2.1高斯公式与斯托克斯公式ppt课件

1、第六节第六节 高斯公式与斯托克斯公式高斯公式与斯托克斯公式一一 问题的提出问题的提出二二 Gauss Gauss 公式公式三三 简单应用简单应用四四 斯托克斯公式斯托克斯公式五五 小结小结 高斯公式与斯托克斯公式都是格林公式的推广. 格林公式建立了平面区域上的二重积分与其边界曲线上的第二型曲线积分之间的关系; 高斯公式建立了空间区域上的三重积分与其边界曲面上的第二型曲面积分之间的关系; 斯托克斯公式建立了空间曲面上的第二型曲面积分与其边界曲线上的第二型曲线积分之间的关系.一一 问题的提出问题的提出 格林公式表达了平面区域上二重积分与其边界格林公式表达了平面区域上二重积分与其边界曲线上的曲线积分

2、之间的关系。而在空间上，也曲线上的曲线积分之间的关系。而在空间上，也有同样类似的结论，这就是高斯公式，它表达了有同样类似的结论，这就是高斯公式，它表达了空间区域上三重积分与区域边界曲面上曲面积分空间区域上三重积分与区域边界曲面上曲面积分之间的关系。之间的关系。二二 高斯公式高斯公式 设设空空间间闭闭区区域域 由由分分片片光光滑滑的的闭闭曲曲面面围围成成, , 函函数数),(zyxP、),(zyxQ、),(zyxR在在 上上具具有有 一一阶阶连连续续偏偏导导数数, , 则则有有公公式式 RdxdyQdzdxPdydzdvzRyQxP)( dSRQPdvzRyQxP)coscoscos()( 或或

3、这这里里 是是 的的整整个个边边界界曲曲面面的的外外侧侧 cos,cos,cos是是 上上点点),(zyx处处的的法法向向量量的的方方向向余余弦弦. . 高斯公式高斯公式Gauss 公式的实质公式的实质表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系面上的曲面积分之间的关系. . RdxdyQdzdxPdydzdvzRyQxP)(dSRQP)coscoscos( 三 高斯公式的简单应用例例1 1 计算曲面积分计算曲面积分xdydzzydxdyyx)()( 其中为柱面其中为柱面122 yx及平及平面面3, 0 zz所围成的空间闭所围成的空间闭区

4、域区域 的整个边界曲面的外侧的整个边界曲面的外侧. .xozy11解解, 0,)(yxRQxzyP 3, 0, 0, zRyQzyxP dxdydzzy)(原式原式 dzrdrdzr )sin(.29 (利用柱面坐标得利用柱面坐标得)xozy11 201030)sin(dzzrrdrd3使用使用Guass公式时应注意验证公式时应注意验证:1 1. .RQP , ,是是对对什什么么变变量量求求偏偏导导数数; ; 2.2.是否满足高斯公式的条件是否满足高斯公式的条件; ; 3.3.是取闭曲面的外侧是取闭曲面的外侧. . 4. ,.P Q R在 上具有一阶连续偏导数xyzo例例 2 2 计计算算曲曲

5、面面积积分分 dszyx)coscoscos(222 , ,其其中中为为 锥锥面面 222zyx 介介于于平平面面 0 z及及)0( hhz 之之间间的的部部分分的的下下侧侧, , cos,cos,cos 是是在在),(zyx处处 的的法法向向量量的的方方向向余余弦弦. . h xyDxyzoh 1 解解空间曲面在空间曲面在 面上的投影域为面上的投影域为xoyxyD)(:2221hyxhz 补补充充曲面曲面不是封闭曲面不是封闭曲面, 为利用为利用高斯公式高斯公式取上侧，取上侧，1 构成封闭曲面，构成封闭曲面，1 .1 围围成成空空间间区区域域,上上使使用用高高斯斯公公式式在在 dvzyxdSz

6、yx)(2)coscoscos(1222 xyDhyxdzzyxdxdy22,)(2.| ),(222hyxyxDxy 其其中中 xyDhyxdzyxdxdy22, 0)( xyDdxdyyxhdSzyx)()coscoscos(2222221 .214h （此处也可用柱面（此处也可用柱面坐标计算）坐标计算） 112222)coscoscos(dSzdSzyx xyDdxdyh2.4h 故所求积分为故所求积分为 dSzyx)coscoscos(222421h 4h .214h 例例3 计算计算 Syxzxzyzyxdddddd222所围的空间区域的表面，方向取外侧所围的空间区域的表面，方向取外

7、侧.解解 VVzzyyxxd)()()(222222yxz 0 hz其中其中 S 为锥面为锥面与平面与平面xyzoh Syxzxzyzyxdddddd222 VVzyxd)(224h zDhyxzzddd20 hzzz02d2 VVzd2z222:zyxDz 例例4 计算计算 Syxxzyxzxzyzxydd)(dddd)(22其中其中 S 是由是由 x = y = z = 0, x = y = z = a 六个平面所六个平面所围的正立方体表面并取外侧为正向围的正立方体表面并取外侧为正向.xyaaazo解解 Syxxzyxzxzyzxydd)(dddd)(22 Vzyxxzyzxyzxyxdd

8、d)()()(22 Vzyxxyddd)0( aaaxxyyz000d)(dd ayaaya02d)21(4a 设设 S1 为上半球体的底面，为上半球体的底面，例例5 计算计算 Syxzxzyzyxdddddd的外侧的外侧.解解222yxaz 其中其中 S 是上半球面是上半球面2221, 0:ayxzS VVd)111(取下侧取下侧. 1ddddddSyxzxzyzyx SyxzxzyzyxddddddyxzxzyzyxSSSdddddd)(11 1ddddddSSyxzxzyzyx334213a 32 a 于是于是1SxyzSaao 1ddSyxz0 解： 练习利用高斯公式计算曲面积分 dx

9、dyzdzdxydydzx222其中为平面x0 y0 z0 xa ya za所围成的立体的表面的外侧 。由高斯公式 原式 dvzyxdvzRyQxP)(2)( aaaadzdyxdxxdv0400366(这里用了对称性) 斯托克斯公式建立了沿曲面斯托克斯公式建立了沿曲面 S 的曲面积分与沿的曲面积分与沿 S 的边界曲线的边界曲线 L 的曲线积分之间的联系的曲线积分之间的联系.对曲面对曲面 S 的侧与其边界曲线的侧与其边界曲线 L 的方向作如下规定：的方向作如下规定：设人站在曲面设人站在曲面 S 上的指定一侧，沿边界曲线上的指定一侧，沿边界曲线 L 行走，行走，指定的侧总在人的左方，则人前进的方

10、向为边界曲线指定的侧总在人的左方，则人前进的方向为边界曲线 L 的正向的正向.四、斯托克斯公式四、斯托克斯公式这个规定方法也称为右手法则这个规定方法也称为右手法则.L是有向光滑曲面是有向光滑曲面 S的的正向边界曲线正向边界曲线正向正向LS负向负向LS右手法则右手法则定理定理 设光滑曲面设光滑曲面 S 的边界的边界 L 是按段光滑曲线是按段光滑曲线, xzxRzPzyzQyRSdddd LzRyQxPddd 同同 L ）上具有连续一阶偏导数，则有）上具有连续一阶偏导数，则有 S 的侧与 L 的正向符合右手法则, RQP,在在 S （连（连yxyPxQdd 注意注意: 则斯托克斯公式就是格林公式则

11、斯托克斯公式就是格林公式,故格林公式是斯托克斯公式的特例故格林公式是斯托克斯公式的特例.假如假如 S 是是 xoy 坐标平面上的一块平面区域坐标平面上的一块平面区域, RdzQdyPdxRQPzyxdxdydzdxdydz RdzQdyPdxdsRQPzyx coscoscos另一种形式另一种形式cos,cos,cos n其中其中便于记忆形式，利用行列式记号把便于记忆形式，利用行列式记号把Stokes)公式写成公式写成StokesStokes公式的实质公式的实质: : 表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线上的曲线积分之间的关系上的曲线积分之间的关系.斯托

12、克斯公式斯托克斯公式格林公式格林公式特殊情形特殊情形( (当当是是xoy面面的的平平面面闭闭区区域域时时) )zxy111oABC Szyxxyzxzyyxxzzy2dddddd例例1. 利用斯托克斯公式计算积分利用斯托克斯公式计算积分 Lzxyyzxxzyd)(d)(d)2(其中其中 L 为平面为平面 x+ y+ z = 1 与各坐标面的交线，与各坐标面的交线，解解取逆时针方向为正向如图所示取逆时针方向为正向如图所示. 记三角形记三角形ABC为为 S , 取上侧取上侧, 那么那么 Lzxyyzxxzyd)(d)(d)2(zxy111oABC Szyxxyzxzyyxxzzy2dddddd S

13、zydd)11( Syxxzzydddd2dd2 yzDzydd2 zxDxzdd2 xyDyxdd 212212 21 23 xzdd)11( yxdd)21( Szyxzyxyxxzzy1dddddd32例例2. 利用斯托克斯公式计算积分利用斯托克斯公式计算积分 Lzzyxyxddd32其中其中 L 为为 y2+ z2 = 1 , x = y 所交的椭圆正向所交的椭圆正向.解解记以记以 L 为边界的椭圆面为为边界的椭圆面为 S , 其方向按右手法则其方向按右手法则确定，于是有确定，于是有 Lzzyxyxddd32 Szyxzyxyxxzzy1dddddd32 Lzzyxyxddd32 Sy

14、xyxxzzydd)30(dd)00(dd)00(22 Syxyxdd3220 例例3. 为柱面为柱面 与平面与平面 y = z 的交线的交线,从从 z 轴正向看为顺时针轴正向看为顺时针, 计算计算.ddd2zxzyxyxyIoz2yx解解: 设设为平面为平面 z = y 上被上被 所围椭圆域所围椭圆域 , 且取下侧且取下侧,0cos利用斯托克斯公式得利用斯托克斯公式得SIdSzyd)(210则其法线方向余弦则其法线方向余弦,21cos21coscoscoscoszyxzxyxy2yyx2220 xyDxyzn111解解按斯托克斯公式按斯托克斯公式, , 有有dzyxdyzdx dxdydzd

15、xdydz dxdydzdxdydz xyDd3xyo11xyD23 弦弦都都为为正正，的的法法向向量量的的三三个个方方向向余余由由于于 等于，等于，再由对称性知上式右端再由对称性知上式右端如图如图xyDdzyxdyzdx dxdydzdxdydz解解取取为为平平面面23 zyx的的上上侧侧被被 所所围围成成的的部部分分. .那那么么1 , 1 , 131 nzxyo n 即即,31coscoscos dsyxxzzyzyxI 222222313131 dszyx)(34 ds2334 xyxyDDdxdydxdy6332.29 )23( zyx上上在在xyD23 yx21 yx内容小结内容小结1. 高斯公式高斯公式 SyxRxzQzyPdddddd VzyxzRyQxPddd2. 斯托克斯公式斯托克斯公式 LzRyQxPddd SzyxRQPyxxzzyddddddSRQPSzyxdcoscoscos 德国数学家、天文学家和物理学家德国数学家、天文学家和物理学家, 是与阿基米德是与阿基米德, 牛顿并列的伟大数学家牛顿并列的伟大数学家, 他的数学成就遍及各个领域他的数学成就遍及各个领域 , 在数论、在数论、 级数、复变函数及椭圆函数论等方面均有一系列开创级数、复变函数及椭圆函