第三讲_随机变量及其分布

1、概率论与数理统计概率论与数理统计3.3.随机变量及其分布随机变量及其分布v3.1 随机变量及其分布函数随机变量及其分布函数v3.2 典型的随机变量分布函数典型的随机变量分布函数v3.3 随机变量的函数的分布随机变量的函数的分布v3.4 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布3.1 3.1 随机变量及其分布函数随机变量及其分布函数 前面用文字描述表示随机试验中发生的各种可能前面用文字描述表示随机试验中发生的各种可能结果，即随机事件，并用符号结果，即随机事件，并用符号A，B等表示。尽管直观等表示。尽管直观形象，但不利于更定量、深入地分析随机现象的统计形象，但不利于更定量、深入地分析随机现象的统计

2、规律性。规律性。 下面要引入的下面要引入的随机变量是对随机事件的数量化，随机变量是对随机事件的数量化，即把随机试验的结果与一个实数对应起来即把随机试验的结果与一个实数对应起来。在此基础。在此基础上，一方面对随机现象有了更为定量化的把握，另一上，一方面对随机现象有了更为定量化的把握，另一方面可以利用数学分析的方法进行讨论。方面可以利用数学分析的方法进行讨论。 下面用例子说明可以用数字表示随机试验的结果。下面用例子说明可以用数字表示随机试验的结果。例例1 1设设E1为掷骰子实验，观察出现的点数。用为掷骰子实验，观察出现的点数。用X表示出表示出现的点数，则出现现的点数，则出现m点时点时X=m。于是。

3、于是X是一个依赖是一个依赖于试验结果的变量。于试验结果的变量。例例2 2设设E2为掷硬币实验，观察出现的正反面。结果可为掷硬币实验，观察出现的正反面。结果可能为正面或者反面，令能为正面或者反面，令X=1表示出现正面，表示出现正面，X=0表表示出现反面。示出现反面。例例3 3口袋里有黑球和白球各五个，除颜色外无法加以分口袋里有黑球和白球各五个，除颜色外无法加以分辨。从口袋中随机取出两个球，有三种可能结果。辨。从口袋中随机取出两个球，有三种可能结果。令令X表示取出的黑球的数目，则表示取出的黑球的数目，则X=2,1,0分别与三种分别与三种结果对应。结果对应。v定义：定义：设设=是随机试验的样本空间，

4、对是随机试验的样本空间，对任意任意 ，X()为实数，且对任意实数为实数，且对任意实数x，: X() x是随机事件，则称是随机事件，则称X()为为随机随机变量变量，简记为，简记为X.vX(X() )与普通函数：与普通函数：普通函数的的定义域是数普通函数的的定义域是数集，而随机变量的定义域是随机试验的样本集，而随机变量的定义域是随机试验的样本空间，样本点可以是数也可以是非数量的事空间，样本点可以是数也可以是非数量的事件。件。 随机变量与其概率的关系（与随机变量与其概率的关系（与X 关系相比）更类似于普通函数中自变量和函关系相比）更类似于普通函数中自变量和函数值的关系。数值的关系。离散型随机变量及其

5、分布离散型随机变量及其分布v定义：定义：若随机变量的全部可能取值为有限个若随机变量的全部可能取值为有限个或可列个，则称此随机变量为或可列个，则称此随机变量为离散型随机变离散型随机变量量。v定义：定义：设离散型随机变量设离散型随机变量X的全部可能取值的全部可能取值为为 ，且取各值的概率为，且取各值的概率为 则称上式为则称上式为离散型随机变量离散型随机变量X的概率分布或的概率分布或分布律，简称分布分布律，简称分布。(, ,.) 1 2kxk()kkP Xxp(, ,) 1 2 kp pk k满足条件满足条件: : (1)(1)非负性非负性 p pk k0 0（k k=1,2,=1,2,）; ;(2

6、)(2)归一性归一性 . 11kkp随机变量的分布函数随机变量的分布函数v定义：定义：设设X为随机变量，为随机变量，x是任意实数，称函数是任意实数，称函数 为为X的分布函数的分布函数。 一个一般的随机事件总可以用随机变量取值落在一个一般的随机事件总可以用随机变量取值落在特定区间内来表示；特别是对于随机变量连续取值的特定区间内来表示；特别是对于随机变量连续取值的情况，讨论随机变量取某一特定值的事件的概率意义情况，讨论随机变量取某一特定值的事件的概率意义不大；所以不大；所以有必要讨论随机变量落在某区间内的概率有必要讨论随机变量落在某区间内的概率。( )()F xP Xx分布函数的基本性质分布函数的

7、基本性质v性质性质1 1 F(x) F(x)单调不减，即当单调不减，即当x x1 1xx2 2时，时，F(xF(x1 1)F(x)F(x2 2).).v性质性质2 2 0F(x)1 0F(x)1，且，且v性质性质3 3 F(x) F(x)右连续，即右连续，即()lim( ),()lim( ). 01xxFF xFF x()lim( )( ). 0txF xF tF x 已知分布函数，任意事件的概率可由下式得到：已知分布函数，任意事件的概率可由下式得到：（1）P(aXb)=F(b)-F(a);（2）P(X=a)=F(a)-F(a-0), 其中其中()lim( ). 0 xaF aF xv 的基本

8、性质：的基本性质：1. 非负性非负性2. 归一性归一性3. 4. 若若 在点在点x处连续，则处连续，则 连续型随机变量及其分布连续型随机变量及其分布v定义：定义：设设F(x)是随机变量是随机变量X的分布函数。若存在非的分布函数。若存在非负函数负函数 ，对任意实数，对任意实数x，有，有 则称则称X为连续型随机变量，称为连续型随机变量，称 为为X的的概率密度函概率密度函数数或或密度函数密度函数，也称为，也称为分布密度分布密度。( )f x( )( ) xF xf t dt( )f x( )f x只要满足性质只要满足性质1和性质和性质2，f(x)就可以作为某个随机就可以作为某个随机变量的密度函数。变

9、量的密度函数。( )f xv 的基本性质：的基本性质：1. 非负性非负性2. 归一性归一性3. 4. 若若 在点在点x处连续，则处连续，则 ( ). 0f x( ). 1f x dx()()()( ) 211221xxP xXxF xF xf x dx(). 12xx( )( ). Fxf x( )f x3.2 3.2 典型的随机变量分布函数典型的随机变量分布函数（一）离散型随机变量的（一）离散型随机变量的(0-1)(0-1)分布分布v若随机试验只有两个结果，分别用若随机试验只有两个结果，分别用0和和1定义定义相应的随机变量相应的随机变量X的取值，且的取值，且X=1的概率为的概率为p，则，则X

10、的分布律为的分布律为v例如：随手掷一枚匀质硬币（例如：随手掷一枚匀质硬币（p=0.5）;明天明天是否下雨；一粒种子能否发芽是否下雨；一粒种子能否发芽()()kkP Xkpp 11(, ;)kp0 1 01（二）离散型随机变量的二项分布（二）离散型随机变量的二项分布v定义定义n重伯努利试验中事件重伯努利试验中事件A发生的次数发生的次数k(k=0, 1, 2, , n)为随机变量为随机变量X。则。则()( )kkn knnP XkP kC p q 其中其中k=0,1,n; 0p1; k=0,1,n; 0p00是一常数，是一常数，n n为正整数。若为正整数。若npnpn n= =, ,则对任一固定的

11、非负整数则对任一固定的非负整数k k，有，有lim()!kkkn knnnnC ppek 1（四）连续型随机变量的均匀分布（四）连续型随机变量的均匀分布v若连续性随机变量若连续性随机变量X的密度函数的密度函数()fxba 10(),axb()其他 ，则称则称X X服从区间服从区间( (a,ba,b) )上的均匀分布，记为上的均匀分布，记为 XUXU ( (a,ba,b). ). 【注：对应于一维几何概型注：对应于一维几何概型】由定义，由定义，XUXU ( (a,ba,b) )的分布函数为的分布函数为( )( )()/()xF xf t dtxaba 01(),xa (),axb().xb （五

12、）连续型随机变量的指数分布（五）连续型随机变量的指数分布v若连续性随机变量若连续性随机变量X的密度函数的密度函数()xefx 0(;),x 00()x 0 ，则称则称X X服从参数为服从参数为的指数分布，记为的指数分布，记为 XXE(). . 由定义，由定义，XE(XE() )的分布函数为的分布函数为( )( )xxeF xf t dt 10(),x 0().x 0（六）连续型随机变量的正态分布（六）连续型随机变量的正态分布v若连续性随机变量若连续性随机变量X的密度函数的密度函数()()xfxe 22212()x ，其中其中, 为常数，且为常数，且0，则称则称X X服从参数为服从参数为和和 的

13、正态分布，记为的正态分布，记为XXN(, 2)，也称也称为高斯分布为高斯分布. . 称为位置参数称为位置参数, 称为形状参数。称为形状参数。正态分布满足正定性和归一性。正态分布满足正定性和归一性。v性质：性质：v1. (x)+ (-x)=1.v2. 若若X服从一般正态分布服从一般正态分布XXN(, 2)，则，则 Z=(X- )/ N(0, 1)。于是有。于是有XXN(0, 1)，称为标准正态分布称为标准正态分布，相应的分布函数，相应的分布函数 ( )txxedt 2212的值可查表得到。的值可查表得到。( )()xF x v定义：设定义：设XXN(0, 1)，若，若 和和 分别满足分别满足 则

14、称则称 和和 为标准正态分布的上侧为标准正态分布的上侧分位分位点和双侧点和双侧分位点。分位点。分位点分位点z /z 2/(),(|)P XzPXz2(), 01z /z 2注：正态分布是最重要的一种分布。若随机变量的取注：正态分布是最重要的一种分布。若随机变量的取值受许多相互独立的随机因素的影响，其中每个因素值受许多相互独立的随机因素的影响，其中每个因素都不起决定性作用，且不同因素的影响可以叠加，则都不起决定性作用，且不同因素的影响可以叠加，则该随机变量将服从正态分布（中心极限定理）。该随机变量将服从正态分布（中心极限定理）。3.3 3.3 随机变量函数的分布随机变量函数的分布（一）离散型随机

15、变量函数的分布（一）离散型随机变量函数的分布v若离散型随机变量若离散型随机变量X的分布律为的分布律为 则当则当X的函数的函数Y=g(X)的全部可能取值为的全部可能取值为 yj (j=1,2,) 时，时，Y的分布律为的分布律为()kkP Xxp(, ,)k 1 2 ()()()kjjkg xyP YyP Xx (, ,)j 1 2 （二）连续型随机变量函数的分布（二）连续型随机变量函数的分布v定理：设随机变量定理：设随机变量X的密度函数为的密度函数为( )(),Xfxx g(x) g(x) 为为(-, +)(-, +)内严格单调的可导函数，则随机内严格单调的可导函数，则随机变量变量Y=g(X)Y

16、=g(X)的密度函数为的密度函数为( ( )|( )|( )XYfh yh yfy 0(),y().其他其中，其中，h(y)h(y)是是g(x)g(x)的反函数，的反函数，和和分别为分别为g(x)在在(-, +)(-, +)内的极小和极大值，即内的极小和极大值，即g(g(-) )和和g(+)g(+)中较小和较大的值。中较小和较大的值。3.4 3.4 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布v在许多实际的随机现象中，试验结果需要不少于在许多实际的随机现象中，试验结果需要不少于两个随机变量来描述。例如：两个随机变量来描述。例如：炮弹在某平面区域的落点。对于某炮弹落地的事炮弹在某平面区域的落点。对于

17、某炮弹落地的事件件，需要由落地点的横坐标和纵坐标表示，可，需要由落地点的横坐标和纵坐标表示，可相应引入随机变量相应引入随机变量X()和和Y()。炼钢厂炼出的每炉钢炼钢厂炼出的每炉钢的质量都至少要由其硬度的质量都至少要由其硬度、含碳量、含硫量三个指标确定，可引入、含碳量、含硫量三个指标确定，可引入X(), Y() 和和Z()三个随机变量来描述。三个随机变量来描述。v定义：定义：设设E是一个随机试验，它的样本空间为是一个随机试验，它的样本空间为=。设。设X1(), X2(), , Xn() 是定义在是定义在上的随机变量，则由它们构成的一个有序数组上的随机变量，则由它们构成的一个有序数组X=(X1,

18、 X2, , Xn) 称为称为n维随机变量（或，维随机变量（或，n维维随机向量）。随机向量）。下面以二维随机变量（下面以二维随机变量（X, YX, Y）为例，）为例，引入几个相关的概念。引入几个相关的概念。联合分布函数和边缘分布函数联合分布函数和边缘分布函数v二元函数二元函数F(x, y)=P(Xx, Yy) 称为二维随机称为二维随机变量变量 (X, Y) 的的联合分布函数联合分布函数，简称，简称分布函数分布函数.v分布函数为分布函数为 F(x, y) 的二维随机变量的二维随机变量(X, Y) 的的分量分量X和和Y均为一维随机变量，可定义它们的均为一维随机变量，可定义它们的分布函数为分布函数为

19、 FX(x) 和和 FY(y)，分别称为分别称为(X,Y) (X,Y) 关于关于X X和关于和关于Y Y的的边缘分布函数边缘分布函数。 由定义，知由定义，知( )()(,)( ,)XFxP XxP Xx YF x ( )()(,)(, )YFyP YyP XYyFy 二维离散型随机变量的概率分布二维离散型随机变量的概率分布v定义：若二维随机变量定义：若二维随机变量(X, Y)的全部可能取值为有限个的全部可能取值为有限个或可列个数对，则称或可列个数对，则称(X, Y)为二维离散型随机变量。为二维离散型随机变量。v定义：设定义：设(X, Y)为二维离散型随机变量，其全部可能取为二维离散型随机变量，

20、其全部可能取值为值为(xi, yj) (i, j=1,2,)，则称，则称(,)ijijP Xx Yyp( , ,)i j 1 2 为二维离散型随机变量为二维离散型随机变量(X, Y)的联合分布律的联合分布律或或分分布律布律。 【注意：不是联合分布函数！注意：不是联合分布函数！】边缘分布律：边缘分布律：()(,()iijijijjP XxP XxYypp 11()jijjiP Yypp 1二维连续型随机变量的概率分布二维连续型随机变量的概率分布v定义：设定义：设F(x,y)是二维随机变量是二维随机变量(X,Y)的分布函数，若的分布函数，若存在非负函数存在非负函数f(x,y)，对任意实数，对任意实

21、数x, y有有( , )( , ),xyF x yf u v dudv 则称则称(X, Y)(X, Y)为二维连续型随机变量，称为二维连续型随机变量，称f(f(x,yx,y) )为为(X,Y)(X,Y)的的联合密度函数联合密度函数，或，或联合密度联合密度、二维密度二维密度。注：在注：在f(f(x,yx,y) )的连续点的连续点( (x,yx,y) )处有处有( , )( , )F x yf x yx y 2v定义：若定义：若(X,Y)(X,Y)是分布函数为是分布函数为F(x, y)F(x, y)的二维连续型随的二维连续型随机变量，则机变量，则X X和和Y Y是一维连续型随机变量。是一维连续型随

22、机变量。X X和和Y Y的密度的密度函数函数 F FX X(x)(x) 和和 F FY Y(y)(y) 分别称为分别称为(X,Y) (X,Y) 关于关于X X和关于和关于Y Y的的边缘密度函数边缘密度函数或者或者边缘密度边缘密度。由定义，有。由定义，有( )( )( ,)XXddfxFxF xdxdx( , )( , )xdf u y dy duf x y dydx( )( , )Yfyf x y dx 随机变量的独立性随机变量的独立性v定义：若二维随机变量定义：若二维随机变量(X,Y)对任意实数对任意实数x, y均有均有(,)() ()P Xx YyP Xx P Yy成立，则称随机变量成立，

23、则称随机变量X和和Y是相互独立的。是相互独立的。 注注1: 用用(X,Y)的联合分布和边缘分布表示，的联合分布和边缘分布表示，X和和Y相相互独立的充要条件为，对于任意的实数互独立的充要条件为，对于任意的实数x和和y，有，有( , )( )( )XYF x yFx Fx 注注4: 以上定义可推广到以上定义可推广到n个随机变量的独立性。个随机变量的独立性。 注注2: 若若(X,Y)是离散型随机变量，则是离散型随机变量，则X和和Y独立的充要独立的充要条件是对于条件是对于(xi, yj)的全部的全部可能可能取值，有取值，有(,)() ()ijijP Xx YyP Xx P Yy( , ,)i j 1 2 即即ijijppp ( ,