2.1有限闭区间上连续函数的性质..ppt课件

1、2.10 有限闭区间上连续函数的性质20211124一、一致连续性定理一、一致连续性定理 （康托定理）（康托定理）定理：定理：.,上上一一致致连连续续在在则则bafbaCf 证明：证明：上上不不一一致致连连续续，在在假假设设If.)()(0 nntfsf使得：使得：ntstsnnnn1, ,nknsbas必必有有收收敛敛子子列列由由于于 利用列紧性证明利用列紧性证明, 0*0Nn .,limbassnkn . 01 sskssststnnnnnknkkkk.limstnkn 连连续续：由由f但但由由题题设设：,0)()( sfsf)()(limnnnkktfsf ,)()(0 nnkktfsf

2、.矛盾矛盾例例1.1. ,)()(,存存在在和和且且 bfafbaCf证明：证明：.)(,)(limlimBxfAxfbxax 令令 )(xfA,ax )(xf),(bax B. bx .),()(,)(内也一致连续内也一致连续在在内一致连续，从而内一致连续，从而在在baxfbaxf.),(内内一一致致连连续续在在即即baf.),(一一致致连连续续在在求求证证：baf例例2.2.)()(),(存存在在，内内一一致致连连续续，则则在在 bfafbaf证明：证明：时时，且且当当 |),(, 0, 02121xxbaxx),(,21 aaxx.| )()(|,0 ,02121 xfxfaxax有有;

3、)(lim存存在在根根据据柯柯西西收收敛敛准准则则，xfax aa（ ） 1x2x.| )()(|21 xfxf有有.)(:lim存存在在同同理理xfbx 二、有界性定理二、有界性定理证明：证明：.,)(上上无无上上界界在在若若不不然然，设设baxf,)(,*nxfbaxNnnn 使使.,lim,baxxbaxnnknkn 有收敛子列有收敛子列.)()(lim,存存在在连连续续由由 fxffnkn .,)(lim,)(矛矛盾盾有有但但由由 nnknnkxfnkxf定理：定理： .,上上有有界界在在bafbaCf 例例3.3. .)(lim,存存在在，且且设设xfaCfx .),)(有有界界在在

4、求求证证： axf证明：证明：,)(limAxfx 设设. 1|)(| , AxfNxaN时时使使.1|)(|)(| )(|AAAxfAAxfxf .,连续，必有界连续，必有界上上在在fNa.| )(|,MxfNax ),|1 axMAL，则对一切，则对一切令令.| )(|Lxf 总总有有三、最值定理三、最值定理.,值值必必能能取取到到最最大大值值和和最最小小则则设设fbaCf ).(inf),(sup,xfmxfMbaxbax 记记.)(,)(,*mxfMxfbaxx 使使则则必必根据上确界定义：根据上确界定义：为有限数为有限数故故有界有界由于由于,Mmf使使,*baxNnn ,)(1Mxf

5、nMn 定理：定理：证明：证明： 有有子子列列收收敛敛，,baxn .)(1MxfkMnkn 同同理理可可证证：.,lim*baxxnkn 设设.)(*Mxfn 可可知知令令.)(,*mxfbax 使使四、零点定理四、零点定理 . 0)(),(, 0)()(, fbabfafbaCf使使，则则且且内内至至少少有有一一个个实实根根）在在（即即方方程程),(0)(baxf . 0)(, 0)()( bfaf不妨设不妨设用区间套用区间套二二等等分分,ba,20,)2(babaf ,2,0)2(11baababaf .,2,0)2(11bbababaf 定理：定理：证明：证明：重复上述步骤，得闭区间套

6、：重复上述步骤，得闭区间套：,2211 nnbabababa满足：满足：0)(, 0)( nnbfaf由闭区间套定理：由闭区间套定理：.,limlim1nnnnnnnbaba ，使使得得从而：从而：，且且，令令由由0)(0)()(0)( ffnbfafnn. 02)(limlim nnnnnabab. 0)( f例例4.4.)21, 0(042内内至至少少有有一一个个根根在在证证明明方方程程 xx证明：证明：,42)(xxfx 令令. 022)21(, 01)0( ff., 0)(),21, 0(000是是方方程程的的根根使使xxfx .21, 0)(Cxf 例例5.5.)2 , 3(0142

7、3 在在证证明明方方程程xxx证明：证明：, 14)(23 xxxxf令令, 05)3( f.内内恰恰有有三三个个根根. 05)2( f.2 , 3)( Cxf则则, 01)0( f, 01)1( f.而而方方程程至至多多有有三三个个根根.恰有三个实根恰有三个实根.)2 , 1(),1 , 0(),0 , 3(内内至至少少各各有有一一个个实实根根在在 例例6.6.实实根根证证明明任任意意奇奇次次方方程程必必有有证明：证明：,)(2121212012nnnnnaxaxaxaxxp 设设)1()(12221221012 nnnnnxaxaxaxaxxp.)(,)(limlim xpxpxx. 0)

8、(, 0)(, bpapba故故存存在在).,()( Cxp可可见见. 0)(),( pba使使例例7.7.,1 , 0,1 , 01 , 0 :Cff ,)()(xxfxF 令令1.0, 0)1(0(0)*或或或或若若 xFF),1 , 0(, 0)1(, 0)0(* xFF若若证明：证明：.)(,1 , 0*xxfx 使使求求证证：. 01)1()1( fF.*)(,0)(xxfxF 即即使使, 0)0()0(,1 , 0)( fFCxF易易见见（介值定理）（介值定理）,)()(,之之间间的的任任意意实实数数与与是是介介于于，设设bfafbaCf 定理：定理：.)(),( fba使使求求证

9、证),()(bfaf 不妨设不妨设,)()( xfxg令令.)(, 0)(),( fgba即即使使证明：证明：, 0)()( afag, 0)()( bfbg推论推论1.1.,之之间间的的任任何何值值和和能能取取到到则则mMfbaCf 推论推论2.,的的值值域域构构成成区区间间则则fbaCf ) )(M, )( ffm ,)(MmIf 例例8.8.),(21bxxxabaCfn . )(1)(),(1 nkkxfnfba 求求证证：,1nxxCf 易易见见Mxfnmnkk 1)(1 . )(1)(),(11 nkknxfnfxx 使使证明：证明：).(max),(min,11xfMxfmnnxxxxxx 令令例例9：设函数在闭区间：设函数在闭区