柱面坐标系和球面坐标系求三重积分ppt课件

1、本讲主要内容本讲主要内容（1三重积分在柱坐标系下的计算；作业：作业：P215 2, 3, 4.三重积分在柱面及球坐标系下的计算三重积分在柱面及球坐标系下的计算（3举例 ；（2三重积分在球坐标系下的计算；4-2-1 4-2-1 柱面坐标系下三重积分的计算柱面坐标系下三重积分的计算1、柱面坐标、柱面坐标.),(),(,表示可用对应空间点面上点用极坐标表示时当在直角坐标系中zzyxPxoyoxyzPPz:,之间关系为与其中yxsin,cosyx常数：当轴为中心轴的圆柱面；以z常数：当轴的半平面；过z常数：当 z轴的平面；垂直于zzz ,2、体积元素、体积元素;,dxyzodddzdvdzdddv:

2、)(V当用三族坐标面来划分;,d;,dzzzzz则体积元素)(),(Vdvzyxf)(.),sin,cos(Vdzddzf: )( V设区域)(),(Vdvzyxf)(.),sin,cos(Vdzddzf3、化为累次积分、化为累次积分).,(),( 21zzz)(),sin,cos(Vdzddzf则),(),(21),sin,cos(zzdzzf,1z,2zxyoz)(dd,）（投影域用极坐标表示: )( 面投影域为在xoy例例1.0)(,222)(所围与由其中计算三重积分zyxRzVzdvIVxyz解解20 ,0:)()(RxoyVxy为圆面投影向)(xy)(xy220RdzzRdRd022

3、20)(21.0 22Rz此时.414R考虑：考虑：是否可考虑用切片法来求解？ddI.,)(,)(22)(22所围由其中计算三重积分hzyxzVdvyxIV例例2xyzoh解解20 ,0:)()(hxoyVxy为圆面投影域在)(xy.,2hz 此时)(xyhdz22hdhd05320)(.613hdd考虑：考虑：本题是否也可考虑用切片法来求解？I4-2-2 4-2-2 球面坐标系下三重积分的计算球面坐标系下三重积分的计算1、球面坐标、球面坐标.),(),(,表示用空间点在球面坐标系中zyxPoxyzPPsinr其中,cossincosrxrcosz,0其中,20.0常数：当中心在原点的球面；常

4、数：当轴的半平面；过z常数：当轴的圆锥面；顶点在原点，中心轴为z.sinsinsin ryz2、体积元素、体积元素: )(V当用三族坐标面去划分ddddvsin2)(),(Vdvzyxf)(2.sin)cos,sinsin,cossin(Vdddf;,d;,dd,xyzodddsindv:dv则体积元素dsindddv3、化为累次积分、化为累次积分,sinsin ,cossin) 1 (yx用cosz);,(下形式化被积函数为球坐标系于两点，作一射线交、任取)()2(V即得单积分：),(),(221sin)cos,sinsin,cossin(df.)3(作积分、再对2121dd)(),(Vdv

5、zyxfxyzo,1,2例例3.0)(,222)(所围与由其中计算三重积分zyxRzVzdvIVxyz分析分析,)(故可用球面坐标面所围为由半球面与xoyV.0 ,20 ,20 ,R此时20dI2/0dRd02 sincos.414R例例4.)(,)(22222)(222所围与由其中计算三重积分yxzyxRzVdvzyxIVxyz分析分析,)(故可用球面坐标为由半球面与锥面所围V.0 ,40 ,20 ,R此时20dI4/0dRd022 sin.5225R练习练习.2: )(,222)(zzyxVzdvIV其中算三重积分试用三种坐标系分别计oxyz解法解法1)(切片法直角坐标系2z;2: )(222zzyxz. 20 zdzzdIz 20)(dzzz20dzzzz202)2(.341oxyzxy112解法解法2)(Vzdv柱面坐标系计算; 1: )(22 yxxoyxy面上投影为:的范围则z.111122z1020ddI221111dzz102122d.341) 1(222zyxoxyz2zz