第6章 投资风险与投资组合123

1、第6章 投资风险与投资组合2015年4月16日本章内容 投资风险与风险溢价 单一资产收益与风险的计量 投资组合的风险与收益：马科维兹模型 夏普单指数模式：市场模型 以方差测量投资风险的前提及其实证检验课堂思考 上一章介绍了无风险证券的投资价值 请问： 现实中是否存在纯粹的无风险证券？ 有人说“投资国债是不存在风险的”，这个说法是否准确？收益与风险是贯穿投资学的两大核心收益与风险是贯穿投资学的两大核心 高风险、高收益是投资者必备的基本观念高风险、高收益是投资者必备的基本观念证券投资风险的的界定及类型 如何理解风险？ 广义风险 投资收益在将来的不确定性 不确定性越大，风险越高 狭义风险 投资预期收

2、益目标不能实现甚至投资本金遭受损失的可能性证券投资风险的界定及类型 证券投资风险是指因未来的信息不完全或不确定性而带来经济损失的可能性。 证券投资风险系统性风险：引起市场上所有证券的投资收益发生变动并带来损失可能性的风险，是单个投资者所无法消除的。 非系统性风险：仅引起单项证券投资的收益发生变动并带来损失可能性的风险。单个投资者通过持有证券的多元化加以消除 市场风险 利率风险购买力风险政治风险等 企业经营风险 财务风险 流动性风险等证券投资风险的的界定及类型 证券投资风险来自哪里？市场风险市场风险 利率风险利率风险通胀风险通胀风险政治风险政治风险经营风险经营风险 财务风险财务风险道德风险道德风

3、险 流动性风险流动性风险系统性风险系统性风险非系统风险非系统风险风险化解方法风险化解方法期货、期权期货、期权投资组合投资组合风险溢价承担风险的报酬风险溢价 风险溢价是投资者因承担风险而获得的超额报酬 风险溢价与风险程度成正比 风险溢价隐含了“高风险高收益”基本内涵预期收益率无风险收益率风险溢价风险溢价 例1：某人有10万美元的初始财富W，有两种可供选择的投资方式：一投资于风险行业，假定进行投资有两种可能的结果，以概率p = 0.6取得令人满意的结果，使最终财富W1增长到15万美元；以概率p = 0.4取得不太理想的结果，使W2= 8万美元；二是投资于国库卷，收益率为5%。 求风险溢价风险溢价

4、E(W)= pW1+(1-P)W2 = 0.6*150000+0.4*80000 = 122000美元 122000 -100000=22000美元 若以回报率表示则，则风险溢价为 22%-5%=17%单一资产收益与风险的计量 单一资产历史的收益与风险的计量（historical or ex post risk and return） 单一资产历史的收益的计量 单一资产历史的风险的计量 单一资产预期的收益与风险的计量（ expected or ex ante risk and return ） 单一资产预期的收益的计量 单一资产预期的风险的计量单一资产历史收益的衡量 持有期收益率是指从购入证券

5、之日至售出证券之日所取得的全部收益与投资本金之比。持有期股息、利息收入证券期初价格证券期末价格持有期收益率tttttttttDpprpDppr111 单一资产持有期收益率案例： 投资者张某2005年1月1日以每股10元的价格购入A公司的股票，2006年1月1日以每股11元的价格出售，当年股票A的股息为0.2元。试问A公司股票当年的持有期收益率是多少？ %12102 . 01011Ar单一资产持有期收益率案例： 假定波音公司股票1983年12月31日和 1984年12月31日的价格分别为29.13元和37.75元，1984年该股票每股股息为0.93元，试计算1984年投资波音公司股票的收益率。%

6、8 .3213.2993. 013.2975.371984r持有期年平均收益率 持有期年平均收益率单一资产历史的风险的衡量 为了计量的便利，我们将投资风险（investment risk）定义为投资预期收益的变异性或波动性(Variability) 。 在统计上，投资风险的高低可以收益率的方差或标准差来度量。单一资产历史的风险的衡量 为了简便，可用历史的收益率为样本，并假定其发生的概率不变，计算样本平均收益率，并以实际收益率与平均收益率相比较，以此确定该证券的风险程度。niiRRn122)(11公式中用n-1，旨在消除方差估计中的统计偏差。单一资产历史风险的衡量 例：假设某公司股票近三年的收益

7、率分别为20%、30%和-20%，则样本的平均收益率为10%。代入公式，则有：07. 0)10. 020. 0()10. 030. 0()10. 020. 0(1312222单一资产历史的收益率与风险例：三种股票在1996年至2005年的平均收益率年份年份股票股票1股票股票2股票股票3199610%11%-6%19978%4%18%1998-4%-3%4%199922%-2%-5%20008%14%32%2001-11%-9%-7%200214%15%24%200312%13%-17%2004-9%-3%2%200512%4%27%6.20%4.40%7.20%0.011440.0072490

8、.02837310.70%8.51%16.84%ir2ii单一资产历史的收益率与风险股票1平均收益率股票1收益率的波动性%20. 6%)12%8%10(1011 r单一资产预期收益的计量单一资产预期的收益率 由于投资者在购买证券时，并不能确切地知道在持有期末的收益率，因此，持有期末的收益率是一个随机变量。对于一个随机变量，我们关心的是它可能取哪些值及其相应的概率大小。 期望收益率是所有情形下收益的概率加权平均值。1iini iiiihrhr第 种情形发生的概率第 种情形下的收益率单一资产期望收益率与风险 说明：从预期收益率的计算公式可以发现，它是一个以概率为权数的加权平均数。联系前述的历史的收

9、益率的计算公式可以发现，历史的收益率也是一个加权平均数，只是它的权数为1/n。单一资产期望收益率与风险风险衡量标准差（或方差） 为了计量的便利，一般将投资风险定义为投资预期收益的变异性或波动性(Variability) 。 统计上，一般用收益率的标准差（或方差）来度量风险。 标准差反映了投资收益的各种可能结果相对于其期望值的偏离程度的大小。21( )niiiRE RP投资收益的标准差投资收益的标准差E（R）预期收益率预期收益率Ri 各种可能的投资收益率各种可能的投资收益率Pi 收益率事件发生的概率收益率事件发生的概率单一资产期望收益率与风险未来未来状况状况（1）发生发生概率概率（2）可能可能收

10、益率收益率（3）预期预期收益率收益率（4）报酬报酬差异差异（5）差异差异平方平方（1）（5）方差方差2标准标准差差景气景气0.415%9%6%0.00360.001440.24%4.9%不景气不景气0.65%4%0.00160.00096投资风险的衡量指标投资风险的衡量指标标准差（或方差）标准差（或方差）例例:单一资产期望收益率与风险 案例：在上例中，A公司的股票在1年后上升到11元，股息为0.2元，都是确定的。在现实中，未来股票的价格是不确定的，其预期的结果可能在两种以上。例如，我们预期价格为11元的概率为50%，上升为12元的概率为25%，下降为8元的概率为25%。 则A股票的预期收益率为

11、多少？单一资产期望收益率与风险%525. 020. 025. 020. 05 . 010. 01rhnii 初始证券投资为10000元，预计一年后的投资回收情况有三种可能： 形势 概率 期末总价 总收益率 繁荣 0.25 13000元 30% 正常增长 0.50 11000元 10% 萧条 0.25 9000元 -10% 风险测度案例期望收益与方差 E( r )=E( r )=p(s)r(s) p(s)r(s) E( r )=(0.25E( r )=(0.250.30)+(0.500.30)+(0.500.10)+0.250.10)+0.25( (- -0.10)=0.075+0.050.10

12、)=0.075+0.05- -0.025=0.10=10%0.025=0.10=10% 2 2= =p(s)r(s)p(s)r(s)- -E(r)E(r)2 2 2 2=0.25=0.25(30%(30%- -10%)10%)2 2+0.50+0.50(10%(10%- -10%)10%)2 2+0.25 +0.25 ( (- -10%10%- -10%)10%)2 2=0.02=0.02 或或 =14.14%=14.14%1926-1999年美国 大股票 长期国债 中期国债 国库券 通货膨胀率收益 12.50 5.31 5.16 3.76 3.22风险 20.39 7.96 6.47 3.3

13、5 4.54 资产组合理论资产组合理论F马柯维兹马柯维兹( (Harry Markowitz)1952)1952年在年在 Journal of Journal of FinanceFinance发表了论文发表了论文资产组合的选择资产组合的选择，标志着现，标志着现代投资理论发展的开端。代投资理论发展的开端。F马柯维茨马柯维茨19271927年年8 8月出生于芝加哥一个店主家庭，大月出生于芝加哥一个店主家庭，大学在芝大读经济系。在研究生期间，他作为库普曼的学在芝大读经济系。在研究生期间，他作为库普曼的助研，参加了计量经济学会的证券市场研究工作。他助研，参加了计量经济学会的证券市场研究工作。他的导师

14、是芝大商学院院长的导师是芝大商学院院长金融学杂志金融学杂志主编凯彻姆主编凯彻姆教授。凯要马克维茨去读威廉姆斯的教授。凯要马克维茨去读威廉姆斯的投资价值理论投资价值理论一书。一书。F马想为什么投资者并不简单地选内在价值最大的股马想为什么投资者并不简单地选内在价值最大的股票？他终于明白，投资者不仅要考虑收益最大化，还票？他终于明白，投资者不仅要考虑收益最大化，还担心风险，即追求风险的最小化。分散投资是为了在担心风险，即追求风险的最小化。分散投资是为了在维持原有的收益率水平的基础上降低风险。维持原有的收益率水平的基础上降低风险。资产组合理论资产组合理论F同时考虑投资的收益和风险，马是第一人。而当同时

15、考虑投资的收益和风险，马是第一人。而当时主流意见是集中投资。时主流意见是集中投资。F马柯维茨运用线性规划来处理收益与风险的权衡马柯维茨运用线性规划来处理收益与风险的权衡问题，给出了选择最佳资产组合的方法，完成了论问题，给出了选择最佳资产组合的方法，完成了论文，文，19591959年出版了专著，不仅分析了分散投资的重年出版了专著，不仅分析了分散投资的重要性，还给出了如何进行正确的分散方法。要性，还给出了如何进行正确的分散方法。F马的贡献是开创了在不确定性条件下理性投资者马的贡献是开创了在不确定性条件下理性投资者进行资产组合投资的理论和方法，第一次采用定量进行资产组合投资的理论和方法，第一次采用定

16、量的方法证明了分散投资的优点。他用数学中的均值的方法证明了分散投资的优点。他用数学中的均值方差，使人们按照自己的偏好，精确地选择一个确方差，使人们按照自己的偏好，精确地选择一个确定风险下能提供最大收益的资产组合。获定风险下能提供最大收益的资产组合。获19901990年诺年诺贝尔经济学奖。贝尔经济学奖。投资组合的收益 投资组合的历史收益率 投资组合的历史收益率是该组合中各种证券历史收益率的加权平均值。 组合中证券的数量的历史收益率证券的投资比例第投资组合的历史收益率ni中种证券投资价值在组合i 1ititptntititptrXrrXr投资组合的收益 课堂作业： 假定某一投资组合包含两种股票A和

17、B，并且两种股票的数量一样多。在2002年初，两种股票的市场价值分别为60元和40元。假定这两种股票在2002年均不派息，并且在2002年底股票A和B的市场价值分别上升到66元和48元。试计算该投资组合的收益率。 大家试着做一下！投资组合的收益解：%1060/ )6066(Atr%2040/ )4048(Btr4 . 0100/40BtX6 .0100/60AtX%1440. 0%2060. 0%10ptr投资组合的收益 投资组合的期望收益率 投资组合的期望收益率是该组合中各种证券期望收益率的加权平均值。 组合中证券的数量的预期收益率证券的投资比例第投资组合的预期收益率或ni中种证券投资价值在

18、组合i )()(11iipiniipniiipXXrErEX附1：投资组合的预期收益率的证明1111i (1) ()()( (2)12AB:) ()()(PiA AiB BinPi PiinPiA AiB BiinnPAi AiBi BiiiPArx rx rE rhrE rh x rx rE rxhrxhrE rx E已知在第 种状态下投资组合的收益率为：投资组合的预期收益率在统计学上的定义为：将（ ）式代入（ ）式可得：整理化简：根据证券 和 的预期收益率公式，可得AB1)()(N):)(BNPiiirx E rE rx E r推广到 种证券所构成的组合，可得投资组合的收益 案例：计算组合

19、的期望收益证券名称 组合中的股份数 每股初始市价 权重 每股期末期望值 期望收益率 A 100 40 0.2325 46.48 16.2% B 200 35 0.4070 43.61 24.6% C 100 62 0.3605 76.14 22.8% 资产组合 1 22%0.2325 16.2%0.40724.6%0.360522.8%22%p投资组合的收益率（练习） 练习：在年初，王某拥有如下数量的4种证券，当前和预期年末价格为：证券证券股数股数当前价格当前价格（元）（元）预期年末价格预期年末价格（元）（元）A A10010050506060B B20020035354040C C50502

20、5255050D D100100100100110110 这一年里，王某的投资组合的预期收益率是多少？这一年里，王某的投资组合的预期收益率是多少？投资组合的风险 投资组合风险同样可以用“组合”期望收益率的标准差来表示，但计算投资组合的风险要比计算单个证券投资的风险困难得多。 证券组合的收益与风险投资组合的方差（风险） 要计算投资组合的方差，必须先知道该投资组合中所有证券之间的协方差。例如证券A、B、C的协方差矩阵如下：AABACA_Sec A B C _A Cov(r ,r ) Cov(r ,r ) Cov(r ,r ) ABBBCBACBCCC2AAAABBB Cov(r ,r ) Cov(

21、r ,r ) Cov(r ,r ) C Cov(r ,r ) Cov(r ,r ) Cov(r ,r ) _Cov(r ,r )= (r ) Cov(r ,r )=Cov(r ,rA)证券组合的收益与风险投资组合的方差（风险） 要计算投资组合的方差，还必须知道该投资组合中每一证券的权重，并对协方差矩阵中的元素进行估计，按以下方式建立一个新的矩阵：ABC_ x x x Sec A B C _2AABACA2BABBCBCAC_x A (r ) Cov(r ,r ) Cov(r ,r ) x B Cov(r ,r ) (r ) Cov(r ,r ) x C Cov(r ,r ) 2BCC Cov(

22、r ,r ) (r ) _组合方差的计算方法：将矩阵中每一个协方差乘以其所在行和列的组合权重，然后将所有的乘积加总。 证券组合的收益与风险投资组合的方差（风险）思考：如何证明证券A、B的方差？2222222222111()()()()2( ,) 2( ,)2( ,):()( )( , )PAABBCCABABACACBCBCNNNPiiijijiijijrxrxrxrx x Cov r rx x Cov r rx x Cov r rnrxrx x Cov r r如果是 种股票22222PAB(r )(r )(r )2( ,)ABABABxxx x Cov r r附2：投资组合的方差的证明221

23、22AB12Ai (1) ()()()()()()()()2)1(2PiA AiB BinPiPiPinPiA AiB BiABiPiAAiBBirx rx rrh rE rrhx rx rx E rx E rrh x rE rxr已知在第 种状态下投资组合的收益率为：投资组合方差在统计学上的定义为：将（ ）式代入（ ）式可得：合并整理：2B122222ABAB11122222222()()()()2()() ()()2( ,) ()()2ninnnPAiAiBiBiABiAiBiiiiAABBABABAABBABABABE rrxh rE rxh rE rx xh rE rrE rxrxrx

24、 x Cov r rxrxrx x 进行平方运算：投资组合协方差的计算 历史的协方差计算公式 ： 预期的协方差计算公式：)( )(111BBtntAAtABrrrrnsBBnsAAABhrr1证券组合的风险协方差 是衡量两种证券收益在一个共同周期中相互影响的方向和程度。 正的协方差意味着资产收益同向变动 负的协方差意味着资产收益反向变动 协方差的大小是无限的，从理论上来说，其变化范围可以从负无穷大到正无穷大。证券组合的风险相关系数 根据相关系数的大小，可以判定A、B两证券收益之间的关联强度。BAABAB投资组合协方差的计算年份年份证券证券A证券证券B收益率收益率偏差偏差收益率收益率偏差偏差偏差

25、偏差乘积乘积组合组合收益率收益率R1R1k- R1R2R2k- R2(1)(2)(3)(4)(2)*(4)15%-10%25%10%-0.0115%215%015%0015%325%10%5%-10%-0.0115% =0.01 =0.01 =-0.01212212投资组合协方差的计算 投资组合的风险马科维兹模型马科维兹模型的假设 投资者都是风险的厌恶者 证券收益具有不确定性，且服从正态分布 证券收益和风险可以分别用预期收益率和方差（标准差）来衡量 投资者都遵守主宰原则(Dominance rule) 风险与收益相伴而生。投资者在选择高收益的证券时，可能会面临较高的风险。投资者大多通过建立“投

26、资组合”来降低风险，但同时也可能降低收益。 风险与收益的衡量 证券组合的预期收益 证券组合的风险niiipX1)(11212112jiXXXXXijninjjiiniiijninjjip 雨较多的年份 少雨年份 股市的牛市 股市的熊市 伞需求大减 概率 0.4 0.3 0.3 收益率 30% 12% -20% E(r伞公司)=(0.430)+(0.312)+0.3(-20)=9.6% 2(伞公司)=0.4(30-9.6)2+0.3(12-9.6)2+0.3(-20-9.6)2=431.04(%) 2 =431.041/2=20.76 或20.76% 案例：投资组合的计算 投资者将其资金的50%

27、投资于伞公司的股票，其余的50%投资于收益率为3%的国库券，因此投资者的整个资产组合的期望收益率为 E(r投资者)=0.5E(r伞公司)+0.5r国库券=(0.59.6%)+(0.53%)=6.3% 资产组合的标准差为 投资者=0.5 伞公司=0.520.76%=10.38% 案例：投资组合的计算案例：投资组合的计算 雨较多的年份 少雨年份 股市的牛市 股市的熊市 冷饮需求大增 概率 0.4 0.3 0.3 收益率 4% -10% 30% 冷饮公司的期望收益率为7.6%，方差为248.64 (%) 2 ，标准差为15.77% 。 投资者将其资金的50%分别投资于伞公司股票和冷饮公司股票： 雨较

28、多的年份 少雨年份 股市的牛市 股市的熊市 冷饮需求大增 概率 0.4 0.3 0.3收益率 17% 1% 5%新组合的期望收益为8.6%，标准差为7.03%。互补的选择效果比与无风险资产构成的组合还好。 资产组合 期望收益 标准差全部投资于伞公司股票 9.6% 20.76%一半伞股票一半国库券 6.3% 10.38%一半伞股票一半冷饮股票 8.6% 7.03% 案例：互补组合的收益与风险案例：协方差的计算 测度两种资产互补程度的指标是协方差(covariance)，它测度的是两个风险资产收益相互影响的方向与程度。正的意味着资产收益同向变动，负的则是反方向变动。协方差的计算公式为 Cov(r伞

29、,r冷饮)=Pr(s)r伞(s)-E(r伞)r冷饮(s)-E(r冷饮)Cov(r伞公司,r冷饮公司)=0.4(30-9.6)(4-7.6)+0.3(12-9.6)(-10-7.6)+0.3(-20-9.6)(30-7.6)=-240.96 案例：相关系数的计算 分散原理 分散原理旨在说明为什么通过建立证券组合可以分散和降低风险。 为了便于说明，我们先假设投资组合中只有两种证券（n=2），然后再推广至N种证券。分散原理 （一）当组合中只有两种证券（n=2） 证券组合的风险为：2112212222212122XXXXp1_0_1_1222111222222121122211XXXXXXppp分散原

30、理 由此可见，当查关系数从-1变化到1时，证券组合的风险逐渐增大。当=1时，p最大；当=-1时，p最小，并且在满足一些特殊条件时， p可以降为0（什么条件？）。 除非相关系数等于1，两种证券投资组合的风险始终小于单独投资这两种证券的风险的加权平均数，即通过证券组合可以降低投资风险。分散原理 假定投资者选择了A和B两个公司的股票作为他的组合对象，相关数据如下：04.018.008.025.0BBAArr分散原理 （1）当XA=XB=1/2时，该证券组合的预期收益和风险分别为：02. 0,1045. 0,006. 0,1215. 02121pABpABpABBAprrr时当时当时当分散原理 （2）

31、当XA=1/3，XB=2/3时，该证券组合的预期收益和风险分别为：0,1038. 0,0053. 0,1203. 03231pABpABpABBAprrr时当时当时当分散原理 （二）当组合中证券数量N大于2时 假设： （1）该组合中每种证券的占比都是1/N； （2）这N种证券各自的风险都小于一个常数 ； （3） N种证券的收益彼此之间完全相关，即相关系数为0。分散原理 （二）当组合中证券数量N大于2时 证券组合的风险为：22222122122121121001)1()1()1(N，NNNNNXXppNiNiiNiijNiNjjip即时当投资组合的风险投资组合的风险受三个因素的影响 投资组合中个

32、别证券风险的大小 投资组合中各证券之间的相关系数 证券投资比例的大小 分散原理 需要说明的是，在组合中并非证券品种越多越好。 当N达到一定水平时，组合风险的下降速度会递减，最终使投资组合的风险等于证券市场的系统性风险。证券组合数量与资产组合的风险 投资组合具有降低非系统性风险的功能，但风投资组合具有降低非系统性风险的功能，但风险降低的极限为分散掉全部非系统性风险，而险降低的极限为分散掉全部非系统性风险，而系统性风险是无法通过投资组合加以回避的。系统性风险是无法通过投资组合加以回避的。有效组合与有效边界有有效效组组合合（efficient set）：按主宰法则决定的投资组合。即在同一风险水平下，

33、预期收益率高的投资组合；或在同一收益率水平，风险水平越低的组合。 有效边界有效边界( (efficient frontierefficient frontier) )：所有有效组合所有有效组合所有有效组合所有有效组合的集合。在解析几何上，效率边界为投资的集合。在解析几何上，效率边界为投资的集合。在解析几何上，效率边界为投资的集合。在解析几何上，效率边界为投资组合在各种既定风险水平下，各预期收益组合在各种既定风险水平下，各预期收益组合在各种既定风险水平下，各预期收益组合在各种既定风险水平下，各预期收益率最大的投资组合所连成的轨迹。率最大的投资组合所连成的轨迹。率最大的投资组合所连成的轨迹。率最大的投资组合所连成的轨迹。p有效组合与有效边界有效组合与有效边界pr_0有效边界MVP 可行域投资者最佳组合点的选择投资者如何在有效组合中进行选择呢？ 这取决于他们的投资收益与风险的偏好。 投资者的收益与风险偏好可用无差异曲线来描述。 所谓无差异是指一个相对较高的收益必然伴随着较高的风险，而一个相对较低的收益却只承受较低的风险，这对投资者的效用（满意程度）是相等的。 将具有相同效用的投资收益与投资风险的组合集合在一起便可以画出一条无差异曲线。 投资者最佳组合点的选择 风险厌恶者的无差异曲线投资者最佳组合点的选择 说明：A和