2.1无穷小与无穷大ppt课件

1、2.2 无穷小与无穷大无穷小与无穷大1.定义定义X)(x ) 1 ()(.)(, 0)(lim 1XxoxfXxxfxf记下的无穷小量是极限过程则称若定义.)(,)(lim 2Xx下的无穷大量是极限过程则称若定义Xxxfxf, 0)1(lim nnn.nn)1(n时的无穷小量时的无穷小量是当是当数列数列 , 01lim xx.xx1时时的的无无穷穷小小量量是是当当函函数数 ,x1lim0 x .0 xx1时时的的无无穷穷大大量量是是当当函函数数例如例如:, 0sinlim0 xx.0 xxsin时时的的无无穷穷小小量量是是当当函函数数, 0)1x(lim1x .1x1x时的无穷小量时的无穷小量

2、是当是当函数函数 注意注意: :1.无穷小量是变量无穷小量是变量,不能与很小的数混淆不能与很小的数混淆;2.无穷大量是变量无穷大量是变量,不能与很大的数混淆不能与很大的数混淆;3.无穷大量无穷大量,无穷小量是相对于变化过程而言的无穷小量是相对于变化过程而言的.0可作为无穷小量可作为无穷小量,但不等于无穷小量就是但不等于无穷小量就是0。无穷大量必无界，但反之未必。无穷大量必无界，但反之未必。._ ,_ 1)-lg(xf(x) 1时时是是无无穷穷小小量量当当时时为为无无穷穷大大量量当当例例 x,1x或或2x 2.无穷大量与无穷小量的关系无穷大量与无穷小量的关系X)(x )1(o)x( f1,)x(

3、 flimXx 则则若若X)(x )x( f1, 0)x( f , 0)x( flimXx 为为无无穷穷大大量量则则若若3.无穷小与函数极限的关系无穷小与函数极限的关系:Xx ),1()()(lim:P22) oAxfAxfXx定理2.2(定理定理2.8 (P23)4.无穷大量与无穷小量的运算性质无穷大量与无穷小量的运算性质:.h(x)f(x)f(x)g(x),cf(x),g(x),f(x),c ,h(x)o(1),g(x)o(1),f(x),Xx )1(仍为无穷小量仍为无穷小量则则为常数为常数界变量界变量为有为有时时设设 .)x(g)x( f未必为无穷小量未必为无穷小量但但.f(x)g(x)

4、f(x),h(x)w(x)f(x)cf(x),c0,w(x)lim,h(x),g(x)f(x), )2(Xx仍为无穷大量仍为无穷大量则则为非零常数为非零常数界变量界变量为有为有为无穷大量为无穷大量时时设设 XxP22定理定理2.3,2.4P23定理定理2.5,2.6,2.7注意无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小注意无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小. .例例2 2).21(lim222nnnnn 求求解解是是无无穷穷小小之之和和时时, n222221lim)21(limnnnnnnnn 2)1(21limnnnn )11(21limnn .21 先变形再求极限先变形再求极限.4、无穷小量的阶、

5、无穷小量的阶(无穷小量的比较无穷小量的比较)20limxxx;2要要慢慢得得多多比比xx例如例如,xxx3lim20 xxxsinlim02201sinlimxxxx.1sin,sin,022都是无穷小都是无穷小时时当当xxxxxx 极限不同极限不同, 反映了趋向于零的反映了趋向于零的“快慢程度不快慢程度不同同.;32要快得多要快得多比比 xx;sin大大致致相相同同与与xx不可比不可比., 0 , 1 xx1sinlim0 .不不存存在在观察各极限观察各极限, g(x)f(x),g(x)f(x) 1.g(x)f(x) 0)A(A.g(X)f(x) o(g(x)f(x),g(x)f(x)0 )x(g)x( flimXx记记等价无穷小等价无穷小与与称称为同阶无穷小为同阶无穷小与与低阶无穷小低阶无穷小比比称称高阶无穷小高阶无穷小比比称称如果如果定义定义: :Xx ),1(o)x(g),1(o)x( f 设设.)()(,)()(lim不能比较的无穷小量不能比较的无穷小量与与称称不存在不存在若若xgxfxgxfXx.(D);(C);(B);(A) .) (1000,0:33同阶同阶等价等价低阶低阶高阶高阶无穷小无穷小相比是相