第一章离散时间信号与系统6,7,8

1、11.6 拉普拉斯变换一、拉普拉斯变换及其收敛域1定义：正变换：逆变换：其中： ，称为复频率； 为象函数， 为原函数为什么会出现 ？ 考虑到在实际问题中遇到的总是因果信号，这样正变换表示式中积分下限可以从 开始： 0( )( )( )stF sf t edtf tL)(sF)(tf11( )( )( )2jstjf tF s e dsF sj Ljs00( )( )j tFf t edt ( )( )j tFf t edt 1( )( )2j tf tFedLT()LT2但是 仍包含有 与 两部分分量，因此逆变换式的积分下限不改变。从狄利赫利条件考虑：绝对可积的条件限制了某些增长信号如（ ）傅

2、里叶变换的存在，而对于阶跃信号、周期信号虽未受此约束，但变换式中出现冲激函数 引入一个衰减因子 （ 为任意实数）使它与 相乘，于是 得以收敛：令 ，则得拉普拉斯变换 )(F1( )( )2j tf tFedte0)(1( )( )u tj Fte)(tf( )tef t()100( )( )( )tj tjtFf t eedtf t edt js0( )( )stF sf t edt3下面再求由 得到 的一般表达式：两边同乘 得： ，若 是选定的常量，则 ，代入上式，并相应地改变积分上下限，则 2收敛域 从上面讨论可知，当函数 乘以衰减因子 以后，就有可能满足绝对可积的条件。然而是否满足还要看

3、 的性质与 值的相对关系。例如， 为使其收敛，衰减因子 中的 必须满足 ,否则, 在 时，仍不能收敛。 下面分析一下一般规律。 )(sF)(tf11( )( )2tj tf t eFedte()11( )( )2jtf tFed jsjddds jdds1( )( )2jstjf tF s e dsj )(tfte)(tf( )tf tetetteet 4函数 乘以因子 后如 则可以进行拉普拉斯变换。 与函数 的性质有关，它指出了收敛条件。根据 ，可将S平面划分为两个区域：通过 的直线是收敛区的边界，称为收敛轴， 在S平面内称为收敛坐标。（a）有界的非周期信号的拉普拉斯变换一定存在。（b）对任

4、何周期信号只要稍加衰减就可收敛。 )(tfte0lim( )0,ttf t e0)(tf0005（c）与 成比例增长的函数，收敛坐标落于原点。 , （ ）（d）如果函数按指数规律 增长，只有 时才收敛。 , （ ）（e）如果一些函数比指数函数增长的更快的话，则不能进行拉普拉斯变换。如 。 以上介绍了单边拉普拉斯变换的收敛条件。由于单边拉普拉斯变换的收敛问题比较简单，一般情况下，求函数单边拉普拉斯变换时不再加注其收敛范围。 ntlim0nttt e0telim0tttee2te6二、一些常用函数的拉普拉斯变换1阶跃函数2指数函数 3（ 是正整数）4冲激函数注意：我们所考虑的拉普拉斯变换是从零开始

5、积分的，因此， 区间的函数值与变换结果无关。例如：经变换得：那么拉普拉斯逆变换为： 01( )stu tedtsL01,ttsteeedts Lntn10!nnstnntt edts L0t( )tf te1( )f tsL 11( )teu tsL7从第二个图中可看出，函数在 时产生跳变。我们用 、 分别表示 从左边、右边趋近于 时所得 值。 0t)0(f)0(ft0)0(f8所以对第二个图而言， ， 。为便于研究在 点发生跳变现象，我们规定：单边拉普拉斯变换定义式积分下限从 开始。这样定义的好处是把 处冲激函数的作用考虑在变换中。 起始状态：在激励接入之前的瞬时（ ）系统的状态。它总结了为

6、了计算未来响应所需要的过去的全部“信息”。 初始状态：在激励接入之前的瞬时（ ）系统的状态。 如果只考虑初始状态（ ），则不能对系统问题作出正确解答。（今后未加标注， 均指 ） 由以上规定可写出冲激函数的 ： 如果冲激出现在 时刻（ ），则有： (0 )0f(0 )1f0t00( )( )stF sf t edt0t 0t 0t 0t0t 0tLT0( )( )1sttt edtL0tt 00t0000()()ststtttt edteL9三、求解拉普拉斯逆变换 求拉普拉斯逆变换方法有三种：查表、部分分式展开、用留数定理。 含有高阶导数的线性、常系数微分方程式变换成S的多项式，或变换成两个S的

7、多项式之比，称为S的有理函数。一般形式：其中： ， 为实数， 为正整数。 将 、 写为：式中， 叫作 的 “零点”，是 的根。 叫作 的 “极点”，是 的根。 110110( )( )( )mmmmnnnna sasaA sF sB sb sbsbiaibnm,)(sA)(sB12( )()().()mmA saszszsz12( )()().()nnB sb spspspmzzz,21)(sF0)(sAnppp,21)(sF0)(sB10 按照极点的不同特点，部分分式展开有以下几种情况：极点为实数，无重根例如， 式中 互不相等这样可利用常用函数的（分母多项式的阶次高于分子多项式的阶次）为求得

8、 ，将 乘以 两端，123( )( )()()()A sF sspspsp312123KKKspspsp321,pppLT111312123( )KKKf tspspspLLL312123p tp tp tK eK eK e1K)(1ps 312123( )KKKF sspspsp11则得令 ，代入上式得：同理可求得其它 包含共轭复数极点这种情况仍可采用上述方法求解系数，但计算较麻烦。有多重极点我们考虑将 分解为：式中，在 处，分母多项式 有 重根，即 阶极点。 13121123()()() ( )sp Ksp Ksp F sKspsp1ps 111() ( )spKsp F s() ( )i

9、iispKsp F s)(sF1( )( )( )( )()( )kA sA sF sB sspD s1ps )(sBkk12将 展开：这里 表示展开式中与极点 无关的其余部分。求出 ：我们引入符号： 对它进行微分：这样可给出 ， )(sF111121111( )( ).()()()( )kkkKKKE sF sspspspD s)()(sDsE1p11K1111()( )kspKspF s11( )()( )kF sspF s1111121111( )( )().()()( )kkkE sF sKKspKspspD s211213111( )2().(1)().kkdF sKKspKkspd

10、s1121( )spdKF sds1213121( )2spdKF sds13得到系数的一般表达式：例例1.6.1求下列函数的逆变换求下列函数的逆变换解： 写成部分分式展开形式： 分别求 111111( )(1)!iiispdKF sids1,2,ik（其中）10(2)(5)( )(1)(3)ssF ss ss)(sF312( )13KKKF ssss1010 2 5100( )1 33sKsF s 2110( 12)( 1 5)(1) ( )20( 1)( 1 3)sKsF s 3310(3) ( )3sKsF s 14 例例1.6.2求下列函数的逆变换求下列函数的逆变换解：将 展开：易求得

11、 为求出与重根有关的各系数，令 1002010( )313(3)F ssss310010( )(20) ( )33ttf teeu t32( )(1)sF ss s)(sF131112232( )(1)(1)(1)KKKKF sssss20( )2sKsF s 312( )(1)( )sF ssF ss15那么： 11123ssKs1221122()2ssdsKdsss2132311122()22ssdsKdsss 323222( )(1)(1)(1)F sssss23( )(222) ( )2tttf tt eteeu t16四、拉普拉斯变换的性质1线性：若 则 2原函数微分若 则 其中 是

12、 阶导数 的初始值。 11( )( )f tF sL22( )( )f tF sL1 1221122( )( )( )( )K f tK f tK F sK F sL( )( )f tF sL( )( )(0)df tsF sfdtL11( )0( )( )(0)nnn rnrnrd f ts F sfdts L)0()(rfrrrdttfd)(173原函数的积分若 则 式中 是 积分式在 的取值。 4时域延时(时域平移)若 则 5S域平移若 则 ( )( )f tF sL1( )(0)( )tF sffdssL01(0)( )ffd)(tf0t( )( )f tF sL000() ()( )

13、stf tt u ttF seL( )( )f tF sL( )()tf t eF s L186尺度变换若 则 7初值若函数 及其导数 可以进行 ，且 ，则8终值若 及其导数 可进行 ，且 ，而且 存在，则 ( )( )f tF sL1()( ),0sf atFaaaLdttdf)(LT( )( )f tF sL0lim( )(0 )lim( )stf tfsF s)(tfdttdf)(LT( )( )f tF sLlim( )tf t0lim( )lim( )tsf tsF s)(tf199卷积定理若 则有： 11( )( )f tF sL22( )( )f tF sL1212( )*( )

14、( )( )f tf tF sF sL1212( )( )( )*( )f tf tF sF sL20例例1.6.3下图所示电路，在 时开关 闭和，求输出信号解：（1）列写微分方程将此式改写为只含有一个未知函数 的形式（2）再将上试中各项取 得 0t K( )?cv t 0( )( )( )( )0cctRi tv tEu tv t( )cv t( )( )( )ccdv tRCv tEu tdtLT( )( )ccERCsV sV ss21解此代数方程， 得（3）求 的逆变换， 将 表示式分解为以下形式 ( )1(1)()cEEV ssRCsRCs sRC( )cV s( )cV s11(

15、)1cV sEssRC1( )( )(1) ( )tRCccv tV sEeu tL22 例例1.6.4下图所示电路,在t=0时，开关K闭合，接入信号源 ，求电流 ，电感起始电流等于零。解：（1） （2） ( )sinme tVt( )?i t sinmdiLRiVtdt(0)0i22( )( )mVLsI sRI ss222211( )()()mmVVI sRLsR sLssL23 （3）将 分解，设其中 ( )I s012( )()mVKKKI sRLsjsjsL 0222211RLsKsRL 111112sjKRRsjjsjLL 22112RjLRL 24所以 其中 波形如下图 ：*21

16、KK221( )sincosRLtmVRi tettLLRL 222sincosRLtmVLeRtLtLR 222222sin()RLtmVLeRLtLR LRarctg25 261.7连续时间系统的傅里叶分析一、傅里叶形式的系统函数 设 、 、 分别表示 、 、 的傅里叶变换：引用傅里叶变换的时域卷积定理可得： 把 、 、 傅里叶变换式改用符号 、 、 表示，则得: 是一个加权函数，把频谱密度为 的信号改造为 的响应信号。 )(R)(H)(E)(tr)(th)(te( )( )r tRF( )( )h tHF( )( )e tEF( )( )* ( )r th te t( )( ) ( )R

17、HE )(tr)(th)(te)( jR)( jH)( jE()() ()R jH jE j )( jH)( jE()() ()R jH jE j 27 任意激励信号的傅里叶分解可看作无穷多项 信号的叠加 概括起来，在线性时不变系统分析中，无论时域频域的方法都可以按信号分解，求响应再叠加的原则来处理。 如图所示一个 低通网络，在输入端加矩形脉冲 ，我们用傅里叶分析方法来求它在输出端的响应。 jte1() ()( )() ()22j tj tH jE jdr tH jE jede 1()( )()22j tj tE jde tE jede RC)(1t28我们知道： 令 ，得 激励信号 的傅里叶

18、变换为： 2( )( )dti tCdt2122( )( )( )( )( )dttti tRtRCdt122()()()()VjVjRCjVj 1211()1()()1RCRCVjH jVjjRCj 1RC()H jj )(1t1()(1)j tEVjej 222sin()()jEe29 为了便于进行逆变换以求得 波形，我们把 写作： 22212sin()()()()()jVjH jVjEej 2()2()jVje22222sin()()EVj 242(21)(),2( )2(21)2(22)(),2nnarctgnnarctg (0,1,2,)n )(2t)(2jV30 下面画出输入幅度谱

19、与响应的幅度谱以及输入波形与输出波形。(暂不讨论相位特性) 2()(1)jEVjejj (1)(1)jjEEeejj ()2( )( )()( )()tttE u tu tE eu teu t()(1) ( )1()ttEeu tEeu t3132二、无失真传输 线性系统引起的信号失真由两方面因素造成： 幅度失真，系统对信号中各频率分量幅度产生不同程度的衰减。 相位失真，系统对各频率分量产生的相移不与频率成正比。 注意：线性系统的幅度失真与相位失真都不产生新的频率分量，但非线性失真可能产生新的频率分量。 研究无失真传输的条件。 无失真：指响应信号与激励信号相比，只是大小与出现时间的不同，而无波

20、形上的变化。设激励信号为 ，响应信号为 ，无失真传输的条件为： 为常数， 为滞后时间满足此条件， 波形是 波形经 时间的滞后，虽然幅度方面有系数 倍的变化，但波形形状不变。 )( te)( tr0()()rtK ettK0t)( tr)( te0tK33 信号是经过系统传输的，为了实现无失真传输，对系统函数 应提出怎样的要求？ 借助于傅里叶变换的延时定理可得： ，而且我们知道 ，所以为满足无失真传输应有：其幅度和相位特性为： )( jH0()()j tR jKE je ()() ()R jH jE j 0()()()j tjH jKeH je 34 从以上图形中看出：要使信号在通过线性系统时，

21、不产生失真，必须在信号全部频带内，要求系统频率响应的幅度特性是一个常数，相位特性是一通过原点的直线。 要保证没有相位失真，必须使响应中各频率分量与激励中各对应分量滞后同样的时间，这一要求反映到相位特性上就是一条通过原点的直线。为什么? 设激励信号 波形如图所示，它由基波与二次谐波两个频率分量组成。 )(te35那么根据无失真条件为了使基波与二次谐波得到相同的延迟时间，以保证不产生相位失真，应有：因此各谐波的相移须满足以下关系我们将这个关系推广到其他高次谐波频率，可得到如下结论： 为使信号传输时不产生相位失真，信号通过线性系统时谐波的相移必须与其频率成正比，即： 这与我们一开始得出的结论是一致的

22、。 tEtEte12112sinsin)()2sin()sin()(212111tKEtKEtr11211211sin()sin2()2KEtKEt12011)2t常数(比如112120)(t36如果相位失真，则波形是不一样的。 37 无失真传输的条件：这是在频域方面提出的。如果用时域特性表示，即对上式求傅里叶逆变换，得：这表明：当信号通过线性系统时，为了不失真，冲激响应也应该是冲激函数，仅仅是时间滞后 。三、理想低通滤波器及其冲激响应 理想滤波器：就是将滤波网络的某些特性理想化而定义的滤波网络。理想低通滤波器具有矩形幅度特性和线性相移特性。这种低通滤波器将低于某一频率 的所有信号予以传送，而

23、无任何失真，将频率高于 的信号完全衰减。 称为：截止频率。 写出理想低通滤波器的系统函数 。 0()j tH jKe )()(0ttKth0tccc()()()jH jH je 38其中： 将 进行傅里叶逆变换，这样可求得网络的冲激响应： 为其它值, 0, 1)(ccjH0( )t )( jH0111( )()()22ccj tj tj th tH jH jedeed L0()000sin()12()()ccjt tcccttej tttt39我们画出它的波形 从这个波形，我们可以看出一些问题：按照冲激响应的定义，激励信号在时刻加入，然而，响应在为负值时却已经出现，似乎网络可以预测激励信号，具

24、有未卜先知的本领。为什么？唯一的答案：实际上不可能构成具有这种理想特性的网络。也就是说，理想低通滤波器是不可实现的。401.8连续时间信号的抽样 由连续时间信号变成离散时间信号是通过抽样来完成的。 抽样：利用周期性抽样脉冲序列 ，从连续信号 中抽取一系列的离散值，得到抽样信号，即离散时间信号，用 表示。 什么是抽样器？抽样器可以看成是一个电子开关，开关每隔 秒闭合一次。对于理想抽样器，闭合时间应无穷短，对于实际的抽样器，闭合时间是 秒， 。这样就使输入信号得以抽样，得到连续信号的抽样输出信号。现在面临几个问题： 信号被抽样后其频谱将会有什么变化？ 能不能从抽样信号 中不失真地恢复出原来的信号

25、？ 满足什么样的条件？ SampleCTRSDTS )(tp)(txa)(txaTT( )ax t)(txa41一、理想抽样1抽样42冲激函数序列 为： 理想抽样输出为 由于单位抽样信号的抽样特性，当 时 下面讨论理想抽样后信号频谱发生的变化。 各信号的傅里叶变换用下式表示： )(tT( )()TmttmT ( )( )( )aaTx tx tt ( )( ) ()aamx tx ttmTmTt ()0tmT ( )() ()aamx tx mTtmT43 表示离散时间信号的 ，对 取 ：现在关键是求出 来，代入上式则理想抽样输出的频谱就得到了。下面求 是周期函数，可表示成傅里叶级数： ：抽样

26、角频率 ：抽样频率 ()( )( )j taaaXjDTFT x tx t edt ()( )TTjDTFTt ()( )aaXjDTFT x t DTFTFT ( )( )( )aaTx tx ttFT1()()()2aTaXjjXj ()Tj()Tj( )Tt( )sjktTkktA e2sT 1sfT44因此系数根据傅里叶级数可求得： （以上结果的得出基于以下考虑：在 的区间内，只有一个冲激 ，而 时， 都在积分区间之外；而且在连续时间信号与系统中， ） kA222211( )()TTssTTjktjktkTmAt edttmT edtTT2211( )TsTjktt edtTT2Tt

27、( ) t0m ()tmTdtttff)()()0(1( )sjktTkteT45 这样可求得： 1()( )sjktTTkjDTFTtDTFTeT 112()sjktskkDTFT ekTT 2()()ssskkkkT 12()()()2asakXjkXjT 1()()askXjkdT 1() ()askXjkdT 112()()asakkXjjkXjjkTTT46 由上式看出：一个连续时间信号经过理想抽样后，它的频谱将以抽样频率 为间隔重复，这样就使频谱产生周期延拓。因此只要各延拓分量与原频谱分量不发生频率上的交叠，就有可能恢复出原信号。 Ts247 从上图可以看出，只要 ，那么原信号的频

28、谱和各次延拓分量的频谱彼此不重叠。在 的情况下，采用一个截止频率为 的理想低通滤波器，就可得到不失真的原信号的频谱。理想低通滤器为： 可得 hs2hs22s()01,()2()()0,( )sjH jH jH jet 为其它值2, 02),()(ssaajXjX48 如果信号的最高频率 ，则各周期延拓分量产生频谱的交叠，这称为混叠现象。我们把抽样频率的一半 称为折叠频率： 这样，我们得出结论：要想抽样后能够不失真地还原出原信号，则抽样频率必须大于两倍信号频谱的最高频率（ ）。即奈奎斯特抽样定理：2抽样的恢复 信号如果满足奈奎斯特抽样定理，即信号谱的最高频率小于折叠频率，则抽样后不会产生频率混叠

29、。即。 那么将 通过这样一个理想低通滤波器： 2sh()2sTs2hs2hsff21()(),2saaXjXjT )(jXa49这样就得到原信号的频谱： 求其 得： 理想低通滤波器不可实现，但是在一定精度范围内，可用一个可实现的滤波器来逼近它。 抽样信号 模拟信号? 理想低通滤波器的冲激响应为： ()()()()aaaYjXjH jXj IFT)()(txtyaa22sin()sin()12( )()222sssj tj tsttTTh tH jededttT 50理想低通滤波器的输出为： 抽样内插公式 ( )( )( )( )( ) ()aaaay tx tx th txh td( ) ()()amxmTh td ( ) () ()amxh tmT d () ()amx mT h tmTsin()()()amtmTTx mTtmTT51 我们称： 为内插函数（即连续时间信号与系统中的抽样函数）。如图所示： 等于各 乘上对应的内插函数的总和。在每一个抽样点上，只有该点所对应的内插函数不为零，这就使得各抽样点上的值不变。而抽样点之间的信号则由各加权抽样函数波形的延伸叠加而成。见下图。 )()(sinmTtTmTtT)(txa)(mTxa52 只要抽样频率高于 倍信号最高频率，那么整个模拟信号就可完全用它的抽样值来代表，而不会丢失任何信息。这就是奈奎斯特抽样定