多元复合函数的微分法

1、整理课件1第四节、多元复合函数的微分法第四节、多元复合函数的微分法二、全微分形式不变性二、全微分形式不变性一、链式法则一、链式法则三、小结、思考题三、小结、思考题四、作业四、作业第四节、多元复合函数的微分法第四节、多元复合函数的微分法整理课件2证证()( ),uttt ()( );vttt一、链式法则一、链式法则导，导，导数，导数，可导，可导， 定理定理在对应点在对应点具有连续偏具有连续偏函数函数( , )zf u v( , )u v在对应点在对应点( ),( )zfttt则复合函数则复合函数且其导数可用下列公式计算：且其导数可用下列公式计算：.dzz duz dvdtu dtv dt及及都在

2、点都在点 可可( )ut ( )vt t如果函数如果函数设设t获得增量获得增量, t 第四节、多元复合函数的微分法第四节、多元复合函数的微分法整理课件3由由于于函函数数),(vufz 在在点点),(vu有有连连续续偏偏导导数数12,zzzuvuvuv 01 ，02 12,zzuzvuvtutvttt,udutdt ,vdvtdt 0limtdzzdtt 当当0,u 0v 时，时，.z duz dvu dtv dt 0,u ，0 v 当当0 t时，时， 第四节、多元复合函数的微分法第四节、多元复合函数的微分法整理课件4上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况上定理的结论可推广到中间变量多于两个

3、的情况.如如dtdwwzdtdvvzdtduuzdtdz uvwtz以上公式中的导数以上公式中的导数 称为称为dtdz 上述定理还可推广到中间变量不是一元函数上述定理还可推广到中间变量不是一元函数).,(),(yxyxfz 而是多元函数的情况：而是多元函数的情况：第四节、多元复合函数的微分法第四节、多元复合函数的微分法整理课件5例例1 设设223sin,sin ,uvzev ut vt 求求.dzdt解解uvtzdzdtz duz dvu dtv dt 2cosuvet 22( 2)2sin cos3uvevvt 3sin2223cos63sin2.ttetttt 这里最终将这里最终将dzdt

4、表示为表示为t的函数。的函数。注注：第四节、多元复合函数的微分法第四节、多元复合函数的微分法整理课件6z duz dvz dwu dtv dtw dt 2cos2uvt例例2设设22sinln,cos ,tzuvw ue vtwt 求求.dzdt解解dzdt2 sintuv e1( sin ) tw 22222sin2costan .ttettett uvwtz第四节、多元复合函数的微分法第四节、多元复合函数的微分法整理课件7点点),(vu具有连续偏导数，具有连续偏导数，导数存在，导数存在， 如果如果及及都在点都在点( , )ux y ( , )vx y ( , )x y具有对具有对 和和的偏

5、导数，的偏导数，xy在对应点在对应点的两个偏的两个偏( , ),( , )zfx yx y ( , )x y且可用下列公式计算且可用下列公式计算则复合函数则复合函数在对应在对应( , )zf u v且函数且函数,zzuzvxu xv x .zzuzvyu yvy 链式法则链式法则第四节、多元复合函数的微分法第四节、多元复合函数的微分法整理课件8uvxzy上述链式法则如图示上述链式法则如图示zx zuuxzv,vxzy zu uy zv .vy 第四节、多元复合函数的微分法第四节、多元复合函数的微分法整理课件9zwvuyx 类似地再推广，类似地再推广，),(yxww 都在点都在点),(yx具有对

6、具有对x和和y的偏导数，的偏导数，函数函数),(),(),(yxwyxyxfz 在对应点在对应点),(yx两个偏导数存在，两个偏导数存在， xwwzxvvzxuuzxz , ywwzyvvzyuuzyz .复合复合且可用下列公式计算且可用下列公式计算),(yxu 、),(yxv 、设设第四节、多元复合函数的微分法第四节、多元复合函数的微分法整理课件10解解 xz uzxu vzxv 2121uv 4 , x yz uzyu vzyv 212( 1)uv 2()2()xyxyuvxzy2()2()xyxy4 . y例例3 设设22zuv，而，而,uxy,vxy求求 xz 和和.zy 第四节、多元

7、复合函数的微分法第四节、多元复合函数的微分法整理课件11例例4 设设22222sin,sin ,cos ,zuxyy exrst yr st3,tzr se求求us在在( , , )(1,1,0)r s t 的值。的值。解解uzyxtsusu xxs u yys u zzs 2 sinsinxy rt222(cos2) 2coszxyyesrt2232zty er e因因( , , )(1,1,0)r s t 时，时，0,1,1,xyz(11,0) us2202221eee 26.e第四节、多元复合函数的微分法第四节、多元复合函数的微分法整理课件12解解令令sin ,xuey22;vxyzxx

8、vvfxuuf sin2;xffeyxuvuvxzy则则( , ),zf u vzyfufvuyvycos2;xffeyyuv例例5 设设22(sin ,),xzf ey xyf连续偏导数，求连续偏导数，求,.zzxy具有二阶具有二阶第四节、多元复合函数的微分法第四节、多元复合函数的微分法整理课件13特殊地特殊地),(yxufz ),(yxu 即即,),(yxyxfz ,xfxuufxz .yfyuufyz 令令,xv , yw 其中其中, 1 xv, 0 xw, 0 yv. 1 yw把把复复合合函函数数,),(yxyxfz 中中的的y看看作作不不变变而而对对x的的偏偏导导数数把把),(yxu

9、fz 中中的的u及及y看看作作不不变变而而对对x的的偏偏导导数数两者的区别两者的区别区别类似区别类似第四节、多元复合函数的微分法第四节、多元复合函数的微分法整理课件14例例6 设设442xyzue，而，而2tan ,zyx求求,.uuxy解解xyxuyz这里的变量这里的变量, x y既是复合函数的自变量，既是复合函数的自变量，又是中间变量。又是中间变量。免出现记号的混淆，免出现记号的混淆，引入记号引入记号442( , , ),xyzuf x y ze则则uxffzxzx 44234xyzx e uyffzyzy 44234xyzy e 442342sec2(2tansec),xyxxyxx e

10、 4423sec24sec.xyxy ex 为了避为了避先先f4422xyzze 4422xyzze 22secyx 2 tanyx 第四节、多元复合函数的微分法第四节、多元复合函数的微分法整理课件15例例7 设设22(2,),zfxy x yf是是(2)C类函数，类函数，求求2,.zzxx y 解解 令令222,uxy vx y则则( , ),zf u vzuvxy为了表达简单，引入以下记号：为了表达简单，引入以下记号：1( , ),f u vfu于是于是zxfufvu xvx 21222,ffxy2( , ),f u vfv212( , ),f u vfu v 第四节、多元复合函数的微分法

11、第四节、多元复合函数的微分法整理课件1621222zffxyx 222,uxy vx y2zx y 21222ffxyy12fy22242fxyfxyy12ff1fy11fufvuyvy2111212,ffx y 2fy22fufvuyvy2212212,ffx y 2zx y 2111224fx yf33111222222(2)44.fxyxy fx y fxyfuvxy24xyf233212224xy fx y f第四节、多元复合函数的微分法第四节、多元复合函数的微分法整理课件17二、全微分形式不变性二、全微分形式不变性 设函数设函数),(vufz 具有连续偏导数，具有连续偏导数，dv;v

12、zduuzdz 当当),(yxu 、),(yxv 时，时，则有全微分则有全微分dyyzdxxzdz .有有由于由于dyyzdxxzdz zuzvdxu xv x zuzvdyu yv y 第四节、多元复合函数的微分法第四节、多元复合函数的微分法整理课件18 无论无论 是自变量是自变量 的函数或中间变量的函数或中间变量zvu、vu、的函数，的函数，全微分形式不变性的实质：全微分形式不变性的实质：zuudzdxdyuxyzvvdxdyvxy.zzdudvuvzuzvzuzvdzdxdyu xv xu yv y 多元函数多元函数全微分形式不变性全微分形式不变性。这一性质称为这一性质称为.zzdzdu

13、dvuv都有都有第四节、多元复合函数的微分法第四节、多元复合函数的微分法整理课件19例例8设设求全微分求全微分.dz,xyzxy3解解1lnln()ln() ,3zxyxy两边求全微分，两边求全微分，1,3dzdxdydxdyzxyxy即即同时得到：同时得到：zxzy222,3xyyxy xy3222.3xyxxy xy3222222.33xyyxyxdzdxdyxy xyxy xy 33利用全微分形式的不变性，可得利用全微分形式的不变性，可得第四节、多元复合函数的微分法第四节、多元复合函数的微分法整理课件20解解, 0)2( zxyezed, 02)( dzedzxydezxy)()2(yd

14、xxdyedzexyz dyexedxeyedzzxyzxy)2()2( xz ,2 zxyeyeyz .2 zxyexe例例9 已知已知02 zxyeze，求，求xz 和和.zy 第四节、多元复合函数的微分法第四节、多元复合函数的微分法整理课件211、链式法则、链式法则（分三种情况）（分三种情况）2、全微分形式不变性、全微分形式不变性（特别要注意课中所讲的特殊情况）（特别要注意课中所讲的特殊情况）（理解其实质）（理解其实质）三、小结三、小结第四节、多元复合函数的微分法第四节、多元复合函数的微分法整理课件22思考题思考题设设( , , ),zf u v x 而而( ),ux ( ),vx 则则

15、xfdxdvvfdxduufdxdz 试问试问dxdz与与xf 是否相同？是否相同？为什么为什么第四节、多元复合函数的微分法第四节、多元复合函数的微分法整理课件23思考题解答思考题解答( , , )xu v xxdzfdudxudx ( , , )( , , ).u v xxu v xfdvfvdxx等式左端的等式左端的z是作为一个自变量是作为一个自变量x的函数，的函数，不相同不相同.写出来为写出来为 xfdxdvvfdxduufdxdz ( , ,),zf u v x ( ),ux ( ),vx 而等式右端最后一项而等式右端最后一项 f 是作为是作为 u,v,x 的三元函数，的三元函数，第四

16、节、多元复合函数的微分法第四节、多元复合函数的微分法整理课件24二二、设设uvuez , ,而而xyvyxu ,22，求求yzxz , . .练练 习习 题题第四节、多元复合函数的微分法第四节、多元复合函数的微分法整理课件25三、设三、设)arctan(xyz , ,而而xey , ,求求dxdz. .四、设四、设),(22xyeyxfz ( (其其具具中中f有一阶连续偏导有一阶连续偏导 数数) ), ,求求yzxz ,. .五、设五、设)(xyzxyxfu ,(,(其其具具中中f有一阶连续偏导有一阶连续偏导 数数),),求求.,zuyuxu 六、设六、设),(yxxfz ,(,(其其具具中中

17、f有二阶连续偏导数有二阶连续偏导数),),求求 22222,yzyxzxz . .第四节、多元复合函数的微分法第四节、多元复合函数的微分法整理课件26七、设七、设,)(22yxfyz 其中为可导函数其中为可导函数, , 验证验证: :211yzyzyxzx . .八、设八、设 ,),(其中其中yyxxz 具有二阶导数具有二阶导数, ,求求 .,2222yzxz 第四节、多元复合函数的微分法第四节、多元复合函数的微分法整理课件27一、一、1 1、xyyyyxxxyxxxy222cos)cossin(cos,cos)sin(coscos ； 2 2、,)23(3)23ln(2222yyxxyxyx 2232)23(2)23ln(2yyxxyxyx ； 3 3、.)43(1)41(3232ttt 二、二、,)(22222222yxxyeyyxyxyxxz )(22222)(22yxxyeyxxyxyyz . .练习题答案练习题答案第四节、多元复合函数的微分法第四节、多元复合函数的