2.1曲面与空间曲线qumianjikognjianquxianppt课件

1、6 曲面与空间曲线例1：求与A(2,3,1)和B(4,5,6)等距离的点的运动规迹。解： 设M(x,y,z)为动点的坐标，动点应满足的条件是 |AM|=|BM|由距离公式得一.曲面及其方程： 1.曲面方程的一般概念：而满足此方程的点都在曲面上，则称此方程为该曲面的方程，而曲面称为此方程的图形。定义：若曲面上的点的坐标(x,y,z) 都满足方程F(x,y,z)=0，222222(2) (3) ( 1 )(4) (5) (6)xyzxyz 整理得 4410630 xyz此即所求点的规迹方程，为一平面方程。 2.坐标面及与坐标面平行的平面方程： 坐标平面xOy的方程：z=0 过点a,b,c)且与xO

2、y面平行的平面方程：z=c 坐标面yOz、坐标面zOx以及过a,b,c)点且分别与之平行的平面方程：x=0; y=0; x=a; y=b 3. 球面方程： 球面的标准方程：以M0(x0,y0,z0)为球心，R为半径 的球面方程为 (x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=R2例例2：求：求x2+y2+z2+2x-2y-2=0表示的曲面表示的曲面解：整理得：解：整理得： (x+1)2+(y-1)2+z2=22 故此为一个球心在（故此为一个球心在（-1,1,0)，半径为，半径为2的球。的球。球面方程的特点：平方项系数相同；没有交叉项。 球面的一般方程： x2+y2+z2+Ax+By+Cz+D

3、=0 一般我们将动直线l沿定曲线c平行移动所形成的轨迹称为柱面。其中直线l称为柱面的母线，定曲线c称为柱面的准线。本章中我们只研究母线平行于坐标轴的柱面方程。此时有以下结论： 分析：母线平行于坐标轴的柱面的特点为：平行于某轴，则在其方程中无此坐标项。其几何意义为：无论z取何值，只要满足F(x,y)=0，则总在柱面上。 若柱面的母线平行于z轴，准线c是xOy面上的一条曲线，其方程为F(x,y)=0，则该柱面的方程为F(x,y)=0; 同理，G(x,z)=0,H(y,z)=0在空间中分别表示母线平行于y轴和x轴的柱面。4.母线平行于坐标轴的柱面方程：222xya圆柱面；22221xyab椭圆柱面；

4、22221xyab双曲柱面；22xpy抛物柱面。以上所举例均为母线平行于z轴的情况，其他情况类似。几种常见柱面：x+y=a 平面；4.旋转曲面： 一般情况下我们将一平面曲线c绕同一平面内的定直线l旋转一周所成的曲面称为旋转曲面。其中c称为母线，l称为其轴。本章中我们只研究绕坐标轴放置的曲面。此时有以下结论： 设yOz平面上有一已知曲线c 其方程为f(y,z)=0，将c绕 z轴旋转一周，所得到的以z轴 为轴的放置曲面的方程为：22(, ) 0fxy z同理，曲线c绕y轴旋转所得曲面方程为：22( ,) 0f yxz同理,以xOy面上曲线f(x,y)=0为母线绕x轴得曲面22( ,)0f xyz绕

5、y轴为22(, ) 0fx z y以xOz面上曲线f(x,z)=0为母线绕x轴得曲面22( ,) 0f xyz绕z 轴得曲面22(, ) 0fxy z例例3 求顶点在原点，旋转轴为求顶点在原点，旋转轴为z轴，轴， 半顶角为半顶角为a的圆锥面方程。的圆锥面方程。解：将解：将yOz面上的直线面上的直线z=yctg 绕绕z轴旋转一周即得圆锥曲面轴旋转一周即得圆锥曲面22zx yctg整理后得：2222()za xy其中a=ctg二.空间曲线及其方程： 1.空间曲线的一般方程： 空间曲线一般可看作两个曲面的交线，若两个曲面的方程分别为F(x,y,z)=0和G(x,y,z)=0，则易知其交线c的方程为(

6、 , , )0( , , )0F x y zG x y z称此方程组为曲线c的一般方程。 例例4：方程组：方程组22252xyzz表示怎样的曲线？解：平面解：平面z=2上以上以(0,0,2)为圆心的单位圆。为圆心的单位圆。表示母线平行于Z 轴，准线在xoy面上半径为1的上半球面例 方程 表示怎样曲线222222()()22Zaxyaaxy22zxy解： 表示中心在原点，222()( )22aaxy半径为1的圆柱面 它们的交线是xoy面上的一个圆，其圆心在 ，半径为(,0)2a2a2.空间曲线的参数方程： 方程组( )( )( )xx tyy tzz t称为空间中曲线的参数方程。设空间曲线方程如

7、果选定一个适当的函数 x=xx代入上述方程组并有它解出y=（x），Z=Zx得例 如果空间一点M在圆柱面 x2 +y2 =a2 上以等角速度 绕z周旋转，同时，以等速度v沿平行于Z轴的正方向 挪动，则点M运动的轨迹叫螺旋线，求其参数方程M NvtztMNcossinxatytzvtcossinxayzR螺旋线有一个重要性质，当 从 变到 时，Z由 变到 这说明当 转过角 时， 点沿螺旋线升了高度 ，即上升的高度与 转过角度成正比。000b0bboMMboM 三.空间曲线在坐标面上的投影：( , , )0( , , )0F x y zG x y z在该方程组中消去z得H(x,y)=0，此为一个通过

8、曲线L母线平行于z轴的柱面，称为曲线c关于xOy面的投影柱面。此投影柱面与xOy平面的交线即为c在xOy平面上的投影曲线，简称投影，其方程为( , )00H x yz同理可得L在yOz面及xOz面上投影方程为( , )00T x zy( , )00R y zx和解 消去Z得1-y2=3x2+y2投影柱面方程为3x2+2y2=1例 求曲线L： 在三个坐标面上的投影曲线22231xyzzy 22310 xyz投影曲线方程2321 10 xzy 投影曲线方程消去x得Z=1-y2210zyx 投影曲线方程消去y得3x2+1-2Z=0投影柱面方程为3x2-2Z-1=0投影柱面方程为Z=1-y2的交线是一

9、条空间曲线例 两个柱面 和 222xza222xya 例5：求曲线2222221(1 ) ( 1 ) 1xyzxyz 在xOy面上的投影方程。 解：上式减下式得z=1-y，代回上式得投影柱面方程为22220 xyy从而曲线在xOy面上的投影方程为222200 xyyz四 二次曲面通过截痕法，了解二次曲面的全貌1.椭球面2222221xyzabc与三个坐标面的交线均为椭圆222210 xyabz222210 xzacy222210zyabx若a=b,那么 旋转椭球面2222221xyzaac2 单叶双曲面2222221 ( , ,xyzabcabc为 正 数 ）Z=h 截,截痕为一椭圆。2222

10、22221(1)(1)xyhhabccz h 222222221(1)(1)yzhhbcaax h x=h ，或y=h截,截痕为一双曲线。222222221(1)(1)xzhhacbby h 2当 时，截痕为一对直线bb1当 时，曲线为双曲线，实轴平行与x轴，虚轴平行与z轴，当 由零增大到b时，曲线的两半轴缩小至零。bbb3当 时，曲线仍为双曲线，但实轴平行于z轴，虚轴平行与x轴，当 由 b增大时，曲线的两半轴也增大。bbb同样用平行于yoz的平面相截时截痕也是双曲线，可用同样的方法讨论。这是单叶旋转双曲面。当a=b时，方程变为222221xyzac3 双叶双曲面2222221 ( , ,xyza b cabc为正数）双叶双曲面对称于坐标原点及三个坐标面Z=h截，截痕为22222