2.1空间向量的坐标运算ppt课件

1、3.1.4空间向量的空间向量的正交分解及其坐标表示正交分解及其坐标表示空间向量基本定理空间向量基本定理 如果三个向量如果三个向量a、b、c不共面，不共面，那么对空间任一向量那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使使p=xa +yb+zc 定理定理其中其中a，b，c叫做空间的一个基底叫做空间的一个基底.（不共面且非零）（不共面且非零） 建立空间直角坐标系建立空间直角坐标系Oxyz,分别沿分别沿x轴轴,y轴轴,z轴的正方向引单位向量轴的正方向引单位向量e1, e2, e3. 这三个互相垂直的单位向这三个互相垂直的单位向量构成空间向量的一个基底量构成空间向

2、量的一个基底e1, e2, e3这个基底叫做单这个基底叫做单位正交基底位正交基底,单位向量单位向量e1, e2, e3都叫做坐标向量都叫做坐标向量. 空间向量的坐标表示空间向量的坐标表示横坐标横坐标x，纵坐标，纵坐标y，竖坐标，竖坐标z .记记p = (x,y,z) 例题例题设设a=(a1，a2，a3)，b=(b1，b2，b3).a+b= (a1 + b1 ， a2 + b2 ，a3+ b3)； a-b= (a1 - b1 ， a2 - b2 ，a3- b3)； a= ( a1 ， a2 ，a3)( 为实数为实数)； ab= a1 b1 + a2 b2 +a3 b3 空间向量的坐标运算空间向量

3、的坐标运算设设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2) AB=OB-OA = (x2，y2，z2)-(x1，y1，z1) =( x2 -x1，y2-y1，z2-z1). 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标. A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)设设M为为AB中点，中点，M点坐标为点坐标为M(x0,yo,zo)其中其中x0=(x1+x2)/2 ；y0=(y1+y2)/2 ；z0=(z1+z2)/2 中点坐标公式中点坐标公式 向量的坐标公式向量的坐标公式ab

4、 a1 a2 a3b1 b2 b3ab (b0)a=b 即即ab (b0)a1=b1,a2=b2, a3=b3,ab=0 共线共线垂直垂直ab a1 b1 + a2 b2 +a3 b3 =0ab 空间向量平行和垂直的条件空间向量平行和垂直的条件例例1. 已知已知a=(1,1,0),b=(0,1,1),c=(1,0,1), p=a-b,q=a+2b-c,求求:p, q, pq.解解:p=a-b =(1,1,0)-(0,1,1)=(1,0,-1);q=a+2b-c =(1,1,0)+2(0,1,1)- (1,0,1)=(0,3,1);pq=(1,0,-1)(0,3,1) =10+03+(-1)1=

5、-1 例题例题|,cosbababa 2322212|aaaaaa 2322212|bbbbbb ;232221232221332211bbbaaabababa ;332211babababa 设设a=(a1，a2，a3)，b=(b1，b2，b3). 两个向量夹角与向量长度的坐标计算公式两个向量夹角与向量长度的坐标计算公式;)z(z)y(y)x(xABAB|AB|),z ,y,B(x),z ,y,A(x212212212222111 则则已已知知 空间两点间的距离公式空间两点间的距离公式例例2.已知已知A(3,3,1)，B(1,0,5)求：求：线段线段 AB的中点坐标和长度；的中点坐标和长度；

6、zxyoA(3,3,1)B(1,0,5)M设设M(x,y,z)是是AB的中点，那么的中点，那么OM= (OA+OB)21 29153031222, BAd 例题例题例例3:在正方体在正方体ABCD-A1B1C1D1中中,B1E1=D1F1= 求求BE1与与DF1所成的角的余弦值所成的角的余弦值.411BAABCDA1B1C1D1E1F1XYZ解析：不妨设正方解析：不妨设正方体的棱长为体的棱长为1；以；以D为原点为原点O建立空间直建立空间直角坐标系角坐标系O-xyz.OB(1，1，0）)1,43, 1(E1D(0，0，0）F10， ，1）41 例题例题例例4:如图，在正方体如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中中,E, F分别是分别是BB1,D1B1的中点，求证：的中点，求证：EFDA1.ABCDA1B1C1D1EFXYZ解析：不妨设正方解析：不妨设正方体的棱长为体的棱长为1；以；以D为原点为原点O建立空间直建立空间直角坐标系角坐标系O-xyz.OA1(1，0，1）11(, 1)22FD(0，0，0）E1，1 ，），）12 例题例题.MCBA3)CB,cos2)BN1)AABANM2AA90BCA1CBCAABC,11111111o111 求证：求证：的值；的值