二圆锥曲线参数方程

1、二 圆锥曲线的参数方程 椭圆参数方程椭圆参数方程 以原点为圆心，分以原点为圆心，分 别以别以a，b为半径作圆。为半径作圆。 过过o的射线交大、小圆的射线交大、小圆 于于A、B，又过，又过A、B分别作分别作y、x轴的平行线轴的平行线相交于相交于M(x，y) ，根据，根据 三角函数的定义三角函数的定义oxy)MABbacos()sinxayb为参数这是中心在原点这是中心在原点O，焦点，焦点在在x轴上的椭圆的参数方程。轴上的椭圆的参数方程。思考：思考：类比圆的参数方程中参数的意义，类比圆的参数方程中参数的意义，椭圆的参数方程中参数的意义是什么？椭圆的参数方程中参数的意义是什么？与圆的参数方程的参数类

2、似吗？与圆的参数方程的参数类似吗？圆：圆：椭圆：椭圆：M为 点的 旋 转 角 ；M为 点的 离 心 角 。tantan ;ba22cossin1 椭圆的参数方程可以由方程椭圆的参数方程可以由方程 与三角恒等式与三角恒等式12222byax 相比较而得到，所以椭圆的参数方程相比较而得到，所以椭圆的参数方程的实质是三角代换的实质是三角代换.椭圆椭圆 的参数方程为：的参数方程为：22221xyab（ab0）说明说明：（acos ,bsin ） 这里参数这里参数 叫做椭圆的离心角叫做椭圆的离心角.椭圆上点椭圆上点M的离心角与直线的离心角与直线OM的倾斜角的倾斜角 不同：不同：cos()sinxayb为

3、参数 ,2 )o通常规定探究：探究：椭圆规是用来画椭圆的一种器械，它的构造如图所示。在一个十字型的椭圆规是用来画椭圆的一种器械，它的构造如图所示。在一个十字型的金属板上有两条互相垂直的导槽，在直尺上有两个固定滑块金属板上有两条互相垂直的导槽，在直尺上有两个固定滑块A，B它们可以它们可以分别在纵槽和横槽中滑动，在直尺上的点分别在纵槽和横槽中滑动，在直尺上的点M处用套管装上铅笔，使直尺转处用套管装上铅笔，使直尺转动一周就画出一个椭圆。动一周就画出一个椭圆。 你能说明它的构造原理吗？你能说明它的构造原理吗？ABM提示：可以用直尺提示：可以用直尺AB和横槽所成的角为参数，求出点和横槽所成的角为参数，求

4、出点M的轨迹的参数方程。的轨迹的参数方程。0ABMxyA，B，M三点固定，设三点固定，设|AM|=a，|BM|=b， 。MBx设M(x,y)则x=acos ,y=bsin ,所以M点的轨迹为椭圆。练习、练习、1、把下列参数方程化为普通方程，普通方程、把下列参数方程化为普通方程，普通方程化为参数方程（口答）化为参数方程（口答）3cos ,5sin .xy（1）8cos ,6sin .xy（2）22149xy（3）22116yx（ 4）2 3cos ,2.(3 2sin .xy曲线为参数)的焦距是 。例例1、在椭圆、在椭圆 上求一点上求一点M，使，使M到直线到直线x+2y-10=0的距离最小，并求

5、出最小距离。的距离最小，并求出最小距离。22194xyyXOA2A1B1B2F1F2XY解：因为椭圆的参数方程为解：因为椭圆的参数方程为 （ 为参数）为参数）所以可设点所以可设点M的坐标为的坐标为 由点到直线的距离公式，得点由点到直线的距离公式，得点M到直线的距离为到直线的距离为其中其中由三角函数的性质知，当由三角函数的性质知，当 时时d取最小值取最小值因此当点因此当点M位于位于 时，点时，点M到直线的距离取最小值到直线的距离取最小值,sin2cos3yxsin2 ,3cos10cos55151054sin53cos5510sin43cos0d54sin,53cos000-0558,59?5注

6、意焦点位置注意焦点位置练习练习4、(1)求出曲线求出曲线 的离心率、准线方程的离心率、准线方程cos ,1sin .2xy（2）若曲线上有一点）若曲线上有一点P（x,y）则求出）则求出3x+4y的的取值范围取值范围.3.曲线的参数方程 22cos,(),sin.xy为参数则此曲线是( )A 椭圆 B 椭圆的一部分C 线段 D 直线5、已知点、已知点A（1，0），椭圆），椭圆 点点P在椭圆上移动，求在椭圆上移动，求|PA|的最小值及此时的最小值及此时点点P的坐标的坐标.2214xy思考：思考： 与简单的线性规划问题进行类比，你能在实数与简单的线性规划问题进行类比，你能在实数x，y满足满足 的前提

7、下，求出的前提下，求出z=x-2y的最大值和最小值吗？的最大值和最小值吗？ 由此可以提出哪些类似的问题？由此可以提出哪些类似的问题？2212516xy（ acos ,bsin ）椭圆椭圆 的参数方程为：的参数方程为：22221xyab（ab0）cos()sinxayb为参数tantan ;ba 椭圆的参数方程可以由方程椭圆的参数方程可以由方程 与三角恒等式与三角恒等式12222byax1sincos22 相比较而得到，所以椭圆的参数方程相比较而得到，所以椭圆的参数方程的实质是三角代换的实质是三角代换.说明：说明： 这里参数这里参数 叫做椭圆的离心角叫做椭圆的离心角.椭圆上点椭圆上点M的离心角与

8、直线的离心角与直线OM的倾斜角的倾斜角 不同：不同：小结小结baoxy)MBABAOBBy在中，( , )M x y设| | tanBBOBtan .bOAAx在中，|cosOAOAcosbsec ,bsec()tanxaMyb所所以以的的轨轨迹迹方方程程是是为为参参数数2a22222 2xyxy消去参数后，得-=1,消去参数后，得-=1,b b这是中心在原点，焦点在x轴上的双曲线。这是中心在原点，焦点在x轴上的双曲线。探究双曲线的参数方程探究双曲线的参数方程 双曲线的参数方程双曲线的参数方程 baoxy)MBABAsec()tanxayb为参数2a222xy-=1(a0,b0)的参数方程为：

9、b3 ,2 )22o通常规定且，。22221xyab 双曲线的参数方程可以由方程双曲线的参数方程可以由方程 与三角恒等式与三角恒等式22sec1tan 相比较而得到，所以双曲线的参数方程相比较而得到，所以双曲线的参数方程 的实质是三角代换的实质是三角代换.说明：说明： 这里参数这里参数 叫做双曲线的离心角与直线叫做双曲线的离心角与直线OM的倾斜角不同的倾斜角不同.例例2、2222100(,)xyMabOabMABMAOB 如如图图，设设为为双双曲曲线线任任意意一一点点，为为原原点点，过过点点作作双双曲曲线线两两渐渐近近线线的的平平行行线线，分分别别与与两两渐渐近近线线交交于于 ，两两点点。探探

10、求求平平行行四四边边形形的的面面积积，由由此此可可以以发发现现什什么么结结论论？OBMAxy.byxa 双曲线的渐近线方程为：解：解：tan(sec ).MbybxaaA 不妨设M为双曲线右支上一点，其坐标为,则直线的方程为（asec ,btan ）： b将y=x代入，解得点A的横坐标为aAax= （ s e ct a n）2.Bax = （se同理可得，点B的横坐cta2标n为）.ba设 AOx= ,则tan.MAOB所以的面积为MAOBS=|OA|OB|sin2 =ABxxsin2coscos2222a (sec-tan)=sin24costan.2baba22aa=22MAOB由此可见，

11、平行四边形的面积恒为定值，与点M在双曲线上的位置无关。练习练习:1.已知参数方程11xttytt(t 是参数是参数, t 0)化为普通方程化为普通方程,画出方程的曲线画出方程的曲线.2.参数方程sectanxayb(,)22是 参 数表示什么曲线表示什么曲线?画出图形画出图形.22223.1(0),.xybaA Bab22若双曲线上有两点与它的中心的连线互相垂直.11求证: 为定值|OA|OB|抛物线的参数方程抛物线的参数方程oyx)HM(x，y)M设 （x,y）为抛物线上除顶点外的任意一点，以射线OM为终边的角记作 。tan.My因为点 （x,y）在 的终边上，根据三角函数定义可得x.2又设

12、抛物线普通方程为y =2px,().y22px=tan解出x,y得到抛物线（不包括顶点）的参数方程：为参数2ptan1如果设t=,t (- ,0) (0,+ ),则有tan,().ty2x=2pt为参数2pt0t 当时，参数方程表示的点正好就是抛物线的顶点（0，0）。,().ttRy2x=2pt所以，为参数，表示整条抛物线。2pt思考：思考：参数参数t的几何意义是什么？的几何意义是什么？抛物线的参数方程抛物线的参数方程oyx)HM(x，y)2抛物线y =2px(p0)的参数方程为:1其中参数t=(0),当 =0时，t=0.tan几何意义为：,().ttRy2x=2pt为参数，2pt抛物线上除顶

13、点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数。思考：思考： 怎样根据抛物线的定义选取参数，建立抛物线怎样根据抛物线的定义选取参数，建立抛物线x2=2py(p0)的的参数方程？参数方程？.x即P(x,y)为抛物线上任意一点,则有t=y例例3、2OABy 如图，是直角坐标原点， ， 是抛物线=2px(p0)上异于顶点的两动点，且OAOB，OMAB并与AB相交于点M，求点M的轨迹方程。,0 .MAB2211221212根据条件，设点， ， 的坐标分别为（x,y）,(2pt ,2pt ),(2pt,2pt )(tt且t t）解：解：OBMAxyOMOAOBAB 211222222121则=（x,y）， =(2pt ,2pt ),=(2pt ,2pt )， =(2p(t -t ),2p(t -t ).,0,1OAOBOA OB 22121212即(2pt t ) +（2p） t t =0, t t。,0,()0OMABOM ABxy 22 2212112即2px(t -t ) +2py(t -t )=0,t +t。(0)yxx 12即t +t。AMMBAMB 221122因为=（x-2pt ,y-2pt）， =（2pt -x,2pt -y）