课件及试题chap10lec1带度量的线性空间

1、 大课大课 周二周二 5 - 6 节节 周四周四 3 - 4 节节 二教二教 205习题课习题课 周一周一 10 - 11 节节 文史文史 201 理教理教 313 教材教材: 高等代数高等代数(下册下册), 丘维声著丘维声著 （清华大学出版社）（清华大学出版社） 参考材料：参考材料： 高等代数学高等代数学, 张贤科等著张贤科等著 （清华大学出版社）（清华大学出版社） 课件下载课件下载: 用户名：用户名：linalg1 密码：密码： linalg1 linalg2 linalg2 linalg10 linalg10 进入后点击进入后点击 讲义资讲义资料料 下载下载9.10 5 , 810.1

2、3 , 5, 810.2 10, 17补充题补充题: 1, 2, 3补充题补充题: 1. 求求 K A 与与 C( A ) .2000030000300013A补充题补充题: 2. 设设 A = . 求正交矩阵求正交矩阵 P , Q , 使得使得 A = P S QT , 其中其中120002100101000000000S3210321补充题补充题: 3 . 证明证明: 在在 n 维欧式空间中两两夹角都是维欧式空间中两两夹角都是 钝角的非零向量至多有钝角的非零向量至多有 n + 1 个个 .几何直观有帮助吗几何直观有帮助吗?例例: 设设 A = , 求求 K A . 矩阵矩阵 B K A 当

3、且仅当当且仅当 B 具有形式具有形式 dim K A = 311111111121121321aaaaaaaaa0000000000000000222111J0000010000000000000000010000012222222211211212J00000200000000000000000200001232223232312131121313J0000030000000000000000030000330J,1| , |k21k当当k21k21kk2k2k11k11kk12k12k1k11kk1k00000C00000000000000000C0000CCJ一般地一般地, 对对 g(

4、x ) K x , 有有)g(00000)( g)g(000000)g(000000)g(00000)( g)g(0000)(g2!1)( g)g()Jg(2222111111例例: 设设 A = , 求求 K A . 矩阵矩阵 B K A 当且仅当当且仅当 B 具有形式具有形式 dim K A = 5221111111211213210000000000000000bbbaaaaaa21 例例: 设设 A = , 求求 C( A ) . B 与与 A 可交换当且仅当可交换当且仅当 B 具有形式具有形式推论推论: dim C( A ) = 522111111121121321000000000

5、0000000bbbaaaaaa21 例例: 设设 A = , 求求 C( A ) . B 与与 A 可交换当且仅当可交换当且仅当 B 具有形式具有形式推论推论: dim C( A ) = 9111111111121211121213210000000000bcbbccadaaddaaa 引理引理: 设设 A = 是是 Jordan 型矩阵型矩阵, A i 是由特征值相同的是由特征值相同的 Jordan 块排成的子阵块排成的子阵 . 若若 B 与与 A 可交换可交换, 则则 B 也有也有 相同的对角分块形式相同的对角分块形式s21BBBs21AAA例例: 设设 A , B 是是 V 上的线性变

6、换上的线性变换, 且且 A 与与 C = AB BA 可交换可交换. 证明证明: C 是幂零变换是幂零变换. 取好的基底取好的基底, 使得使得 C 的矩阵的矩阵 C 为为 Jordan 型型取好的基底取好的基底, 使得使得 C 的矩阵的矩阵 C 为为 Jordan 型型: C = Ci 是由特征值相同的是由特征值相同的 Jordan 块排成的子阵块排成的子阵.设在此基底下设在此基底下, A , B 的矩阵是的矩阵是 A 与与 B . 由由 AC = CA 知有知有 AC = CA . 由前面的引理由前面的引理,s21CCCA 是对角阵且与是对角阵且与 C 有相同的分块形式有相同的分块形式, A

7、 =将将 B 写成与写成与 C 相同的分块形式相同的分块形式, B =s21AAAsss2s12s22211s1211BBBBBBBBB则有则有 C = A B B A = Ci = Ai Bi Bi Ai tr( Ci ) = 0 Ci 的对角元都为的对角元都为 0ssssss222222111111ABBAABBAABBA 1 对偶空间对偶空间 2 双线性函数双线性函数 3 Euclid 空间空间, 正交变换与对称变换正交变换与对称变换 4 酉空间酉空间, 酉变换与酉变换与 Hermite 变换变换 设设 V 是域是域 K 上的线性空间上的线性空间. V 到到 K 的的 线性映射称为线性映

8、射称为 V 上的线性函数上的线性函数. V 上全体线性函数构成线性空间上全体线性函数构成线性空间, 称为称为 V 的对偶空间的对偶空间, 记为记为 Hom( V, K ) 或或 V* .线性函数的例子线性函数的例子: Mn( K )* = Hom( Mn( K ) , K ) tr : A tr( A ) t i j : A ai j C a , b * = Hom( C a , b , R )baxdxgxfxf)()()( 取定取定 V 的基底的基底 1 , 2 , , n 后后, V 上上的的 线性函数与线性函数与 Kn 中向量一一对应中向量一一对应 f f ( 1 ) f ( 2 )

9、f ( n ) 这种对应保持加法与数乘运算这种对应保持加法与数乘运算, 是线性空间是线性空间 的同构的同构 V* Kn V 取定取定 V 的基底的基底 1 , 2 , , n , 就确定了就确定了 n 个个 特殊的线性函数特殊的线性函数: 1 2 n 1* 1 0 0 2* 0 1 0 n* 0 0 1 V 的基底的基底 1 , 2 , , n f k1 , k2 , , kn 1* 1 , 0 , , 0 n* 0 , 0 , , 1 f = k1 1* + k2 2* + + kn n* 1*, 2* , , n* 构成构成 V* 的一组基的一组基取定取定 V 的基底的基底 1 , 2 ,

10、 , n , 就确定了就确定了 n 个个 特殊的线性函数特殊的线性函数: 1*, 2* , , n* ,称为称为 1 , 2 , , n 的对偶基的对偶基 . nj1ij0ij1j*i)(nn2211kkkiik)(*定理定理: 设设 1*, , n* 是是 1 , , n 的对偶基的对偶基, 1*, , n* 是是 1 , , n 的对偶基的对偶基. 若若 ( 1 , , n ) = ( 1 , , n ) P , 则有则有 ( 1*, , n* ) = ( 1*, , n* ) ( PT ) 1 设设 ( 1*, , n* ) = ( 1*, , n* ) Q 则则 j* = q 1 j

11、1*+ + q n j n* 于是于是 j* ( i ) = q i j ; 另一方面另一方面, 设设 P 1 = p i j , 有有 ( 1 , , n ) = ( 1 , , n ) P 1 , i = p 1 i 1 + + p n i n于是于是 q i j = j* ( i ) = p j i , 故故 Q = ( PT ) 1 例例: 设设 V 是域是域 K 上的上的 n 维线性空间维线性空间, 则则 以下命题等价以下命题等价任给任给 V 的的 1 维子空间维子空间 W1 , W2 , , Ws , 必必 存在存在 V 的的 n 1 维子空间维子空间 W , 使得使得 Wi W

12、, 1 i s .2) 任给任给 V 的的 n 1 维子空间维子空间 W1 , W2 , , Ws , 必有必有 V 的的 1 维子空间维子空间 W , 使得使得 W Wi , 1 i s . 例例: 设设 V 是域是域 K 上的上的 n 维线性空间维线性空间, 则则 以下命题等价以下命题等价任给非零向量任给非零向量 1 , 2 , , s V, 必存在必存在 V 的的 n 1 维子空间维子空间 H , 使得使得 i H , 1 i s .2) 任给任给 V 的真子空间的真子空间 W1 , W2 , , Ws , 必必有有 W1 W2 Ws V 若若 V 是有限维线性空间是有限维线性空间, 则

13、有则有 V V* , 但但 V 与与 V* 的同构严重依赖于基底的选取的同构严重依赖于基底的选取. 而而 V 到到 V* 有自然的同构有自然的同构, 不依赖于基底的不依赖于基底的选取选取: V V* * ( * : * * ( ) )若若 V 是无限维线性空间是无限维线性空间, 是否仍有是否仍有 V V* ? 1 对偶空间对偶空间 2 双线性函数双线性函数 3 Euclid 空间空间 4 正交变换与对称变换正交变换与对称变换 5 酉空间酉空间 设设 V 是域是域 K 上的线性空间上的线性空间. 若若 V 上的二元函数上的二元函数 f 满足满足 f ( k + l , ) = k f ( , )

14、 + l f ( , ) f ( , k + l ) = k f ( , ) + l f ( , ) , , V , k , l K 则称则称 f ( , ) 是是 V 上的双线性函数上的双线性函数 若对若对 , V , 有有 f ( , ) = f ( , ) 则称则称 f ( , ) 是对称双线性函数是对称双线性函数 ; 若有若有 f ( , ) = f ( , ) 则称则称 f ( , ) 是反对称双线性函数是反对称双线性函数 . 设设 V = C a , b , 则则 f : V V R 是是 V 上的上的 ( 对称对称 ) 双线性函数双线性函数; 设设 V = Mn( K ) , 则

15、则 f ( A , B ) = tr( A B ) 是是 V 上的上的 ( 对称对称 ) 双线性函数双线性函数.baxdxgxhghf )()(),( K 2 上的反对称双线性函数上的反对称双线性函数 = ? ?,2121bbaa f,f)(221110,01baba f1001,10012121bbaa f Kn 上的反对称上的反对称 n-线性函数都等于线性函数都等于 nnn2n12n22121n2111n21,aaaaaaaaa ff)(nn2n1nn22221n11211aaaaaaaaa100,010,001f 在在 V 中取定一组基中取定一组基 1 , , n .设向量设向量 , 在

16、该基底下的坐标为在该基底下的坐标为 X = x 1 , , x n T , Y = y 1 , , y n T则双线性函数则双线性函数 f ( , ) 可表示为可表示为)(),(n1jjjn1iii,yxff),(jin1in1jjifyxYAX),(Tf),(jin1in1jjifyxY),(),(),(),(),(),(),(),(),(Xnn2n1nn22212n12111Tffffffffff 在基底在基底 1 , , n下的度量矩阵下的度量矩阵注注: A 不一定是对称矩阵不一定是对称矩阵 设设 f ( , ) 是线性空间是线性空间 V 上的双线性函数上的双线性函数 , f 的左根的左

17、根 = V | f ( , V ) = 0 f 的右根的右根 = V | f ( V , ) = 0 若若 f ( , ) 的左右根都是零子空间的左右根都是零子空间, 则则 称称 f 是非退化双线性函数是非退化双线性函数 例例: 设设 V = R 3 , 记记 = x 1 , x 2 , x 3 T , = y 1 , y 2 , y 3 T . 令令 f 的左根的左根 = f 的右根的右根 = 3213212331010000100yyyxxxyxyxf),(定理定理: 设设 V 上的双线性函数上的双线性函数 f ( , ) 在在 基底基底 1 , , n下的度量矩阵为下的度量矩阵为 A .

18、 则则 f 左根维数左根维数 = f 右根维数右根维数 = n A 秩秩 特别地特别地, f ( , ) 非退化非退化 A 满秩满秩 固定基底后固定基底后, 双线性函数与双线性函数与 K 上的上的 n 阶方阵阶方阵 ( 度量矩阵度量矩阵 ) 一一对应一一对应: f ( , ) A Mn( K ) f ( , ) = XT A Y . 当基底改变时当基底改变时, 双线性函数的度量矩阵是双线性函数的度量矩阵是 如何变化的如何变化的? 最简单可取成什么形式最简单可取成什么形式? 定理定理: 若双线性函数若双线性函数 f 在基底在基底 1 , , n 下的下的 度量矩阵为度量矩阵为 A , 且且 (

19、1 , , n ) = ( 1 , , n ) P . 则则 f 在基底在基底 1 , , n 下的度量矩阵为下的度量矩阵为 PT A P . 证证: 设设 , 在基底在基底 1 , , n 下的坐下的坐标标 列向量为列向量为 X , Y , 则则 , 在在 1 , , n下下 的坐标为的坐标为 P X , P Y . 于是于是 f ( , ) = XT B Y = ( P X )T A P Y = XT ( PT A P ) Y B = PT A P 设域设域 K 的特征的特征 2 , f ( , ) 是是 V 上的上的 对称双线性函数对称双线性函数. 则存在则存在 V 的一组基的一组基,

20、使得使得 f 在此基下的度量矩阵是对角矩阵在此基下的度量矩阵是对角矩阵 . f ( , ) = d1 x1 y1 + + dn xn yn 若若 A 是特征是特征 2 的域上的对称矩阵的域上的对称矩阵, 则可则可通过以下三种合同变换通过以下三种合同变换, 将将 A 化成对角矩阵化成对角矩阵:正交替换正交替换 ( 实数域实数域 )配方法配方法成对的初等行、列变换成对的初等行、列变换 例例: 设域设域 K 特征特征 2 , K3 上的双线性函数上的双线性函数 f ( , ) 在基底在基底 1 , 2 , 3 下的下的 度量矩阵为度量矩阵为 求新基底求新基底 1 , 2 , 3 , 使得使得 f (

21、 , ) 在在新基底新基底下的度量矩阵是对角矩阵下的度量矩阵是对角矩阵. 022242221A100010001022242221再做对应的再做对应的列变换列变换,注意次序注意次序100010001420200221用成对的用成对的行列变换行列变换变为非零变为非零100010221420200001100010221420200001100010221420010001对角矩阵对角矩阵 D =可逆矩阵可逆矩阵 P = PTA P = D P3213211210010211400010001/用新基底用新基底 1 = 1 , 2 = 1 + 2+ 1/2 3 , 3 = 2 1+ 3的坐标表示的

22、坐标表示 f ( , ) = x1 y1 + x2 y2 4 x3 y3在特征在特征 2 的域上的域上, 有以下一一对应有以下一一对应 f ( , ) Q( ) = f ( , ) XT A Y XT A X Q( + ) Q( ) Q( ) Q( ) 21若若 Q( ) = XT A X 是二次型是二次型 ( A 对称对称 ) , 则则 f ( , ) = Q( + ) Q( ) Q( ) = ( X + Y )T A ( X + Y ) XT A X YT A Y = 2 XT A Y 是是 V 上的对称双线性函数上的对称双线性函数 定理定理 : 设设 K 是特征是特征 2 的域的域 ,

23、V 是是 K 上的上的 n 维线性空间维线性空间, f ( , ) 是是 V 上的上的反对称反对称 双线性函数双线性函数. 则存在则存在 V 的一组基的一组基 , f 的的 度量矩阵为度量矩阵为 0001100110 定理定理 : 设设 K 是特征是特征 2 的域的域 , V 是是 K 上的上的 n 维维 线性空间线性空间, f ( , ) 是是 V 上的反对上的反对称双线性函数称双线性函数. 则存在则存在 V 的一组基的一组基 , 在此基底下在此基底下 f ( , ) = XT E Y = x 1 y 2 x 2 y 1 + + x 2r - 1 y 2r x 2r y 2r - 1推论推论

24、 : 设设 K 是特征是特征 2 的域的域 , A , B 是两个是两个 K 上的上的 n 阶反对称矩阵阶反对称矩阵 . 则则 A , B 合同合同 A , B 的秩的秩相等相等 1 双线性函数双线性函数 2 Euclid 空间空间 3 正交变换与对称变换正交变换与对称变换 4 酉空间酉空间 例例: 1) 若若 A , B 是是 n 阶实矩阵阶实矩阵, 则有则有 tr( AT A ) tr( BT B ) tr( AT B ) 22) 若若 h( x ) , g( x ) 是是 0 , 1 上的连续函数上的连续函数, 则有则有102102xdxg xdxh )()(210 xdxgxh )()

25、( 在实线性空间上在实线性空间上, 满足满足 f ( , ) 0 , 0 的对称双线性函数的对称双线性函数 f 称为内积称为内积 . f 是内积是内积 二次型二次型 f ( , ) 正定正定 f 的度量矩阵正定的度量矩阵正定 ( h , g ) = 是是 C 0 , 1 上的内积上的内积; ( A , B ) = tr( A B ) 是是 Mn( R ) 上的正定双线性函数上的正定双线性函数 ? ( A , B ) = tr( AT B ) 是是 Mn( R ) 上的内积上的内积10)()(xdxgxh201101001 具有内积具有内积 ( , ) 的的 (有限维有限维) 实线性空实线性空间

26、间 称为欧氏空间称为欧氏空间. 欧氏空间上有向量长度欧氏空间上有向量长度, 夹角夹角, 距离等度距离等度量的量的 概念概念 ,21VXn若若XAX,|T)(:|:终点间的欧氏距离终点间的欧氏距离,|的长度为的长度为定义定义 o|,|)(有有对任意实数对任意实数, t0)(,tt0)()()(,2,2tt得得取取,)()(,/,t2,)()( )(|,|)(共线共线等号成立等号成立,)()(2)()(,22|22|)(| 例例: 由于由于 ( h , g ) = 是是 C 0 , 1 上的内积上的内积, 对对 h( x ) , g( x ) , 有有 102102xdxg xdxh )()(21

27、0 xdxgxh )()(102102102xdxgxhxdxg xdxh ) )()()()(10)()(xdxgxh 例例: 由于由于 ( A , B ) = tr( AT B ) 是是 Mn( R ) 上的内积上的内积 , 对对 A , B , 有有 tr( AT A ) tr( BT B ) tr( AT B ) 2 等号成立当且仅当等号成立当且仅当 A , B 线性相关线性相关)BABAtr()BBtr()AAtr(TTT)()(0 0 欧氏空间向量夹角定义欧氏空间向量夹角定义0)(,特别地特别地o|,)(cos 222|cos2例例: : 已知已知 R3 R3 上的对称双线性函数上

28、的对称双线性函数 f ( f ( , , ) ) 在基底在基底 1 , 2 , 3 1 , 2 , 3 下的度量矩阵为下的度量矩阵为 1) 1) 判断判断 f ( f ( , , ) ) 能否构成能否构成 R 3 R 3 上的内积上的内积; ;2) 2) 求基底求基底 1 , 1 , 2 , 2 , 3 , 3 , 使得使得 f f 在此基下的在此基下的 度量矩阵是单位矩阵度量矩阵是单位矩阵. . 310121011A 由两两正交的单位向量构成的基底由两两正交的单位向量构成的基底 称为欧氏空间标准正交基称为欧氏空间标准正交基 . . 1 , 1 , 2 , , 2 , , n n 是标准正交基

29、是标准正交基 I),(),(),(),(),(),(),(),(),(nn2n1nn22212n12111定理：定理： 设设 1 , 2 , , n 是欧氏空间的一组是欧氏空间的一组 标准正交基标准正交基, A 是是 n 阶实矩阵阶实矩阵 . 令令 ( 1 , 2 , , n ) = ( 1 , 2 , , n ) A . 则则 1 , 2 , , n 是标准正交基是标准正交基 A 是正交矩阵是正交矩阵 设设 W 是欧氏空间是欧氏空间 V 的子空间的子空间, 则则 W := V | ( , ) = 0 , W 是是 V 的子空间的子空间, 称为称为 W 的正交补的正交补. 扩充成扩充成 V 的

30、标准正交基的标准正交基 1 , , r , r +1 , , n W 标准正交基标准正交基W 标准正交基标准正交基 W W = V ( W) = W ( U + W ) = U W ( U W ) = U + W A 的解空间的解空间 = ( AT 列空间列空间 ) A 的解空间的解空间 = ( AT 列空间列空间 )例例: 设设 W = 是带标准内积的是带标准内积的 欧氏空间欧氏空间 R4 的子空间的子空间, 求求 W的一组基的一组基.2001121121, A 的解空间的解空间 = ( AT 列空间列空间 )解解:200112110X 32102001103201203224343434x

31、xxxxxxoW 在子空间在子空间 W 上的正交投影上的正交投影W| | 是是 的顶点到的顶点到 W 的最短距离的最短距离W 设设 W 是欧氏空间的子空间是欧氏空间的子空间. 沿沿 W向向 W 所作投影变换所作投影变换 P 称正交投影称正交投影. 若若 1 , , r 是是 W 的标准正交基的标准正交基 , 则则 在在 W 上的正交投影上的正交投影 P 为为 ( , 1 ) 1 + + ( , r ) r 例例: 已知已知 1 , , r 是欧氏空间是欧氏空间 Rn 的的 子空间子空间 W 的标准正交基的标准正交基. 求求 Rn 向向 W 的的 正交投影正交投影 P 在标准基下的矩阵在标准基下

32、的矩阵 . A = 1 1T + + r rT 解解: 将将 1 , , r 扩充成扩充成 Rn 的标准正交基的标准正交基 1 , , r , , n . 则则 P 在此基下的矩阵为在此基下的矩阵为 , P 在标准基下的矩阵为在标准基下的矩阵为 = 1 1T + + r rT rnr0ITnT2T1rnn21011222231111333),(),(),(),( ,11:解解1111222),(),( 保持内积不变的线性变换称为正交变换保持内积不变的线性变换称为正交变换 . A 是正交变换是正交变换 ( A , A ) = ( , ) , , A 在标准正交基下的矩阵是正交矩阵在标准正交基下的

33、矩阵是正交矩阵 正交变换保持向量长度正交变换保持向量长度, 夹角不变夹角不变 引理引理: 若若 A 是欧氏空间是欧氏空间 V 上的正交变换上的正交变换, 则则 A 的复特征值的复特征值 都满足都满足 | | = 1 .证证: 设设 A 是是 A 在标准正交基下的矩阵在标准正交基下的矩阵, 是是 A 的属于的属于 的复特征向量的复特征向量, 即即 A = , 0 于是有于是有 T AT = T , A = . 故故 T = T AT A = T . 由由 T 0 推得推得 | | = 1. 引理引理: 若若 A 是欧氏空间是欧氏空间 V 上的正交变换上的正交变换, 则则 V 一定有一定有 1 维

34、维 或或 2 维维 A -子空间子空间, 且且 A 在在 2 维维 A -子空间上的限制变换子空间上的限制变换 行列式都行列式都 = 1 .证证: 设设 A 是是 A 在标准正交基下的矩阵在标准正交基下的矩阵, 设设 = u + i v 是的复特征值是的复特征值, = + i 是属于是属于 的复特征向的复特征向量量. 则有则有 A ( + i ) = ( u + i v ) ( + i ) 于是于是 A = u v , A = v + u 是是 1 维维 或或 2 维实维实 A -子空间子空间若若 是是 1 维子空间维子空间, 不妨设不妨设 0 , = k . 则有则有 A = ( u + i

35、 v ) ,故故 A = u , u = 1 . 若若 是是 1 维子空间维子空间, 则有则有 A ( ) = ( ) 且且 u 2 + v 2 = | |2 = 1 . ( , ) = uvvu 引理引理: 设设 A 是欧氏空间是欧氏空间 V 上的正交变换上的正交变换. 若若 W 是是 A -子空间子空间, 则则 W 也是也是 A 子空间子空间. WW A 证证: 任取任取 W , 我们来证明我们来证明 A W . 由于由于 A |W 是是 W上的正交变换上的正交变换, 在在 W上可逆上可逆. 故对故对 W , 存在存在 W , 使得使得 = A . 即对即对 W , 有有 ( A , )

36、= ( A , A ) = ( , ) = 0 A W 定理定理: 设设 A 是欧氏空间是欧氏空间 V 上的正交变换上的正交变换. 则则 V 可分解为两两正交的可分解为两两正交的 1 维或维或 2 维维 A 子空间的直和子空间的直和 : V = W1 W2 Ws 1o21AAcossinsincos211A22A 若若 A 是正交变换是正交变换, 则存在一组标准正交基则存在一组标准正交基, 使得使得 A 在此基下的矩阵具有形式在此基下的矩阵具有形式mmmm1111cossinsincoscossinsincos111 若若 A 是正交矩阵是正交矩阵, 则存在正交矩阵则存在正交矩阵 P , 使得

37、使得 A = P B PT , 其中其中 B 具有形式具有形式mmmm1111cossinsincoscossinsincos111 对任意单位向量对任意单位向量 , 映射映射 R : ( I 2 T ) 是正交变换是正交变换, 称为关于超平面称为关于超平面 的的镜面反射镜面反射. ( , ) O 2 ( , ) 定理定理(Cartan-Dieudonne) n 维欧氏空间的正交变换都是不超过维欧氏空间的正交变换都是不超过 n 个反射变换的乘积个反射变换的乘积.例例: 实方阵实方阵 A 是第一类正交矩阵是第一类正交矩阵 ( 行列式为行列式为 1 ) 当且仅当当且仅当 A 可写成可写成 的形式的

38、形式 , 其中其中 C 是实反对称矩阵是实反对称矩阵.32CC3!1C2!1CIe 注意到注意到若若 C 是实反对称矩阵是实反对称矩阵 , 则有则有 即即 是正交矩阵是正交矩阵.TC3T2TTC)e()C(3!1)C(2!1CIeTIeeeeee)e(CCCCCCCTCTCe 我们有我们有 我们来计算我们来计算2111C)UCU(2!1UCUIUeU1UCUe?e001ii11i00iii1100 1ii11e00eii11ii1i00iii11eii11 00ecossinsincos 例例: 设矩阵设矩阵 C = , 其中其中 a , b , c 是不全为零实数是不全为零实数. 证明证明:

39、 正交矩阵正交矩阵 给出给出 的线性变换的线性变换 X X 是绕是绕 c - b a T 的旋转的旋转, 旋转角度为旋转角度为 .000cbcabaCeCe222cba 证证: 注意到注意到 1 = 是矩是矩阵阵 C = 的特征值的特征值 0 的单位特征的单位特征向量向量. 将将 1 扩充成扩充成 R3 的标准正交基的标准正交基 1 , 2 , 3 , 并记并记 P = 1 2 3 . 则则 P 是正交矩阵是正交矩阵, 且有且有000cbcabaabccba2221 = 1 2 3 PT 又由又由 反对称矩阵反对称矩阵C 1 = 02222222*Ccbcaba000cbcaba0000000

40、T22P0000000P222cba 于是于是 由此可看出由此可看出, 给出的线性变换是绕给出的线性变换是绕 1 的旋转的旋转, 旋转角度为旋转角度为 . T0000000CPePeTPcossin0sincos0001PCe222cba 若线性变换若线性变换 A 满足满足 ( A , ) = ( , A ) , , 则称则称 A 是对称变换是对称变换 . A 是对称变换是对称变换 A 在任意标准正交基下在任意标准正交基下 的矩阵是实对称矩阵的矩阵是实对称矩阵 证证: 设设 1 , , n 是标准正交基是标准正交基, A ( 1 , , n ) = ( 1 , , n ) A A j = a1

41、 j 1 + + an j n 则有则有 ( i , A j ) = ai j 由对称性由对称性, ( j , A i ) = ( A i , j ) = aj i 故故 A 是对称变换是对称变换 ai j = aj i 定理定理: A 是对称变换是对称变换 A 在任意一组标准正交基下在任意一组标准正交基下 的矩阵是实对称矩阵的矩阵是实对称矩阵 存在标准正交基存在标准正交基 1 , , n , 使得使得 A 1 = 1 1 , , A n = n n 设设 A : U V 是欧氏空间之间的线性映射是欧氏空间之间的线性映射. 取什么样的标准正交基取什么样的标准正交基, 可使可使 A 的矩阵的矩阵

42、 最简单最简单? A : U V A ( 1 , , n ) ( 1 , , m ) PT A Q ( 1 , , n ) Q ( 1 , , m ) P 若若 A ( 1 , , n ) = ( 1 , , m ) A ,设设 ( 1 , , n ) = ( 1 , , n ) Q , ( 1 , , m ) = ( 1 , , m ) P , P, Q 是正交矩阵是正交矩阵, 则则 A ( 1 , , n ) = A ( 1 , , n ) Q = ( 1 , , m ) A Q = ( 1 , , m ) PT A Q 每个每个 mn 实矩阵实矩阵 A 都能写成都能写成 A = P S

43、QT , 其中其中 P 、Q 分别是分别是 m 阶与阶与 n 阶正交矩阵阶正交矩阵 ,nmr10S 0 r21秩秩Ar ATA 正特征值正特征值的平方根的平方根引理引理 1: 若若 A 是是 mn 实矩阵实矩阵, 则则 ATA 的特征值都是非负实数的特征值都是非负实数 .引理引理 2: 设设 A 是是 mn 实矩阵实矩阵, 则则 ATA 秩秩 = A 秩秩 = A AT秩秩. 特别地特别地, ATA 解空间解空间 = A 的解空间的解空间 设设 A A 是是 m mn n 实矩阵实矩阵. . 由于由于 A AT A AT 实对称实对称, , 存在正交矩阵存在正交矩阵 P , P , 使得使得

44、且且 AAT AAT 的特征值非负的特征值非负 : : 1 1 r r r+1 = = 0 r+1 = = 0 Tr1m21TP0AAP 由由 可看出可看出 AT P 的列向量满足的列向量满足 ( AT i , AT j ) =0PAAPPA)PA(r1TTTTT其它其它0rjii 即即 AT r +1 = = AT m = 0 ; AT 1 , , AT r 两两正交且长度分别两两正交且长度分别为为令令 i = AT i , i = 1 , , r ;并将并将 1 , , r 任意扩充成任意扩充成 Rn 的标准正的标准正交基交基 1 , , r , , n r21,i1则有则有 A = P

45、PTA = P ( AT P ) T = P AT 1 AT n T = P S QT TnT2T1r10P 每个每个 mn 实矩阵实矩阵 A 都能写成都能写成 A = P S QT TnT2T1nmr1m210TrrrT222T111这里这里 1 , , r 是是 A AT 正特征值的平方正特征值的平方根根 ,1 , , n 与与 1 , , m 分别是分别是 A AT 与与 ATA 的单位正交特征向量组的单位正交特征向量组, 且有且有 i = i A i , i = 1 , , r TnT2T1nmr1m210A A = 1 1 1T + 2 2 2T + + r r rT 1 r 0 又

46、称为又称为 A 的奇异值的奇异值. 一般来说一般来说, 排在后面的排在后面的 值会非常接近值会非常接近 0 . 省略这些值省略这些值, 会得到矩阵会得到矩阵 A 在秩在秩 k 意义下意义下的最佳逼近的最佳逼近 : A k = 1 1 1T + + k k kT A 在内积在内积 ( A , B ) = tr( AT B ) 下下, Mm,n( R ) 构成欧氏空间构成欧氏空间.定理定理: 给定给定 A Mm,n( R ) . 在所有秩在所有秩 k 的的 m n实矩阵中实矩阵中, 矩阵矩阵 Ak = 1 1 1T + k k kT到到 A 的欧氏距离最短的欧氏距离最短.定理定理: 欧氏空间上的线

47、性变换都可唯一地写成欧氏空间上的线性变换都可唯一地写成 一个正交变换与一个对称变换的乘积一个正交变换与一个对称变换的乘积. 实矩阵实矩阵 A 的广义逆的广义逆: 若若 A = P S QT , 则则 Tmn1r11P0QA在在 R4 中引入中引入 Minkowski 内积内积 ( , ) = x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 x4 y4得到得到 Minkowski 空间空间.洛伦兹变换洛伦兹变换 ( A , A ) = ( , ) 1 双线性函数双线性函数 2 Euclid 空间空间 3 正交变换与对称变换正交变换与对称变换 4 酉空间酉空间 在复线性空间上在复线性空间上 , 满足满

48、足 ( , ) = ( , ) ( k + l , ) = k ( , ) + l ( , ) ( , k + l ) = k ( , ) + l ( , ) ( , ) 0 , 0 的二元函数的二元函数 ( , ) 称为称为 Hermite 内积内积 . 具有具有 Hermite 内积内积 ( , ) 的复线性空间的复线性空间 称为酉空间称为酉空间. 酉空间上有向量长度酉空间上有向量长度, 距离距离, 正交的概正交的概念念 , 可以取标准正交基可以取标准正交基),(|:|:终点间的欧氏距离终点间的欧氏距离,o|,|)(有有对任意复数对任意复数, t0)(,tt0),(),(),(),(2|t

49、tt得得取取,)()(,/,t),)(,(),( ),(|,|)(共线共线等号成立等号成立, 例例: ( h , g ) = 是复线性空间是复线性空间 C 0 , 1 上的上的 Hermite 内积内积. 对对 h( x ) , g( x ) , 有有102102)()(xd|xg|xd|xh| 210)()(xdxgxh 10)()(xdxgxh0 0 酉空间向量夹角定义酉空间向量夹角定义0,)(o| ),( |cos 222|cos2,Re2)(,一一般般来来说说在在 V 中取定一组基中取定一组基 1 , , n . 设向量设向量 , 在在此基底下的坐标分别为此基底下的坐标分别为 X =

50、x 1 , , x n T , Y = y 1 , , y n T则二元函数则二元函数 f ( , ) 可表示为可表示为)()(n1jjjn1iii,yxf,f),(jin1in1jjfyxiYAX),(Tff 在基底在基底 1 , , n下的度量矩阵下的度量矩阵),(jin1in1jjfyxiY),(),(),(),(),(),(),(),(),(Xnn2n1nn22212n12111Tfffffffff例例: 设设 f ( , ) 是是 C2 上的二元函数上的二元函数 , 满足满足1) f ( , ) = f ( , ) 2) f ( k + l , ) = k f ( , ) + l f

51、 ( , ) 3) f ( , ) 在基在基 1 , 2下的度量矩阵为下的度量矩阵为证明证明: f ( , ) 是是 Hermite 内积并求此内积并求此 内积下的一组标准正交基内积下的一组标准正交基 1 , 22ii1A定理：定理： 设设 1 , , n 是酉空间的一组标准正交是酉空间的一组标准正交基基, A 是是 n 阶复矩阵阶复矩阵 . 令令 ( 1 , , n ) = ( 1 , , n ) A . 则则 1 , , n 是标准正交基是标准正交基 AT A = I 证：证： 设设 X i 是是 A 的第的第 i 个列向量个列向量. 则有则有 i = ( 1 , , n ) X i ,

52、( i , j ) = X iT X j . 于是于是 1 , , n 是标准正交基是标准正交基 AT A = I 若复矩阵若复矩阵 A 满足以下条件满足以下条件 A AT = I 或或 AT A = I 则称则称 A 是酉矩阵是酉矩阵 . ( A-1 = AT ) 定理定理: 酉矩阵的复特征值酉矩阵的复特征值 都满足都满足 | | = 1 . 证证: 设设 是酉矩阵是酉矩阵 A 的复特征值的复特征值, 是是 属于属于 的复特征向量的复特征向量, 即即 A = , 0 于是有于是有 T AT = T . 故故 T = T AT A = T . 由由 T 0 推得推得 | | = 1. 酉空间上

53、保持内积不变的线性变换称为酉空间上保持内积不变的线性变换称为 酉变换酉变换 . 即即 A 是酉变换是酉变换 ( A , A ) = ( , ) 定理定理: A 是酉变换是酉变换 A 在标准正交基下的矩阵是酉矩阵在标准正交基下的矩阵是酉矩阵 满足条件满足条件 A = AT 的复矩阵的复矩阵 A 称为称为 Hermite 矩阵矩阵. 定理定理: Hermite 矩阵的特征值都是实数矩阵的特征值都是实数. 若酉空间上的线性变换若酉空间上的线性变换 A 满足满足 ( A , ) = ( , A ) , , 则称则称 A 是是 Hermite 变换变换 . 定理定理: A 是是 Hermite 变换变换

54、 A 在标准在标准 正交基下的矩阵是正交基下的矩阵是 Hermite 矩阵矩阵 酉变换与酉变换与Hermitian 变换是欧氏空间上的变换是欧氏空间上的正交变换与对称变换在酉空间上的自然推广正交变换与对称变换在酉空间上的自然推广.酉变换与酉变换与Hermitian 变换都可通过取适当的变换都可通过取适当的标准正交基对角化标准正交基对角化, 因为它们都是正规变换因为它们都是正规变换 设设 A 是酉空间上的线性变换是酉空间上的线性变换. 若线性变换若线性变换 A* 满足满足 ( A , ) = ( , A* ) , , 则称则称 A* 是是 A 的伴随变换的伴随变换 .例例: 酉变换酉变换 U 的

55、伴随变换为的伴随变换为 U-1 ; Hermite 变换变换 A 的伴随变换为的伴随变换为 A .定理定理: 酉空间上的任何线性变换酉空间上的任何线性变换 A 都有都有 伴随变换且唯一伴随变换且唯一, 记作记作 A* . 在同一标准正交基下在同一标准正交基下, 若若 A 的矩阵为的矩阵为 A , 则则 A* 的矩阵为的矩阵为 AT .证：设证：设 A 在标准正交基在标准正交基 1 , , n下的矩下的矩阵阵 为为 A , 设设 A* 在在 1 , , n 下矩阵为下矩阵为 B , 即即 A ( 1 , , n ) = ( 1 , , n ) A A* ( 1 , , n ) = ( 1 , ,

56、 n ) B . 设设 A = ai j , B = bi j . 则有则有 ( A i , j ) = aj i = ( i , A* j ) = bi j 于是于是 B = AT , A* 由由 A 唯一确定唯一确定.再证再证 A* 的存在性的存在性: 设设 A 在标准正交基在标准正交基 1 , , n下的矩阵为下的矩阵为 A , 设设 B 是在是在 1 , , n 下矩阵为下矩阵为 AT 的变换的变换 , 则由以上讨论知则由以上讨论知 ( A i , j ) = ( i , B j ) , i , j 作线性组合作线性组合, 可得可得 ( A , ) = ( , B ) , , 若酉空间

57、上的线性变换若酉空间上的线性变换 A 满足满足 A A* = A*A , 则称则称 A 是正规变换是正规变换 . 若复矩阵若复矩阵 A 满足满足 A AT = AT A , 则称则称 A 是是 正规矩阵正规矩阵.引理引理: 设设 A 是酉空间是酉空间 V 上的正规变换上的正规变换. 若若 W 是是 A -子空间子空间, 则则 W 是是 A 子空间子空间. 证证: 将将 W 的标准正交基的标准正交基 1 , , r 扩充成扩充成 V 的标准正交基的标准正交基 1 , , n , 则则 r+1 , , n 构成构成 W 的标准正交基的标准正交基. 设设 A 在在 1 , , n 下的矩阵下的矩阵为

58、为 , 则则 A*在在 1 , , n 下的矩阵为下的矩阵为 D0CBATTTTDC0BAD0CBTTTDC0BTTTDC0BD0CB*CCBBTT*BBT 比较比较 得得 于是有于是有 , 故故 C = 0 . 这说明这说明 W 也是也是 A 子空间子空间. AAAATTBBCCBBTTT)CCtr()BBtr()CCBBtr(TTTT)BBtr(T0)CCtr(T定理定理: A 是正规变换是正规变换 当且仅当当且仅当 存在一组标准存在一组标准 正交基正交基, 使得使得 A 的矩阵是对角矩阵的矩阵是对角矩阵. 特别地特别地, 酉变换酉变换, Hermitian 变换都可通过变换都可通过 取适

59、当的标准正交基对角化取适当的标准正交基对角化.定理定理: A 是正规矩阵是正规矩阵 当且仅当当且仅当 A 可写成可写成 A = U D U -1 = U D UT . 其中其中 U 是酉矩阵是酉矩阵, D 是复对角矩阵是复对角矩阵. 特别地特别地, 酉矩阵酉矩阵, Hermitian 矩阵矩阵 都可用都可用 酉矩阵对角化酉矩阵对角化.考试范围考试范围 : 1) 多项式环多项式环 Z , Kx , 2) 线性空间线性空间 3) 线性变换的结构线性变换的结构 4) 带度量的线性空间带度量的线性空间例例 1. 求矩阵求矩阵 A = 的相抵标准型的相抵标准型 E 及可逆矩阵及可逆矩阵 P , Q ,

60、使得使得 A = P E Q -1 . 2111101011012. 设设 A = . 求正交矩阵求正交矩阵 P , Q , 使得使得 A = P S QT , 其中其中120002100101000000000S3210321例例 3. 已知线性变换已知线性变换 A 在在 V 的基底的基底 1 , 2 , 3 , 4 下的矩阵为下的矩阵为 1) 求求 A 的最小多项式的最小多项式; 2) 求根子空间分解求根子空间分解 V = W1 W2 , dim W1 = 1;3) 求沿求沿 W1 向向 W2 所做的投影变换所做的投影变换 P ( 将其写成将其写成 A 的多项式的多项式, 并验证并验证 P