对数运算(全国优质课)

1、1你认识你认识 吗？吗？2重磅炸弹重磅炸弹1：对数的性质：对数的性质3重磅炸弹重磅炸弹2：对数恒等式：对数恒等式4定时炸弹：对数的运算法则定时炸弹：对数的运算法则logaN对数运算（一）对数运算（一）细胞分裂问题：细胞分裂问题：某种细胞分裂时某种细胞分裂时, ,由由1 1个分裂成个分裂成2 2个个,2,2个分裂个分裂成成4 4个个.1.1个这样的细胞分裂个这样的细胞分裂x x次后次后, ,得到细胞个数得到细胞个数y y是分裂是分裂次数次数x x的函数的函数, ,这个函数可以用指数函数这个函数可以用指数函数y=2y=2x x，xNxN表示表示情景引入情景引入反过来反过来,1,1个细胞经过多少次分

2、裂个细胞经过多少次分裂, ,大约可以得到大约可以得到8 8个、个、10241024个、个、81928192个个？已知细胞个数为？已知细胞个数为y y，如何求分裂次数，如何求分裂次数x?x?4 41 12 2y=2y=2x x8=28=2x x1024=21024=2x x8192=28192=2x x2 2x x=8, x = =8, x = ？2 2x x=1024,2=1024,2x x=8192=8192， x = x = ？ 为了解决这类问题，引进一个新的概念为了解决这类问题，引进一个新的概念对数对数 这是已知底数和幂的值，求指数的问题，这是已知底数和幂的值，求指数的问题，即指数式即指

3、数式a ab b=N=N中，已知中，已知a a和和N N，求，求b b的问题，的问题，这里这里a0a1.且 一般地，对于指数式一般地，对于指数式ab=N(=N(a0,0,且且a1),1),那么数那么数b叫做以叫做以a为底为底N N的的_，记作，记作b=_.b=_.其中其中a叫做对数的叫做对数的_，N N叫做叫做_._.探究一探究一 对数的概念对数的概念对数对数logloga aN N底数底数真数真数baN叫做叫做指数式指数式,logaN b叫做叫做对数式对数式. . (0,1,0aaN) )baNlogaNb底底底底指数指数对数对数幂幂真数真数指数式与对数式的互化指数式与对数式的互化探究二探究

4、二 指数式与对数式的关系指数式与对数式的关系思考思考1 1：式子式子a ax x=N=N与与x=logx=loga aN N中，中，a,Na,N的取值范围如何？的取值范围如何？a0，且，且a1,N0.若若a a0 0，则，则N N为某些值时，为某些值时，x x的值不存在的值不存在, ,如如x=logx=log-2-28.8.x=logx=loga aN N可化为可化为a ax x=N=N，当当a=0a=0时，若时，若x=0 x=0，则无意义；，则无意义；当当a=1a=1时，无论时，无论x x取何值，取何值，N N都为都为1,1,没有研究的必要，没有研究的必要，故规定故规定a a0 0，且，且a

5、1.a1.思考思考2：对数概念中为什么规定对数概念中为什么规定a0,且且a1？练一练：练一练：将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式461(1)5625(2)2641(3)( )5.733m461(1)5625(2)2641(3)( )5.733m21(2)log646 13(3)log 5.73m12(1)log 164 41(1)( )162题型一：对数概念题型一：对数概念 例例 1.1. （1）将指数式将指数式16412化成对数式化成对数式 ； （2）对数式对数式baa)5(log2中，实数中，实数 a 的取值范围是（的取值范围是（ ） A)5

6、,( B(2,5) C), 2( D),(),(5332 （1）以）以 10 为底的对数称为常用对数，为底的对数称为常用对数，10logN常记为常记为lg N. （2） 以无理数） 以无理数 e=2.71828为底的对数称为自然对数，为底的对数称为自然对数，logeN常记为常记为ln N 探究三探究三 两类特殊对数两类特殊对数探究四探究四 对数性质与对数恒等式对数性质与对数恒等式1.1.对数的性质：对数的性质：1)1)负数和零没有对数；负数和零没有对数； (2)1(2)1的对数是零的对数是零, ,即即logloga a1=01=0； (3)(3)底的对数等于底的对数等于1,1,即即loglog

7、a aa a=1 =1 2.对数恒等式对数恒等式0N1a0aNaNloga，且且题型二：对数性质与对数恒等式题型二：对数性质与对数恒等式 例例 2 2. . 1loga aloga Naalog 变式训练：变式训练：2lne 9441log= = 52139log = = 思考思考2:2:将将loglog2 23232loglog2 24 4十十loglog2 28 8推广到一般情形有什么结论？推广到一般情形有什么结论？思考思考1:1:求下列三个对数的值：求下列三个对数的值：loglog2 23232，loglog2 24 4 ，loglog2 28 8你能发现这三个对数之间有哪些内在联系？你

8、能发现这三个对数之间有哪些内在联系？思考思考3:3:如果如果a a0 0，且，且a1a1，M M0 0，N N0 0，你能证明等式，你能证明等式logloga a（MNMN）logloga aM M十十logloga aN N成立吗？成立吗？探究五探究五 对数的运算法则对数的运算法则思考思考4:4:将将loglog2 23232loglog2 24=log4=log2 28 8推广到一般情形有什么结推广到一般情形有什么结论？怎样证明？论？怎样证明？ 积、商、幂的对数运算法则：积、商、幂的对数运算法则：如果如果 a 0，a 1，M 0， N 0 有：有：)4(Mlogn1Mlog)3(R)M(n

9、nlogMlog)2(NlogMlogNMlog)1(NlogMlog(MN)loganaanaaaaaaa证明：证明：设设 ,logpMa,logqNa由对数的定义可以得：由对数的定义可以得： ,paM qaN MN= qpaa qpaqpMNloga即证得即证得 )1(NlogMlog(MN)logaaa正因数的积的对数等于同一底数各个因数的正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的和对数的和 证明：证明：设设 ,logpMa,logqNa由对数的定义可以得：由对数的定义可以得： ,paM qaN qpaaqpaqpNMloga即证得即证得 NM)(2NlogMlogNMlogaaa两个

10、正数的商的对数等于被除数的对数减去除两个正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数数的对数 证明：证明：设设 ,logpMa由对数的定义可以得：由对数的定义可以得： ,paM npnaM npMlogna即证得即证得 )(3R)M(nnlogMlogana正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数指数 题型三：对数运算题型三：对数运算 例例 3.计算： （计算： （1）100lg10lg1lg=_； （2）001. 0lg01. 0lg1 . 0lg=_ （3）已知已知 lg2=0.3010，lg3=0.4771， 则则 lg6=_；lg5=_. 变式训练：变式训练：求值：求值： （1）10037007300lglglg； 5235277loglog； 2log183+log182； )(log63216161； 【当堂检测当堂检测】 填空填空: : （1 1）161log2 （2 2）27log31 （3）5lg 100=_ _25lg4lg)4(=_ （5）75log (42 )z= _ 1、指数式与对数式：、指数式与对数式：a b = Nb = log a N指数式指数式对数式对数式底数对底数底数对底数幂值对真数幂值对真数指数对以指数对以a为