多元复合函数的求导法则(6)

1、整理课件1第四节第四节 多元复合函数的多元复合函数的求导法则求导法则 一、链式法则一、链式法则 二、全微分形式的不变性二、全微分形式的不变性 三、小结三、小结 思考题思考题整理课件2证证),()(tttu 则则);()(tttv 定理定理 1 1 如果函数如果函数)(tu 及及)(tv 都在点都在点 t可导，函数可导，函数),(vufz 在对应点在对应点),(vu具有连续具有连续偏导数，则复合函数偏导数，则复合函数)(),(ttfz 在对应点在对应点t可导，且其导数可用下列公式计算：可导，且其导数可用下列公式计算： dtdvvzdtduuzdtdz ，获获得得增增量量设设tt 一、链式法则一、

2、链式法则1 1、复合函数的中间变量均为一元函数、复合函数的中间变量均为一元函数整理课件3由由于于函函数数),(vufz 在在点点),(vu有有连连续续偏偏导导数数,21vuvvzuuzz 当当0 u，0 v时时，01 ，02 tvtutvvztuuztz 21 当当0 t时时， 0 u，0 v,dtdutu ,dtdvtv 整理课件4.lim0dtdvvzdtduuztzdtdzt 上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.如如dtdwwzdtdvvzdtduuzdtdz uvwtz以上公式中的导数以上公式中的导数 称为称为dtdz整理课件5 定理定

3、理 2 2 如果如果),(yxu 及及),(yxv 都在点都在点),(yx具有对具有对x和和y的偏导数，且函数的偏导数，且函数),(vufz 在对应点在对应点),(vu具有连续偏导数，则复合函数具有连续偏导数，则复合函数),(),(yxyxfz 在对应点在对应点),(yx的两个偏的两个偏导数导数存在，且可用下列公式计算存在，且可用下列公式计算 xvvzxuuzxz ， yvvzyuuzyz . 2 2、复合函数的中间变量均为多元函数、复合函数的中间变量均为多元函数整理课件6uvxzy上述法则如图示上述法则如图示 xz uzxu vz,xv yz uzyu vz.yv 整理课件7 类似地再推广，

4、设类似地再推广，设),(yxu 、),(yxv 、 ),(yxww 都在点都在点),(yx具有对具有对x和和y的偏导数，复合的偏导数，复合 函数函数),(),(),(yxwyxyxfz 在对应点在对应点),(yx的的 两个偏导数存在，且可用下列公式计算两个偏导数存在，且可用下列公式计算 xwwzxvvzxuuzxz , ywwzyvvzyuuzyz . zwvuyx整理课件8特殊地特殊地),(yxufz ),(yxu 即即,),(yxyxfz ,xfxuufxz .yfyuufyz 令令,xv , yw 其中其中, 1 xv, 0 xw, 0 yv. 1 yw把把复复合合函函数数,),(yxy

5、xfz 中中的的y看看作作不不变变而而对对x的的偏偏导导数数把把),(yxufz 中中的的u及及y看看作作不不变变而而对对x的的偏偏导导数数两者的区别两者的区别区别类似区别类似整理课件9例例 1 1 设设vezusin ，而，而xyu ，yxv ， 求求 xz 和和yz .解解 xz uzxu vzxv 1cossin veyveuu),cossin(vvyeu yz uzyu vzyv 1cossin vexveuu).cossin(vvxeu 整理课件10例例 2 2 设设tuvzsin ，而而teu ，tvcos ， 求求全全导导数数dtdz.解解tzdtdvvzdtduuzdtdz t

6、tuvetcossin ttetettcossincos .cos)sin(costttet 整理课件11 例例 3 3 设设),(xyzzyxfw ，f具具有有二二阶阶 连连续续偏偏导导数数，求求xw 和和zxw 2. .解解令令, zyxu ;xyzv 记记,),(1uvuff ,),(212vuvuff 同理有同理有,2f ,11f .22f xwxvvfxuuf ;21fyzf 整理课件12 zxw2)(21fyzfz ;221zfyzf yzf zf1zvvfzuuf 11;1211fxyf zf2zvvfzuuf 22;2221fxyf 于是于是 zxw21211fxyf 2f y

7、 )(2221fxyfyz .)(22221211f yf zxyfzxyf 整理课件13 设设函函数数),(vufz 具具有有连连续续偏偏导导数数，则则有有全全微微分分dvvzduuzdz ;当当),(yxu 、),(yxv 时时，有有dyyzdxxzdz .全微分形式不变性的实质：全微分形式不变性的实质： 无论无论 是自变量是自变量 的函数或中间变量的函数或中间变量 的函数，它的全微分形式是一样的的函数，它的全微分形式是一样的.zvu、vu、二、全微分形式不变性二、全微分形式不变性整理课件14dxxvvzxuuz dyyzdxxzdz dyyvvzyuuz dyyudxxuuz dyyvd

8、xxvvzduuz .dvvz 整理课件15例例 4 4 已已知知02 zxyeze，求求xz 和和yz .解解, 0)2( zxyezed, 02)( dzedzxydezxy)()2(ydxxdyedzexyz dyexedxeyedzzxyzxy)2()2( xz ,2 zxyeyeyz .2 zxyexe整理课件161、链式法则、链式法则（分三种情况）（分三种情况）2、全微分形式不变性、全微分形式不变性（特别要注意课中所讲的特殊情况）（特别要注意课中所讲的特殊情况）（理解其实质）（理解其实质）三、小结三、小结整理课件17设设),(xvufz ，而，而)(xu ，)(xv ， 则则xfd

9、xdvvfdxduufdxdz ， 试问试问dxdz与与xf 是否相同？为什么？是否相同？为什么？ 思考题思考题整理课件18思考题解答思考题解答不不相相同同.等等式式左左端端的的z是是作作为为一一个个自自变变量量 x的的函函数数， 而而等等式式右右端端最最后后一一项项f是是作作为为xvu,的的三三元元函函数数， 写写出出来来为为 xxvuxdxduufdxdz),(.),(),(xvuxxvuxfdxdvvf 整理课件19一、填空题一、填空题: : 1 1、设、设xyyxzcoscos , ,则则 xz_； yz_. . 2 2、 设设22)23ln(yyxxz , ,则则 xz_； yz_.

10、_. 3 3、设、设32sinttez , ,则则 dtdz_._. 二二、设设uvuez , ,而而xyvyxu ,22，求求yzxz , . . 练练 习习 题题整理课件20三、设三、设)arctan(xyz , ,而而xey , ,求求dxdz. .四、设四、设),(22xyeyxfz ( (其其具具中中f有一阶连续偏导有一阶连续偏导 数数) ), ,求求yzxz ,. .五、设五、设)(xyzxyxfu ,(,(其其具具中中f有一阶连续偏导有一阶连续偏导 数数),),求求.,zuyuxu 六、设六、设),(yxxfz ,(,(其其具具中中f有二阶连续偏导数有二阶连续偏导数),),求求

11、22222,yzyxzxz . .整理课件21七、设七、设,)(22yxfyz 其中为可导函数其中为可导函数, , 验证验证: :211yzyzyxzx . . 八、设八、设 ,),(其其中中yyxxz 具有二阶导数具有二阶导数, ,求求 .,2222yzxz 整理课件22一、一、1 1、xyyyyxxxyxxxy222cos)cossin(cos,cos)sin(coscos ； 2 2、,)23(3)23ln(2222yyxxyxyx 2232)23(2)23ln(2yyxxyxyx ； 3 3、.)43(1)41(3232ttt 二、二、,)(22222222yxxyeyyxyxyxxz )(22222)(22yxxyeyxxyxyyz . .练习题答案练习题答案整理课件23三、三、xxexxedxdz221)1