一元线性回归方差分析显著性分析

1、一元线性回归分析及方差分析与显著性检验某位移传感器的位移x 与输出电压y 的一组观测值如下：（单位略）设x 无误差，求y 对x 的线性关系式，并进行方差分析与显著性检验。（附：F0。10(1，4)=4.54，F0。05(1，4)=7.71，F0。01(1，4)=21.2）回归分析是研究变量之间相关关系的一种统计推断法。一 一元线性回归的数学模型在一元线性回归中，有两个变量，其中 x 是可观测、可控制的普通变量，常称它为自变量或控制变量，y 为随机变量，常称其为因变量或响应变量。通过散点图或计算相关系数判定y与x之间存在着显著的线性相关关系，即y与x之间存在如下关系： y=a+b*x+ (1)通

2、常认为N0,2且假设2与x无关。将观测数据xi,yi (i=1，n)代入(1)再注意样本为简单随机样本得： yi=a+b*xi+i1n独立同分布N0,2 (2)称(1)或(2)(又称为数据结构式)所确定的模型为一元(正态)线性回归模型。对其进行统计分析称为一元线性回归分析。 模型(2)中 EY= a+b*x，若记 y=E(Y),则 y=a+bx,就是所谓的一元线性回归方程，其图象就是回归直线，b 为回归系数，a 称为回归常数，有时也通称 a、b 为回归系数。设得到的回归方程残差方程为根据最小二乘原理可求得回归系数b0和b。对照第五章最小二乘法的矩阵形式，令则误差方程的矩阵形式为对照，设测得值

3、的精度相等，则有将测得值分别代入上式，可计算得其中二、回归方程的方差分析及显著性检验问题：这条回归直线是否符合y 与x之间的客观规律回归直线的预报精度如何？解决办法：方差分析法分解N个观测值与其算术平均值之差的平方和；从量值上区别多个影响因素；用F检验法对所求回归方程进行显著性检验。（一）回归方程的方差分析总的离差平方和（即N个观测值之间的变差），可以证明：S=U+Q其中，U回归平方和，反映总变差中由于x和y的线性关系而引起 y变化的部分。Q残余平方和，反映所有观测点到回归直线的残余误差，即其它因素对y变差的影响。（二）回归方程显著性检验 F检验法基本思路：方程是否显著取决于U和Q的大小，U越

4、大Q越小说明y与x的线性关系愈密切。计算统计量F对一元线性回归，应为查F分布表，根据给定的显著性水平和已知的自由度1和N-2进行检验：若， 回归在0.01的水平上高度显著。回归在0.05的水平上显著。回归在0.1的水平上显著。回归不显著。（三）残余方差与残余标准差残余方差：排除了x 对y的线性影响后，衡量y随机波动的特征量。残余标准差：含义：越小，回归直线的精度越高。程序如下：test=1 5 10 15 20 25; 0.1051 0.5262 1.0521 1.5775 2.1031 2.6287 N=length(test(1,:); sx=0;sx2=0;sy=0;sy2=0;sxy=

5、0;Lxy=0;Lyy=0;for i=1:N sx=sx+test(1,i); sx2=sx2+test(1,i)2; sy=sy+test(2,i); sy2=sy2+test(2,i)2; sxy=sxy+test(1,i)*test(2,i); Lxy=Lxy+(test(1,i)-sum(test(1,:)/N)*(test(2,i)-sum(test(2,:)/N); Lyy=Lyy+(test(2,i)-sum(test(2,:)/N)2;endr=N,sx;sx,sx2sy;sxy;a=r(1);b=r(2);U=b*Lxy;Q=Lyy-U;F=(N-2)*U/Q;x=test

6、(1,:);y=a+b*x;eq=sum(test(2,:)/N;ssd=0;ssr=0;for i=1:N ssd=ssd+(test(2,i)-y(i)2; ssr=ssr+(y(i)-eq)2;endsst=ssd+ssr;RR=ssr/sst;str=blanks(5),'y=','(',num2str(a),')','+','(',num2str(b),')','*x'disp(' ')disp('回归方程为')disp(str)disp(&

7、#39;R2拟合优度校验')strin='R2=',num2str(RR);disp(strin)disp('方差检验：')strin='sgm2=',num2str(sgm);disp(strin)disp('F-分布显著性校验')stri='F计算值',num2str(F),blanks(4),'自由度f1=1,f2=',num2str(N-2);disp(stri)disp('注：请对照F-分布表找到所需置信水平下的F临界值Fa，若F>Fa，则通过检验。')yy=a+b*test(1,:);plot(test(1,:),test(2,:),'r.'),hold onplot(test(1,:),yy,'b-'),hold offtitle(str)结果如下：test = 1.0000 5.0000 10.0000 15.0000 20.0000 25.0000 0.1051 0.5262 1.0521 1.5775 2.1031 2.6287 回归方程为: y=(0.0003321)+(0.105