多元复合函数的求导法则(10)

1、 8.4 多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则1复合函数的求导法则复合函数的求导法则一阶全微分形式不变性一阶全微分形式不变性小结小结 思考题思考题 作业作业8.4 多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则 8.4 多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则2一、一、复合函数求导复合函数求导法法(链导法链导法)一元一元复合函数求导法复合函数求导法)(),(xuufy 由由其导数公式是其导数公式是 xydd.ddddxuuy 构成的一元复合构成的一元复合),(xfy 函数函数 8.4 多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则3构成构成x, y的的复合函数复合函数z = f u(x

2、, y), v(x, y).,xvvfxuufxz 两个中间变量两个中间变量 两个自变量两个自变量且且u(x, y), v(x, y)对对x及对及对y的偏导数存在的偏导数存在,可微可微, ,.yvvfyuufyz 定理定理8.5链导法则链导法则证证),(),(yxuyxxuu 将将y固定固定, 若若z = f (u, v)合函数合函数z = f u(x, y), v(x, y)对对x及对及对y的偏导数存在的偏导数存在,且有且有公式公式设设z = f (u,v)与与u = u(x, y), v = v(x, y)则复则复给给x增量增量x, 相应地相应地, u和和v有增量有增量),(),(yxvy

3、xxvv 8.4 多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则4 z xz 由于函数由于函数 z = f (u, v)在在(u, v)可微可微,),0()( ovvfuuf.)()(22vu 其其中中,)(xoxvvfxuuf 从而函数从而函数 z = f (u, v)也有相应的增量也有相应的增量).,(),(vufvvuufz 知知上式两边同除以上式两边同除以x, 得得可微定义可微定义 8.4 多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则5),()(xuxxuu )()(xvxxvv xzx0lim,limlim00 xvvfxuufxx .xvvfxuufxz .yvvfyuufyz 则则

4、同理可证同理可证由于已知由于已知u(x, y), v(x, y)对对x, y的偏导数存在的偏导数存在, 0, 0,0 vux有有时时当当且且从而从而, 0 8.4 多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则6uvxzy xz ufxu vfxv yz ufyu vfyv 变量树图变量树图),(),(yxvyxufz 8.4 多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则7解解 xz uzxu vzxv 1cosesine vyvuu),cos()sin(eyxyxyxy yz uzyu vzyv 1cosesine vxvuu).cos()sin(eyxyxxxy 例例 ,sineyxvxyu

5、vzu 设设.yzxz 和和求求 8.4 多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则8定理如果函数定理如果函数)(tu 及及)(tv 都在点都在点t可可导，函数导，函数),(vufz 在对应点在对应点),(vu具有连续偏具有连续偏导数，则复合函数导数，则复合函数)(),(ttfz 在对应点在对应点t可可导，且其导数可用下列公式计算：导，且其导数可用下列公式计算： dtdvvzdtduuzdtdz 8.4 多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则9.lim0dtdvvzdtduuztzdtdzt 图图uvtzuz tuddvz tvdd 8.4 多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则

6、10.,sin,2,222xdwdxvxuvuvuw求求设设 解解)cos2()2(2)2(2xxvuvu )cos2()sin22(2)sin22(222xxxxxx 22222sin2cos4sin28xxxxxx 例例 uxvxdwwuwvdxwuvx 8.4 多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则11上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.如如dtdwwzdtdvvzdtduuzdtdz uvwtz以上公式中的导数以上公式中的导数 称为称为dtdz 8.4 多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则12中间变量多于两个的情形中间变量

7、多于两个的情形 xz yz类似地再推广类似地再推广,则复合则复合两个偏导数存在两个偏导数存在, 且可用下列公式计算且可用下列公式计算:三个中间变量两个自变量三个中间变量两个自变量zwvuyx xuuz xvvzxwwz yuuz yvvzywwz 当当z = f (u, v, w)可微可微, ,且且u = u(x, y), v = v(x, y), w = w(x, y)在点在点(x, y)具有具有对对x, y的偏导数的偏导数,函数函数z = f u(x, y), v(x, y), w (x, y)在对应点在对应点(x, y)的的 8.4 多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则13例例

8、设设,1222wvuz xz 解解uwvu2)(2123222 求求,2222yxvyxu .2xyw zwvuyxx2 vwvu2)(2123222 x2 wwvu2)(2123222 y2 xwxvxuxwzvzuzzxz 22232()()uxvxwyuvw 8.4 多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则14,xfxuufxz .yfyuufyz 把把复复合合函函数数,),(yxyxfz 中中的的y看看作作不不变变而而对对x的的偏偏导导数数把把),(yxufz 中中的的u及及y看看作作不不变变而而对对x的的偏偏导导数数两者的区别两者的区别区别类似区别类似xfuxyy),(),(yx

9、uyxufz 其其中中3.3.则则,),(yxyxfz 的两个偏导数可用下列公式计算的两个偏导数可用下列公式计算: : 8.4 多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则15例例 2 2 设设tuvzsin ，而而teu ，tvcos ， 求求全全导导数数dtdz.解解tzdtdvvzdtduuzdtdz ttuvetcossin ttetettcossincos .cos)sin(costttet 8.4 多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则16,xz yz 解解xxuxzuzzxz )(lnyxeu Exxy2 2x yxeu 1yyuyzuzz 求求而而,),(ln2yxuyx

10、ezu )(ln22yxxyeyx yxeyx 12)(ln22yxexyx yxeyx 12)(lnyxeu yxeu 1 zuxyx y 8.4 多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则17 已知已知f(t)可微可微,证明证明 满足方程满足方程)(22yxfyz .112yzyzyxzx 提示提示)(tfyz t, y 为中间变量为中间变量, x, y 为自变量为自变量.,)()(22tftfxyxz .)()(2)(122tftfytfyz 引入中间变量引入中间变量,则则,22yxt 令令 8.4 多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则18 例例 3 3 设设),(xyzzyx

11、fw ，f具具有有二二阶阶 连连续续偏偏导导数数，求求xw 和和zxw 2. .解解令令, zyxu ;xyzv 记记,),(1uvuff ,),(212vuvuff 同理有同理有,2f ,11f .22f xwxvvfxuuf ;21fyzf 8.4 多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则19 zxw2)(21fyzfz ;221zfyzf yzf zf1zvvfzuuf 11;1211fxyf zf2zvvfzuuf 22;2221fxyf 于是于是 zxw21211fxyf 2f y )(2221fxyfyz .)(22221211f yf zxyfzxyf , zyxu ;xyz

12、v 8.4 多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则20yxz 2求求 解解 xz yxz2xyfvcos xyvsin xycos vfx cossin xfvv sinxfuv uvuufxyxf )cossin2(2vvvfxfxxy coscossin,2yxu 设设2 uf)1( 2 uuf)1( vuf有连续的二阶导数有连续的二阶导数,),(),sin,2(vufxyyxfz其其中中设设 8.4 多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则21duufdy)( 这称为一阶微分的这称为一阶微分的形式不变性形式不变性一元函数一元函数)(ufy 无论无论u是自变量，是自变量，还是中间

13、变量，都有还是中间变量，都有二、全微分形式不变性二、全微分形式不变性 8.4 多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则22yyzxxzzddd dxxvvzxuuz）（ dyyvvzyuuz)( yyuxxuuzdd yyvxxvvzdduuzd .dvvz ),(1vufz ）设设（;dddvvzuuzz ，为为自自变变量量时时 ),(vu),(2vufz ）设设（),(),(yxvyxu 而而，为为中中间间变变量量时时 ),(vu称为一阶全微分形式不变性称为一阶全微分形式不变性 8.4 多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则23解解)sin(ddtuvz tdttdetdettc

14、oscoscos tdtdttedtetttcos)sin(cos dtttetett)cossincos( .cos)sin(costttedtdzt tdudvvdusin 例例 利用一阶全微分的形式不变性求利用一阶全微分的形式不变性求 8.4 多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则24例例 4 4 已已知知02 zxyeze，求求xz 和和yz .解解, 0)2( zxyezed, 02)( dzedzxydezxy)()2(ydxxdyedzexyz dyexedxeyedzzxyzxy)2()2( xz ,2 zxyeyeyz .2 zxyexe2(),zxydze dzed

15、xy 8.4 多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则251、链式法则、链式法则（分三种情况）（分三种情况）2、全微分形式不变性、全微分形式不变性（特别要注意课中所讲的特殊情况）（特别要注意课中所讲的特殊情况）三、小结三、小结 8.4 多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则261992年研究生考题年研究生考题,计算计算,5分分yxz 2求求 解解,sin yeux 22yxv xzxfv2 yxz2yefxucos )2yfuv x2yyef yyexuuxsin(2cossin2 uxvvuvf yefxyfyx cos4)cosyexsin )2yfvv 设设yefxusin y

16、efxuucos( 连续的二阶导数连续的二阶导数,有有其其中中设设),(),sin(22vufyxyefzx yefxvucos( 8.4 多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则27由由例例,)1(22 yuxu sin,cosryrx 解解 ),(yxfu现将现将22 yuxu , r用用),( rF 把下列表达式转换为把下列表达式转换为极坐标系极坐标系中的形式中的形式:),(yxfu 设设 的所有的所有二阶偏导数连续二阶偏导数连续,)sin,cos( rrf函数函数),(yxfu 换成极坐标换成极坐标 及及r的函数的函数: 以及函数以及函数),( rFu , r对对 的偏导数的偏导数

17、来表达来表达.2222)2(yuxu 8.4 多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则28复合而成复合而成. xu2ryurxru ruxyruru sincos cos xrrx sin (1)看成由看成由),(yxfu xyarctan ,22yxr ),( rFu 及及 xrruxu 22)1( yuxu sin,cosryrx 8.4 多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则29 yu2rxuryru ruru cossin sin yrry cos 2221 urru得得22 yuxu yrruyu xyarctan ,22yxr ),( rFu ruxy xururu si

18、ncos 8.4 多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则30ruruxu sincos (2) 22xur sin ruxyru u)sincos(rurux ru2ru 2),(yxfu 设设 的所有的所有二阶偏导数连续二阶偏导数连续x 2222)2(yuxu cos22ru xr x )sin( 22 u x xr sin)1(2r x xr r1 cos cos xrrx sin 8.4 多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则31 ururrurrurru222222222cossin2sinsincossin2cos同理可得同理可得(自己练自己练) ururrurrurru

19、yu222222222222cossin2coscoscossin2sin sin yrry cos 8.4 多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则32两式相加两式相加,得得:22222222211 urrurruyuxu)(1222 ururrrr 8.4 多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则3333 xz则则211ln f yyfyxxy ),(,),(xyyxfzvuf 为为二二元元可可微微函函数数设设考研数学一考研数学一,填空填空, 4分分),(,),(yxxyfzvuf 为为二二元元可可微微函函数数设设 yzyxzx则则考研数学二考研数学二,三三,四四,填空填空, 4分

20、分)(221fyxfxy 8.4 多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则3434),(xyxfz yxz2则则考研数学一考研数学一, 填空填空4分分设函数设函数 f (u,v)具有二阶连续偏导数具有二阶连续偏导数, 1f 解解 xz2f y yxz2011 fxf 1221 f y 021 fxf 2212fx .22fxy 2f 22212fxyffx 8.4 多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则351994年研究生考题年研究生考题,计算计算,3分分,),(),(均连续可微均连续可微设设gfxyxgvxyxfu xvxu 求求)1()(ygfyfxvxuxyx 答案：答案： 8

21、.4 多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则361989年研究生考题年研究生考题,计算计算,5分分,)(),()2(二二阶阶可可导导其其中中设设tfxyxgyxfz .,),(2yxzvug 求求有连续二阶导数有连续二阶导数 解解 xz yxz20( vugyvvvuvyxggxygxf )2(21 vg 0 uugxguv vg )xgvv ,xu xyv )2(yxf 2 ug y )1(2)2( yxf 8.4 多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则37解解具有二阶连续偏导数具有二阶连续偏导数, 且满足且满足, 12222 vfuf),(21,),(22yxxyfyxg 又又

22、.2222ygxg 求求vu,xvfyufxg 2003年考研数学三年考研数学三, 8分分).( yvfxufyg 故故 22xg.2222222222vfvfyvufxyufxyg ,22222222vfvfxvufxyufy yufy22( )2xvuf vf ),2yuvf xvfx22( 22yx ),(vuf 8.4 多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则3838 对抽象函数在求偏导数时对抽象函数在求偏导数时, 一般要设中间变量一般要设中间变量. 例例 设设 f具有二阶连续偏导数具有二阶连续偏导数, ,22xu 求求.2txu 变量树图变量树图ursxtxssfxrrf 或记或

23、记 sfxtrfx 22 u对中间变量对中间变量 r, s 的的偏导数偏导数 ),(22xttxfu 注注从而也是从而也是自变量自变量x, t 的的多元多元复合函数复合函数, 解解),(srf都是都是sr xu其复合结构与其复合结构与f 的复合结构相同的复合结构相同.r, s 的函数的函数,1frf 2fsf ,rf sf 8.4 多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则3939sfxtrfx 22xu .2442322422222sfxtsfxtsrfxtrfxrf rfxu 222ursxt变量树图变量树图,22xu 求求.2txu rs 设设 f具有二阶连续偏导数具有二阶连续偏导数,

24、 ),(22xttxfu x2 )2xt sfxt 322xt srf 2)2x rsf 2(22rf x2 (22sf 2xt 8.4 多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则4040rs.21242232222222sfxtrsfxtsfxsrfrfxt ursxt变量树图变量树图 txu2,22xu 求求.2txu 设设 f具有二阶连续偏导数具有二阶连续偏导数, ),(22xttxfu sfxtrfx 22xu sfx 212xt xsf122 trfx2(222 )1x (rsf 2)2t srf 2 8.4 多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则411998年研究生考题年研究生考题, 填空填空,3分分有有连连续续的的二二阶阶且且设设 ,)()(1fyxyxyfxz ).(,2 yxz则则导导数数)()()(yxyyxxyf y 211()()()xzf xyfxy yyxyxx 8.4 多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则42作业作业习题习题8.48.4(332(332页页) ) 8.4 多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则43) )1 ,1(,1()1(ff )(dd3xx 1)1 ,1( fxxdd)(32 3 ),(,(1xxfxf )(,(,(2xxfxf ),(1xxf ),(2xxf 351 ,1)1 ,1( f,),