数列和不等式的综合复习题新版

1、数列和不等式的综合复习I一、数列部分(一) 、等差数列知识回顾：1. 等差数列的定义(1) 文字语言：如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同二个常数，那么这个数列就叫做等差数列.(2) 符号语言：a十一a=d(nWN*).2. 等差数列的通项公式若等差数列a的首项为a,公差为d,则其通项公式为a=a+(n1)d.丄、n1n1推广：a=a+(nm)d.nm3. 等差中项ab如果三个数a,A,b成等差数列，则A叫a和b的等差中项，且有4. 等差数列的前n项和公式(1)S=nna+1n(n1)2d.(2)Snn(a.+a)1n=5. 等差数列的性质(1) 等差数列a中，对任意的

2、m，n，p，qN*，若m+n=p+q,则a+a=a+a.特殊的，若m+nmnpqn2p,则a+a2amnp(2) 等差数列a中，依次每m项的和仍成等差数列,即S,S一S,S一S,仍成等差数列.nm2mm3m2mSaS6. 当项数为2n(nN),则S俚一S*=nd疋=勺；当项数为2n-1(nGN),则S*-Sb=a，尹=+偶奇Sa+奇偶ns奇n奇n1n 基础练习：1. 已知等差数列a的前n项和为S,若a=2,S=12，则a=.nn1362. 在等差数列a中，n仃)已知a+a=2,则S=；41417(2) 已知S=55,则a=；116(3) 已知S=100,S=392,则S=.816243、已知a

3、是公差不为0的等差数列，S是其前n项和，若aa=aa,S=1,则a的值是nn2345914、设S是等差数列a的前n项和，若a=7,S=-7,则a的值为.nn277 判断或证明一个数列是否是等差数列已知数列a的各项均为正数，前n项和为S，且满足2S=a2+n4.nnnn(1) 求证：a为等差数列；n(2) 求a的通项公式.n 等差数列的性质1、已知a是等差数列，S是其前n项和若a+a2=3,S=10，则a的值是nn12592、在等差数列a中，若a+a+a+a+a=25，则a+a=；n34567283、已知等差数列a的前n项和为S，且S=10,S=30，则S=.nn102030 等差数列中的最值问

4、题)(1)若等差数列a满足a+a+a0,a+a0时n的最大值.nannn二) 、等比数列知识回顾1. 等比数列的概念(1)文字语言：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列.(2)符号语言：an1=q(nN*,q是等比数列的公比).an2. 等比数列的通项公式设a是首项为a,公比为q的等比数列，则第n项a=a,qn推广：a=aqnm.nm3. 等比中项_若a,G,b成等比数列，则G为a和b的等比中项且G=jlb.4. 等比数列的前n项和公式(1)当q=1时，S=na_(2)当qH1时，S=na(1qn)1q1q5. 等比数列的性质(1) 等比数列

5、a中，对任意的m,n,p，qN*，若m+n=p+q,则aa=aa.特殊的，若m+n=nmnpq2p,贝9aa=a求数列a的通项公式.n.(2) 等比数列a中，依次每m项的和(非零)仍成等比数列，即S,SS,SS，-仍成等比数nm2mm3m2m列，其公比为qm(q幺一1).(其中S工0)基础练习：m1设S是等比数列a的前n项和，若a=1,a=32，则S=.nn1632. 若一1,x,y,z,3成等比数列，则y的值为.3. 等比数列a中，a0，aa2aaaa=36，则aa=n1243546354、在各项均为正数的等比数列a中，若a=1,a=a+2a，则a的值是;n286465、设等比数列a满足a+

6、a=10,a+a=5,则aaa玄的最大值为.n1324123n等比数列的判定与证明已知数列a的前n项和为S,3S=a1(nGN*).nnnn(1) 求a1，a2；(2) 求证：数列a是等比数列；n(3) 求a和S.nn等比数列的性质已知等比数列a的各项均为正数，且满足aa=4,则数列loga的前9项之和为n192n等比数列的应用设数列a的前n项和为S，已知a=1,S=4a+2.nn1n1n(1) 设b=a+2a，求证：数列b是等比数列；+1三) 、数列求和知识回顾1. 已知数列a,满足aa=f(n)，且f(l)+f(2)f(n)可求，则可用累加法求数列的通项nn+1na.no2. 已知数列a，

7、满足T=f(n)，且f(l)f(2)f(n)可求，则可用累乘法求数列的通项a.nann3. 数列求和的常见方法(1) 分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列；(2) 拆项相消：有时把一个数列的通项公式分成二项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和；(3) 错位相减：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和；(4) 倒序相加：如等差数列前n项和公式的推导方法.4. 常见的拆项公式(1)1_1n(n+1)nn+i1_1丄丄(2n1)(2n+1)22n12n+l丿n(n+1)(n+2)基础练习：1. 在数列1，1，2，3，5，8，x，21，34，55中，x_2. 求和

8、：戈+匕+(n1)n_.3. 等比数列1,2，4，8,中从第5项到第10项的和为12Ln(n+1)(n+1)(n+2)x，4. 已知数列a的通项公式a_p，则该数列的前+n+1-5. 数列a中，a_(2n1)3n-1，则数列a的前n项和S_nnnn项之和等于9.分组转化法求和求数列1+1,-+4,+7，+10,，+(3n2)的前n项和.aa2a3an1错位相减法求和设等差数列a的公差为d,前n项和为S,等比数列b的公比为q.已知b_a,b_2,q_d,Snnn11210_100.(1) 求数列a,b的通项公式；nna(2) 当d1时，记c_n,求数列c的前n项和T.nbnnn裂项相消法求和在数

9、列a中，a_1,当n2时，其前n项和S满足S设b_TT，求b的前n项和T.n2n+1nn_a(S|.n1nnnn2(1) 求S的表达式；nS四) 、数列的综合应用1. 若等差数列a和等比数列b满足a=b=1,a=b=8，则芒=.nn1144b22. )记S为等差数列a的前n项和.若a+a=24,S=48，则a的公差为.nn456n3. 北京市决定从2016年到2020年5年间更新市内现有全部出租车，若每年更新的车辆数比前一年递增10%,则2016年底更新的车辆数约为现有总车辆数的.(参考数据：1.141.46,1.151.61)4. (设数列a满足a+3a+(2n1)a=2n.n12n(1)

10、求a的通项公式；na(2) 求数列亦工!|的前n项和.5. (2017苏锡常镇一模)已知n为正整数，数列a满足a0,4(n+1)a2na2丄=0,设数列b满nnnn1n足bnna2tna(1) 求证：数列为等比数列；n(2) 若数列b是等差数列，求实数t的值；n(3) 若数列b是等差数列，前n项和为S，对任意的nN*，均存在mN*，使得8a2Sa4n2=16bnn1n1m成立，求满足条件的所有整数a1的值.6、已知数列a是首项为1,公差为d的等差数列，数列b是首项为1,公比为q(q1)的等比数列.nn(1) 若a=b,q=3,求数列ab的前n项和；55nn(2) 若存在正整数k(k2)，使得a

11、=b，试比较a与b的大小，并说明理由.kknn、不等式部分(一)一元二次不等式一元二次不等式及其解法1. 不等式3x2x4W0的解集是.2. 不等式2x2x10的解集是.3. 不等式一X已知集合U=1,2,3,4,5,6,7,M=x|x26x+5W0,xZ，则詐=fx22x,x20,已知函数f(x)曰若f(3aVf(2a)，则实数a的取值范围是x22x,xVO,(二) 基本不等式基础练习1. 若实数a,b满足a+b=2，则3a+3b的最小值是2. 若f(x)=x+-2(x0,b0，若不等式恒成立，则m的最大值为ab2ab通过配凑法利用基本不等式求最值511、已知x4，则f(x)=4x2+qx一

12、5的最大值为;2x+30的解集为.含参的一元二次不等式的解法1解关于x的不等式：ax2+(a2)x20.2一元二次不等式的恒成立问题1、设函数f(x)=mx2mx1.(1) 若对于一切实数x，f(x)0恒成立，求m的取值范围；(2) 若对于xW1,3,f(x)一m+5恒成立，求m的取值范围.3三个二次之间的关系已知函数f(x)=x2+ax+b(a,bWR)的值域为0,+),若关于x的不等式f(x)c的解集为x|mxm2、若一4x0且x+y=l,贝旷+-的最小值为；xy2、已知x0,y0,x+3y+xy=9,则x+3y的最小值为.基本不等式与函数的综合应用已知函数f(x)=%JM(a丘R),若对于任意xWN*,f(x)三3恒成立，则a的取值范围是课后作业1. 若实数x,y满足xy+3x=3(0x2j,贝的最小值是.412. 已知正数x,y满足x+y=1,则x+g+y+l的最小值为.y43若正实数x,y满足x+y=1,贝代+-的最小值是xya2214已知a,b均为正数，且aba2b=0,则丁一一+匕2匸的最小值为.4ab125. 已知x0,y0,且一+-=1,则x+y的最小