多元复合函数的求导法则(8)

1、整理课件1)3sin()(lim2222yxyxyx33sinlimsin,cos22 原原式式令令解解yyx)|lim,yxxyxyxxkxy时，当设沿直线解, |不存在。yxxkxkxyxxkxyx|lim,|lim|整理课件2函数函数 在点在点 可微分可微分),(yxfz ),(yx)(oyBxAz)(oyyzxxzyyzxxzdz )(odzzxzyxfxxx000lim),(xyxfyxxfx),(),(lim00000),(yxfz ),(00yx函数函数 在点在点 可导可导 )( xoxxzzx整理课件4证证),()(tttu 则则);()(tttv 一、链式法则一、链式法则定理

2、定理 如果函数如果函数)(tu 及及)(tv 都在点都在点 t可导， 函数可导， 函数),(vufz 在对应点在对应点),(vu具有连续偏具有连续偏导数，则复合函数导数，则复合函数)(),(ttfz 在对应点在对应点 t可导，且其导数可用下列公式计算：可导，且其导数可用下列公式计算： dtdvvzdtduuzdtdz ，获获得得增增量量设设tt 整理课件5由由于于函函数数),(vufz 在在点点),(vu有有连连续续偏偏导导数数,21vuvvzuuzz 当当0 u，0 v时时，01 ，02 tvtutvvztuuztz 21 当当0 t时时， 0 u，0 v,dtdutu ,dtdvtv 整理

3、课件6.lim0dtdvvzdtduuztzdtdzt 上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.如如dtdwwzdtdvvzdtduuzdtdz uvwtz以上公式中的导数以上公式中的导数 称为称为dtdz整理课件7 上定理还可推广到中间变量不是一元函数上定理还可推广到中间变量不是一元函数而是多元函数的情况：而是多元函数的情况：).,(),(yxyxfz 如如果果),(yxu 及及),(yxv 都都在在点点),(yx具具有有对对x和和y的的偏偏导导数数，且且函函数数),(vufz 在在对对应应点点),(vu具具有有连连续续偏偏导导数数，则则复复合合

4、函函数数),(),(yxyxfz 在在对对应应点点),(yx的的两两个个偏偏导导数数存存在在，且且可可用用下下列列公公式式计计算算 xvvzxuuzxz ， yvvzyuuzyz .整理课件8uvxzy链式法则如图示链式法则如图示 xz uzxu vz,xv yz uzyu vz.yv 整理课件9 类似地再推广，设类似地再推广，设),(yxu 、),(yxv 、),(yxww 都在点都在点),(yx具有对具有对x和和y的偏导数，复合的偏导数，复合函数函数),(),(),(yxwyxyxfz 在对应点在对应点),(yx两个偏导数存在，且可用下列公式计算两个偏导数存在，且可用下列公式计算 xwwz

5、xvvzxuuzxz , ywwzyvvzyuuzyz .zwvuyx整理课件10注意：注意：1）复合函数求导时要区分函数与法则的关系；复合函数求导时要区分函数与法则的关系； )(),(xyyyxfz 例如例如)()(,(xzxyxfz 由复合关系由复合关系则则 z 对对 x 与与 f 对对 x 意义不一样。意义不一样。 求偏导；对看作常数把的二元函数是xyyxfzxfxz,求求导导。对对的的一一元元函函数数，通通过过复复合合是是xzxzdxdzdxdyyfxfdxdz 2）区分偏导与导数的符号；区分偏导与导数的符号； 3）复合函数的导数一般还是复合函数复合函数的导数一般还是复合函数.zxyx

6、整理课件11设设 f(x,y) 可微，且可微，且 f(x,2x)=x, fx(x,2x)=x2, 求求 fy(x,2x).解：解：1)()2,(xdxdxxfdxddxdyxxfxxfxxfdxdyx)2 ,()2 ,()2 ,(21)2,(2xxxfy)2 ,(22xxfxy分析分析：xyyyxyxxyxfxxfyxfxxf22| ),()2 ,(,| ),()2 ,()()(,(2),(xzxyxfzxyyxfz整理课件12特殊地特殊地),(yxufz ),(yxu 即即,),(yxyxfz ,xfxuufxz .yfyuufyz 令令,xv , yw 其中其中, 1 xv, 0 xw,

7、0 yv. 1 yw把把复复合合函函数数,),(yxyxfz 中中的的y看看作作不不变变而而对对x的的偏偏导导数数把把),(yxufz 中中的的u及及y看看作作不不变变而而对对x的的偏偏导导数数两者的区别两者的区别区别类似区别类似整理课件13例例 1 1 设设vezusin ，而，而xyu ，yxv ， 求求 xz 和和yz .解解 xz uzxu vzxv 1cossin veyveuu),cossin(vvyeu yz uzyu vzyv 1cossin vexveuu).cossin(vvxeu 整理课件14例例 2 2 设设tuvzsin ，而而teu ，tvcos ， 求求全全导导数

8、数dtdz.解解tzdtdvvzdtduuzdtdz ttuvetcossin ttetettcossincos .cos)sin(costttet 整理课件15复合函数的二阶导数复合函数的二阶导数),(),(),(),(),(),(yxzyxvyxufzyxvvyxuuvufz ),(),(),(),(yxxvvuvfyxxuvuufxz ),(),(),(),(yxyvvuvfyxyuvuufyz 整理课件16),(),(),(),(),(yxxvvuufvyxxuvuufuvuufx),(),(),(),(),(yxxvvuvfvyxxuvuvfuvuvfxxvvufxuuf222xxv

9、fuf 12 11xvvfxuuvf222xxvfuf 22 21yyvfufvuufy 12 11),(yyvfufvuvfy 22 21),(整理课件17),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),()(22yxxvxvuvfyxxvvuvfxyxxuxvuufyxxuvuufxyxxvvuvfyxxuvuufxxzxxz 22222)(xuufxuxvvufxuuf22222)(xvvfxvxvvfxuuvfxxxxxxxxxxxvfvufvufufvufuf12 12 211 122 11整理课件18 例例 3 3 设设),(xyzzyxfw ，f具具有有二二

10、阶阶 连连续续偏偏导导数数，求求xw 和和zxw 2. .解解令令, zyxu ;xyzv 记记,),(1uvuff ,),(212vuvuff 同理有同理有,2f ,11f .22f xwxvvfxuuf ;21fyzf 整理课件19 zxw2)(21fyzfz ;221zfyzf yzf zf1zvvfzuuf 11;1211fxyf zf2zvvfzuuf 22;2221fxyf 于是于是 zxw21211fxyf 2f y )(2221fxyfyz .)(22221211f yf zxyfzxyf 整理课件20 设设函函数数),(vufz 具具有有连连续续偏偏导导数数，则则有有全全微微

11、分分dvvzduuzdz ;当当),(yxu 、),(yxv 时时，有有dyyzdxxzdz .全微分形式不变形的实质：全微分形式不变形的实质： 无论无论 是自变量是自变量 的函数或中间变量的函数或中间变量 的函数，它的全微分形式是一样的的函数，它的全微分形式是一样的.zvu、vu、二、全微分形式不变性二、全微分形式不变性整理课件21dxxvvzxuuz dyyzdxxzdz dyyvvzyuuz dyyudxxuuz dyyvdxxvvzduuz .dvvz 整理课件22例例 4 4 已已知知02 zxyeze，求求xz 和和yz .解解, 0)2( zxyezed, 02)( dzedzx

12、ydezxy)()2(ydxxdyedzexyz dyexedxeyedzzxyzxy)2()2( xz ,2 zxyeyeyz .2 zxyexe整理课件231、链式法则、链式法则（分三种情况）（分三种情况）2、全微分形式不变性、全微分形式不变性（特别要注意课中所讲的特殊情况）（特别要注意课中所讲的特殊情况）（理解其实质）（理解其实质）三、小结三、小结整理课件24设设),(xvufz ，而而)(xu ，)(xv ，则则xfdxdvvfdxduufdxdz ，试试问问dxdz与与xf 是是否否相相同同？为为什什么么？思考题思考题整理课件25思考题解答思考题解答不不相相同同.等等式式左左端端的的

13、z是是作作为为一一个个自自变变量量x的的函函数数，而而等等式式右右端端最最后后一一项项f是是作作为为xvu,的的三三元元函函数数， 写写出出来来为为 xxvuxdxduufdxdz),(.),(),(xvuxxvuxfdxdvvf 整理课件26一、填空题一、填空题: : 1 1、设、设xyyxzcoscos , ,则则 xz_； yz_. .2 2、 设设22)23ln(yyxxz , ,则则 xz_； yz_._. 3 3、设、设32sinttez , ,则则 dtdz_._.二二、设设uvuez , ,而而xyvyxu ,22，求求yzxz , . .练练 习习 题题整理课件27三、设三、

14、设)arctan(xyz , ,而而xey , ,求求dxdz. .四、设四、设),(22xyeyxfz ( (其其具具中中f有一阶连续偏导有一阶连续偏导 数数) ), ,求求yzxz ,. .五、设五、设)(xyzxyxfu ,(,(其其具具中中f有一阶连续偏导有一阶连续偏导 数数),),求求.,zuyuxu 六、设六、设),(yxxfz ,(,(其其具具中中f有二阶连续偏导数有二阶连续偏导数),),求求 22222,yzyxzxz . .整理课件28七、设七、设,)(22yxfyz 其中为可导函数其中为可导函数, , 验证验证: :211yzyzyxzx . .八、设八、设 ,),(其中其中yyxxz 具有二阶导数具有二阶导数, ,求求 .,2222yzxz 整理课件29一、一、1 1、xyyyyxxxyxxxy222cos)cossin(cos,cos)sin(coscos ； 2 2、,)23(3)23ln(2222yyxxyxyx 2232)23(2)23ln(2yyxxyxyx ； 3 3、.)43(1)41(3232ttt 二、二、,)(22222222yxxyeyyxyxyxxz )(22222)