物理291刚体的定轴转动力矩 转动定律 转动惯量ppt课件

1、第二章第二章 守恒定律守恒定律2.9刚体的定轴转动定律刚体的定轴转动定律Pz*OFdFrMsinMFrd 刚体绕刚体绕 O z 轴旋转轴旋转 , 力力 作用在刚体上点作用在刚体上点 P , 且在转动且在转动平面内平面内, 为由点为由点O 到力的到力的作用点作用点 P 的径矢的径矢 . FrFrM 对转轴对转轴 Z 的力矩的力矩 F0,0iiMF0,0iiMFFFFF 2.9.3 刚体定轴转动定律刚体定轴转动定律一一 、 力矩力矩 M第二章第二章 守恒定律守恒定律2.9刚体的定轴转动定律刚体的定轴转动定律zOkFr讨论讨论FFFzFrkMzsin rFMzzFF 1若力若力 不在转动平面内，把力

2、分解为平行和垂不在转动平面内，把力分解为平行和垂直于转轴方向的两个分量直于转轴方向的两个分量 F2合力矩等于各分力矩的矢量和合力矩等于各分力矩的矢量和321MMMM 其中其中 对转轴的力对转轴的力矩为零，故矩为零，故 对转轴的对转轴的力矩力矩zFF第二章第二章 守恒定律守恒定律2.9刚体的定轴转动定律刚体的定轴转动定律3） 刚体内作用力和反作用力的力矩互相抵消刚体内作用力和反作用力的力矩互相抵消jiijMMjririjijFjiFdOijMjiM第二章第二章 守恒定律守恒定律2.9刚体的定轴转动定律刚体的定轴转动定律Ormz二二 、 转动定律转动定律FtFnFsinrFM mrmaF2iiii

3、rmMM内外2刚体刚体质量元受外力质量元受外力 ，内力，内力外iF内iFM 1单个质点单个质点 与转与转轴刚性连接轴刚性连接m外力矩外力矩内力矩内力矩2mrM 2mrrFMOzimir外iF内iF第二章第二章 守恒定律守恒定律2.9刚体的定轴转动定律刚体的定轴转动定律 刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力矩成刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力矩成正比正比 ，与刚体的转动惯量成反比，与刚体的转动惯量成反比 .rmMMiiiiiii2内外0iiM内)rmMiiiii2(外 转动定律转动定律JM 2iiirmJ定义转动惯量定义转动惯量mrJd2Ozimir外iF内iF第二章第二章 守恒定律守恒

4、定律2.9刚体的定轴转动定律刚体的定轴转动定律mrJrmJiiid,22三三 转动惯量转动惯量 物理意义：转动惯性的量度物理意义：转动惯性的量度 . 质量离散分布刚体的转动惯量质量离散分布刚体的转动惯量2222112rmrmrmJiji转动惯性的计算方法转动惯性的计算方法 质量连续分布刚体的转动惯量质量连续分布刚体的转动惯量mrrmJiiid22：质量元：质量元md第二章第二章 守恒定律守恒定律2.9刚体的定轴转动定律刚体的定轴转动定律2 对质量线分布的刚体：对质量线分布的刚体：质量线密度：质量线密度lmdd2 对质量面分布的刚体：对质量面分布的刚体：质量面密度：质量面密度Smdd2 对质量体

5、分布的刚体：对质量体分布的刚体：质量体密度：质量体密度Vmdd：质量元：质量元md 质量连续分布刚体的转动惯量质量连续分布刚体的转动惯量mrrmJiiid22第二章第二章 守恒定律守恒定律2.9刚体的定轴转动定律刚体的定轴转动定律lO O 解解 设棒的线密度为设棒的线密度为 ，取一距离转轴，取一距离转轴 OO 为为 处的质量元处的质量元 rrmddlrrJ02drd32/02121d2lrrJl231mlrrrmrJddd22 例例2 一质量为一质量为 、长为、长为 的均匀细长棒，求的均匀细长棒，求通过棒中心并与棒垂直的轴的转动惯量通过棒中心并与棒垂直的轴的转动惯量 .mlrd2l2lO O2

6、121ml如转轴过端点垂直于棒如转轴过端点垂直于棒第二章第二章 守恒定律守恒定律2.9刚体的定轴转动定律刚体的定轴转动定律OROR4032d2RrrJRr dr 例例3 一质量为一质量为 、半径为、半径为 的均匀圆盘，求通过盘中心的均匀圆盘，求通过盘中心 O 并与盘面垂直的轴的转动惯量并与盘面垂直的轴的转动惯量 .mR 解解 设圆盘面密度为设圆盘面密度为 ，在盘上取半径为在盘上取半径为 ，宽为，宽为 的圆环的圆环rrd2 Rm而而rrmd2d圆环质量圆环质量221mRJ 所以所以rrmrJd2dd32圆环对轴的转动惯量圆环对轴的转动惯量第二章第二章 守恒定律守恒定律2.9刚体的定轴转动定律刚体

7、的定轴转动定律2mdJJCO四四 平行轴定理平行轴定理P 转动惯量的大小取决于刚体的质量、形转动惯量的大小取决于刚体的质量、形状及转轴的位置状及转轴的位置 . 质量为质量为 的刚体，如的刚体，如果对其质心轴的转动惯量果对其质心轴的转动惯量为为 ，则对任一与该轴平行，则对任一与该轴平行，相距为相距为 的转轴的转动惯的转轴的转动惯量量CJmddCOm留意留意2221mRmRJP圆盘对圆盘对P 轴轴的转动惯量的转动惯量RmO第二章第二章 守恒定律守恒定律2.9刚体的定轴转动定律刚体的定轴转动定律竿子长些还是短些较安全？竿子长些还是短些较安全？ 飞轮的质量为什么飞轮的质量为什么大都分布于外轮缘？大都分

8、布于外轮缘？第二章第二章 守恒定律守恒定律2.9刚体的定轴转动定律刚体的定轴转动定律 例例4 质量为质量为 的物体的物体 A 静止在光滑水平面上，和一质静止在光滑水平面上，和一质量不计的绳索相连接，绳索跨过一半径为量不计的绳索相连接，绳索跨过一半径为 R、质量为、质量为 的圆柱的圆柱形滑轮形滑轮 C，并系在另一质量为，并系在另一质量为 的物体的物体 B 上上. 滑轮与绳索间没滑轮与绳索间没有滑动，有滑动， 且滑轮与轴承间的摩擦力可略去不计且滑轮与轴承间的摩擦力可略去不计. 问：（问：（1） 两物两物体的线加速度为多少？体的线加速度为多少？ 水平和竖直两段绳索的张力各为多少？水平和竖直两段绳索的

9、张力各为多少？（2） 物体物体 B 从从BmCm 再求线加速度及再求线加速度及绳的张力绳的张力. 静止落下距离静止落下距离 时，时，其速率是多少？（其速率是多少？（3若滑轮与轴承间的摩若滑轮与轴承间的摩擦力不能忽略，并设擦力不能忽略，并设它们间的摩擦力矩为它们间的摩擦力矩为fMyAmABCAmBmCm第二章第二章 守恒定律守恒定律2.9刚体的定轴转动定律刚体的定轴转动定律ABCAmBmCmT1FT2FAPOxT1FNFAmyOT2FBPBmamFAT1amFgmBT2BJRFRFT1T2Ra 解解 （1隔离物体分隔离物体分别对物体别对物体A、B 及滑轮作及滑轮作受力分析，取坐标如图，受力分析，

10、取坐标如图，运用牛顿第二定律运用牛顿第二定律 、转、转动定律列方程动定律列方程 . T2FT1FCPCF第二章第二章 守恒定律守恒定律2.9刚体的定轴转动定律刚体的定轴转动定律2CBABmmmgma2CBABAT1mmmgmmF2)2(CBABCAT2mmmgmmmF如令如令 ，可得，可得0CmBABAT2T1mmgmmFF（2） B由静止出发作匀加速直线运动，下落的速率由静止出发作匀加速直线运动，下落的速率2/22CBABmmmgymayvABCAmBmCmT1FT2F第二章第二章 守恒定律守恒定律2.9刚体的定轴转动定律刚体的定轴转动定律（3） 考虑滑轮与轴承间的摩考虑滑轮与轴承间的摩擦力

11、矩擦力矩 ，转动定律，转动定律fM结合结合1中其它方程中其它方程JMRFRFfT1T2amFAT1amFgmBT2BRa JMRFRFfT1T2T2FBPBmAPT1FNFAmT2FT1FfM第二章第二章 守恒定律守恒定律2.9刚体的定轴转动定律刚体的定轴转动定律2/)/(CBAfBAT1mmmRMgmmF2)2(CBAfCABT2mmmRMgmmmF2/CBAfBmmmRMgmaABCAmBmCmT1FT2FJMRFRFfT1T2amFAT1amFgmBT2BRa 第二章第二章 守恒定律守恒定律2.9刚体的定轴转动定律刚体的定轴转动定律2.9.4 刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律刚体

12、定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律1 刚体定轴转动的角动量刚体定轴转动的角动量iiiiiiirmrmL)(2v2 刚体定轴转动的角动量定理刚体定轴转动的角动量定理1221dJJtMtt非刚体定轴转动的角动量定理非刚体定轴转动的角动量定理112221dJJtMttOirimivtJtLMd)(dddJL z第二章第二章 守恒定律守恒定律2.9刚体的定轴转动定律刚体的定轴转动定律 角动量守恒定律是自然界的一个基本定律角动量守恒定律是自然界的一个基本定律. 内力矩不改变系统的角动量内力矩不改变系统的角动量. 守守 恒条件恒条件0M假设假设 不变，不变， 不变；假设不变；假设 变，变， 也变，但也变

13、，但 不变不变.JJLJ刚体定轴转动的角动量定理刚体定轴转动的角动量定理1221dJJtMtt3 刚体定轴转动的角动量守恒定律刚体定轴转动的角动量守恒定律0M常量JL，那，那么么假假设设讨论讨论外内MM 在冲击等问题中在冲击等问题中L常量常量第二章第二章 守恒定律守恒定律2.9刚体的定轴转动定律刚体的定轴转动定律 有许多现象都可以有许多现象都可以用角动量守恒来说明用角动量守恒来说明.自然界中存在多种守恒定律自然界中存在多种守恒定律2 动量守恒定律动量守恒定律2能量守恒定律能量守恒定律2角动量守恒定律角动量守恒定律2电荷守恒定律电荷守恒定律2质量守恒定律质量守恒定律2宇称守恒定律等宇称守恒定律等

14、花样滑冰花样滑冰跳水运动员跳水跳水运动员跳水第二章第二章 守恒定律守恒定律2.9刚体的定轴转动定律刚体的定轴转动定律 被被 中中 香香 炉炉惯性导航仪陀螺）惯性导航仪陀螺） 角动量守恒定律在技术中的应用角动量守恒定律在技术中的应用 第二章第二章 守恒定律守恒定律2.9刚体的定轴转动定律刚体的定轴转动定律 例例3 质量很小长度为质量很小长度为l 的均匀细杆的均匀细杆,可绕过其中心可绕过其中心 O并与纸面垂直的轴在竖直平面内转动并与纸面垂直的轴在竖直平面内转动.当细杆静止于水平当细杆静止于水平位置时位置时, 有一只小虫以速率有一只小虫以速率 垂直落在距点垂直落在距点O为为 l/4 处处, 并并背离

15、点背离点O 向细杆的端点向细杆的端点A 爬行爬行.设小虫与细杆的质量均为设小虫与细杆的质量均为m.问问:欲使细杆以恒定的角速度转动欲使细杆以恒定的角速度转动, 小虫应以多大速率小虫应以多大速率向细杆端点爬行向细杆端点爬行?0v220)4(1214lmmllmvl0712 v 解解 小虫与细杆的碰撞视为完全非弹性碰撞，碰撞小虫与细杆的碰撞视为完全非弹性碰撞，碰撞前后系统角动量守恒前后系统角动量守恒第二章第二章 守恒定律守恒定律2.9刚体的定轴转动定律刚体的定轴转动定律l0712 v由角动量定理由角动量定理tJtJtLMddd)(dddtrmrmrmltmgrdd2)121(ddcos22即即考虑

16、到考虑到t)712cos(247cos2dd00tltgtrvvlg第二章第二章 守恒定律守恒定律2.9刚体的定轴转动定律刚体的定轴转动定律 例例4 一杂技演员一杂技演员 M 由距水平跷板高为由距水平跷板高为 h 处自由下处自由下落到跷板的一端落到跷板的一端A,并把跷板另一端的演员并把跷板另一端的演员N 弹了起来弹了起来.设设跷板是匀质的跷板是匀质的,长度为长度为l,质量为质量为 ,跷板可绕中部支撑点跷板可绕中部支撑点C 在竖直平面内转动在竖直平面内转动,演员的质量均为演员的质量均为m.假定演员假定演员M落在跷落在跷板上板上,与跷板的碰撞是完全非弹性碰撞与跷板的碰撞是完全非弹性碰撞.问演员问演

17、员N可弹起多可弹起多高高?ll/2CABMNh 解解 碰撞前碰撞前 M 落在落在 A点的速度点的速度21M)2( ghv 碰撞后的瞬间碰撞后的瞬间, M、N具有相同的线速度具有相同的线速度2lu m第二章第二章 守恒定律守恒定律2.9刚体的定轴转动定律刚体的定轴转动定律 把把M、N和跷板作为和跷板作为一个系统一个系统, 角动量守恒角动量守恒21M)(2gh v2lu 22M21121222mllmlmuJlmvlmmghmmllmlm)6()2(621222122Mv解得解得演员演员 N 以以 u 起起跳跳, 达到的高度达到的高度hmmmglguh2222)63(82ll/2CABMNh第二章第二章 守恒定律守恒定律2.9刚体的定轴转动定律刚体的定轴转动定律 例例5 一长为一长为 质量为质量为 匀质细杆竖直放置，其匀质细杆竖直放置，其下端与一固定铰链下端与一固定铰链 O 相接，并可绕其转动相接，并可绕其转动 . 由于此由于此竖直放置的细杆处于非稳定平衡状态，当其受到微小竖直放置的细杆处于非稳定平衡状态，当其受到微小扰动时，细杆将在重力作用下由静止开始