性力学平面问题的极坐标解答570)()(2)(122443fdfddfdr0)()(2)(2244fdfddfd 4阶常系数齐次的常微分方程阶常系数齐次的常微分方程通解：通解：)sincos(sincos)(DCBAf其中其中A，B，C，D为积分常数。为积分常数。将其代入前面的应力函数表达式：将其代入前面的应力函数表达式：)(rf )sincos(sincosDCrBrArxy)sincos(DCr （4-20）（对应于无应力状态）（对应于无应力状态）xyO22P半平面体在边界上受集中力半平面体在边界上受集中力九九弹性力学平面问题的极坐标解答58（2）应力分量的确定）应力分量的确定xy

46、O22P22211rrrr22rrrrr1)sincos(2CDr00边界条件：边界条件：02r, 02 自然满足自然满足abrrr （b）任取一圆弧任取一圆弧 ，其上的应力应与楔顶的力，其上的应力应与楔顶的力 P 平衡。平衡。ab:0 xF0coscos22Prdr:0yF0sinsin22Prdr将式（将式（b）代入，有：）代入，有：半平面体在边界上受集中力半平面体在边界上受集中力九九弹性力学平面问题的极坐标解答590cos)cossincos(2222PdCD0sin)sincossin(2222PdCD积分得：积分得：0cos)(sinPD0sin)(sinPCsinsinPCsinc

47、osPD代入式（代入式（b）00rr)sinsinsinsincoscos(2rPr （4-21） 密切尔（密切尔（ J. H. Michell ）解答）解答xyO22Pabrrr半平面体在边界上受集中力半平面体在边界上受集中力九九弹性力学平面问题的极坐标解答60两种特殊情况：两种特殊情况：P0（1）, 000rrsincos2rPr应力对称分布应力对称分布r应力反对称分布应力反对称分布rPxyO22abrrrxyO22abrrr半平面体在边界上受集中力半平面体在边界上受集中力九九,29000rrsinsin2rPr（2）弹性力学平面问题的极坐标解答6100rrrPrcos2(1) 应力分量应

48、力分量由楔形体受集中力的情形，可以得到由楔形体受集中力的情形，可以得到 极坐标表示的极坐标表示的 应力分量应力分量利用极坐标与直角坐标的应力转换式（利用极坐标与直角坐标的应力转换式（4-8），可求得），可求得PxyOr无限大半平面体在边界无限大半平面体在边界法线方向受集中力作用法线方向受集中力作用 02. 半平面边界受法向集中力作用半平面边界受法向集中力作用rPx3cos2rPycossin22rPxy2cossin2或将其改为直角坐标表示或将其改为直角坐标表示xyyxrarctan222 （4-23）半平面体在边界上受集中力半平面体在边界上受集中力九九弹性力学平面问题的极坐标解答622223

49、)(2yxxPx2222)(2yxxyPy2222)(2yxyxPxy(2) 位移分量位移分量直角坐直角坐标表示标表示的应力的应力分量分量假定为平面应力情形，假定为平面应力情形，其极坐标形式的物理方程为其极坐标形式的物理方程为PxyOr)(1rrE)(1rE0r将式代入将式代入rEPrcos2rEPcos20r （4-24）00rrrPrcos2半平面体在边界上受集中力半平面体在边界上受集中力九九弹性力学平面问题的极坐标解答63由几何方程由几何方程rEPrurcos2rEPurrurcos2101ruruurr(a)(b)(c)积分式（积分式（a）)(lncos21frEPur(d)式（式（d

50、）代入式（）代入式（b）ruEPucos2)()ln(cos21frEP积分上式积分上式)()()ln(sin221rfdfrEPu(e)rEPrcos2rEPcos20r半平面体在边界上受集中力半平面体在边界上受集中力九九弹性力学平面问题的极坐标解答64将式（将式（d）(e) 代入式（代入式（c） 得，得，ddfrEPr)(lnsin211drrdfEPr)(sin2120)()()ln(sin2121rfdfrEPrdrrdfrrfdfEPddf)()()()1 (sin2)(2211要使上式成立，方程两侧须等于同一常数。要使上式成立，方程两侧须等于同一常数。方程左方程左方程右方程右半平面体在边界上受集中力半平面体在边界上受集中力九九弹性力学平面问题的极坐标解答65不妨令不妨令sincossin)1 ()(1KIEPfHrrf)(2代入位移分量式（代入位移分量式（d）（）（e），有），有sincossin)1 (lncos2KIEPrEPurcos)1 (sin)1 (lnsin2EPEPrEPucossinKIHr式中，常数式中，常数H，I，K 由边界条