第7次课数值运算及运算器

1、本次课程要点：本次课程要点：1 1、掌握不同码制的移位运算。、掌握不同码制的移位运算。2 2、掌握原码、补码的乘法运算。、掌握原码、补码的乘法运算。第二部分：第第二部分：第3 3章章 数值运算及运算器数值运算及运算器第二部分：第第二部分：第3 3章章 数值运算及运算器数值运算及运算器1 1、逻辑移位、逻辑移位三、移位运算三、移位运算n 按操作性质可分为三种类型：按操作性质可分为三种类型： 逻辑移位、循环移位、算术移位。逻辑移位、循环移位、算术移位。只有数码位置的变化，而无数量的变化。只有数码位置的变化，而无数量的变化。左移：低位补左移：低位补0 0。 右移：高位补右移：高位补0 0。例例1 1

2、：A A寄存器的初值为寄存器的初值为 1011010110110101 逻辑右移一位后为逻辑右移一位后为 0 010110101011010 逻辑左移一位后为逻辑左移一位后为 011010101101010 0第二部分：第第二部分：第3 3章章 数值运算及运算器数值运算及运算器2 2、循环移位、循环移位三、移位运算三、移位运算 寄存器两端触发器有移位通路，形成闭合的寄存器两端触发器有移位通路，形成闭合的移位环路。移位环路。例例2 2：A A寄存器的初值为寄存器的初值为 1001100110011001循环右移一位后为循环右移一位后为 1 110011001001100循环左移一位后为循环左移一

3、位后为 001100100110011 1第二部分：第第二部分：第3 3章章 数值运算及运算器数值运算及运算器3 3、算术移位、算术移位三、移位运算三、移位运算数的符号不变，而数值发生变化。数的符号不变，而数值发生变化。左移一位将使数值扩大一倍（乘以左移一位将使数值扩大一倍（乘以2 2）右移一位则使数值缩小一倍（乘以右移一位则使数值缩小一倍（乘以1/21/2）第二部分：第第二部分：第3 3章章 数值运算及运算器数值运算及运算器3 3、算术移位（续）、算术移位（续）三、移位运算三、移位运算（1 1）正数：原码、补码、反码左右移位时，空）正数：原码、补码、反码左右移位时，空位均补入位均补入0 0（

4、符号不变）。（符号不变）。例例3 3：A A寄存器初值：寄存器初值：0.01100.0110左移一位：左移一位：0.1100.1100 0右移一位：右移一位：0.0.0 0011011第二部分：第第二部分：第3 3章章 数值运算及运算器数值运算及运算器3 3、算术移位（续）、算术移位（续）三、移位运算三、移位运算（2 2）负数：）负数：v原码：符号位不变（为原码：符号位不变（为1 1），空位补），空位补0 0。例例4 4： A A寄存器的初值为寄存器的初值为 1.01101.0110 算术左移一位后为算术左移一位后为 1.1101.1100 0 算术右移一位后为算术右移一位后为 1.1.0 0

5、011011v补码：左移后的空位补补码：左移后的空位补0 0，右移后的空位补，右移后的空位补1 1。第二部分：第第二部分：第3 3章章 数值运算及运算器数值运算及运算器3 3、算术移位（续）、算术移位（续）三、移位运算三、移位运算例例5 5：初值：初值：1.10111.1011左移一位：左移一位：1.0111.0110 0右移一位：右移一位：1.1.1 1101101v反码：移位后的空位补反码：移位后的空位补1 1。例例6 6：初值：初值：1.10111.1011左移一位：左移一位：1.0111.0111 1右移一位：右移一位：1.1.1 1101101第二部分：第第二部分：第3 3章章 数值

6、运算及运算器数值运算及运算器四、乘法运算四、乘法运算v 实现乘除运算的方案：实现乘除运算的方案：1 1、软件实现、软件实现2 2、设置专用的乘、除法器、设置专用的乘、除法器3 3、在加法器基础上增加逻辑线路、在加法器基础上增加逻辑线路 在计算机中，乘法运算大多数由累加与移在计算机中，乘法运算大多数由累加与移位来实现，也有些机器中具有由大规模集成电位来实现，也有些机器中具有由大规模集成电路制造的阵列乘法模块。路制造的阵列乘法模块。 原码一位乘法是从手算演变而来的，即用原码一位乘法是从手算演变而来的，即用两个操作数的绝对值相乘，乘积的符号为两操两个操作数的绝对值相乘，乘积的符号为两操作数符号的异或

7、值（同号为正，异号为负）。作数符号的异或值（同号为正，异号为负）。 乘积乘积P=|X|Y| 符号符号Ps=Xs Ys 式中：式中：Ps为乘积的符号，为乘积的符号，Xs和和Ys为被乘为被乘数和乘数的符号。数和乘数的符号。第二部分：第第二部分：第3 3章章 数值运算及运算器数值运算及运算器四、乘法运算四、乘法运算1 1、原码一位乘、原码一位乘第二部分：第第二部分：第3 3章章 数值运算及运算器数值运算及运算器四、乘法运算四、乘法运算1 1、原码一位乘（续）、原码一位乘（续）v原码一位乘法的规则：原码一位乘法的规则：参加运算的操作数取其绝对值；参加运算的操作数取其绝对值；令乘数的最低位为判断位，若为

8、令乘数的最低位为判断位，若为“1”1”，加被，加被乘数，若为乘数，若为“0”0”，不加被乘数（加，不加被乘数（加0 0）；）；累加后的部分积以及乘数右移一位；累加后的部分积以及乘数右移一位；重复重复n n次次和和 ；符号位单独处理，同号为正，异号为负。符号位单独处理，同号为正，异号为负。 通常，乘法运算需要通常，乘法运算需要3个寄存器。被乘数个寄存器。被乘数存放在存放在B寄存器中；乘数存放在寄存器中；乘数存放在C寄存器中；寄存器中；A寄存器用来存放部分积与最后乘积的高位部分，寄存器用来存放部分积与最后乘积的高位部分，它的初值为它的初值为0。运算结束后寄存器。运算结束后寄存器C中不再保留中不再保

9、留乘数，改为存放乘积的低位部分。乘数，改为存放乘积的低位部分。 例例7：已知：已知：X=0.1101，Y=-0.1011，求：，求：XY。 |X|=00.1101B， |Y|=0.1011C，0A第二部分：第第二部分：第3 3章章 数值运算及运算器数值运算及运算器四、乘法运算四、乘法运算1 1、原码一位乘（续）、原码一位乘（续） A C 说明说明0 0.0 0 0 0 1 0 1 10 0.1 1 0 1 0 0.0 1 1 0 1 1 0 1 部分积右移一位部分积右移一位0 1.0 0 1 1+|X| 0 0.1 1 0 1 C4=1，+|X| 0 0.1 0 0 1 1 1 1 0 部分积

10、右移一位部分积右移一位+0 0 0.0 0 0 0 C4=0，+00 0.1 0 0 1 0 0.0 1 0 0 1 1 1 1 部分积右移一位部分积右移一位+|X| 0 0.1 1 0 1 C4=1，+|X|0 1.0 0 0 1 0 0.1 0 0 0 1 1 1 1 部分积右移一位部分积右移一位PS=XS YS=0 1=1X Y=-0.10001111 第二部分：第第二部分：第3 3章章 数值运算及运算器数值运算及运算器+|X| 0 0.1 1 0 1 C4=1，+|X|图图1 1 原码一位乘法流程图原码一位乘法流程图 第二部分：第第二部分：第3 3章章 数值运算及运算器数值运算及运算器

11、EndYN|X| B,|Y| C0 A,0 CRCn=1?CR+1CRCR=n? (A+0) A C C (A+B) A C CXS YS PSYN 第二部分：第第二部分：第3 3章章 数值运算及运算器数值运算及运算器四、乘法运算四、乘法运算2 2、原码两位乘、原码两位乘v 原码两位乘法的规则：原码两位乘法的规则：参加运算的数用原码来表示。符号位不参加乘法运算，单参加运算的数用原码来表示。符号位不参加乘法运算，单独处理，同号为正，异号为负。乘数的数值位个数为奇数独处理，同号为正，异号为负。乘数的数值位个数为奇数时，用一个符号位，为偶数时乘数取双符号位。被乘数和时，用一个符号位，为偶数时乘数取双

12、符号位。被乘数和部分积取部分积取3 3个符号位。个符号位。增加一个触发器增加一个触发器C Cj j，初始值为，初始值为0 0。逐次比较相邻两位逐次比较相邻两位Y Yi-1i-1Y Yi i及及C Cj j的值决定应执行的操作的值决定应执行的操作,-|X|,-|X|操操作可以按作可以按,+|X|,+|X|变补变补来实现来实现 。当乘数的数值位个数为奇数时，共需当乘数的数值位个数为奇数时，共需(n+1)/2(n+1)/2累加和移位，累加和移位，但最后一次移但最后一次移1 1位；当乘数的数值位个数为偶数时，共需位；当乘数的数值位个数为偶数时，共需n/2+1n/2+1次累加，次累加，n/2n/2次移位

13、（最后一次不移位）。次移位（最后一次不移位）。 例例8：已知：已知：X=0.11011，Y=-0.11101，求：，求：XY。 X原原=0.11011，Y原原=1.11101，-X补补=1.00101 |X|=000.11011B， |Y|=0.11101C，0Cj第二部分：第第二部分：第3 3章章 数值运算及运算器数值运算及运算器四、乘法运算四、乘法运算2 2、原码两位乘（续）、原码两位乘（续） A C Cj 说明说明0 0 0.0 0 0 0 0 0.1 1 1 0 1 00 0 0.1 1 0 1 1 0 0 0.0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 部分积右移两位部分积右移两

14、位+|X| 0 0 0.1 1 0 1 1 C4C5Cj=010，+|X|, Cj=0PS=XS YS=0 1=1 X Y=-0.1100001111 第二部分：第第二部分：第3 3章章 数值运算及运算器数值运算及运算器+|X|变补变补 1 1 1.0 0 1 0 1 C4C5Cj=110， +|X|变补变补 , Cj=11 1 1.0 1 0 1 1 1 1 1.1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 部分积右移两位部分积右移两位+2|X| 0 0 1.1 0 1 1 0 C4C5Cj=011，+2|X|, Cj=00 0 1.1 0 0 0 0 0 0 0.1 1 0 0 0 0

15、1 1 1 1 0 1 部分积右移一位部分积右移一位 虽然原码乘法比补码乘法容易实现，但因为虽然原码乘法比补码乘法容易实现，但因为补码加减法简单，在以加减运算为主的通用机中补码加减法简单，在以加减运算为主的通用机中操作数都用补码表示，所以这类计算机在做乘法操作数都用补码表示，所以这类计算机在做乘法时常使用补码乘法。时常使用补码乘法。（1）校正法校正法 校正法是将校正法是将X补补和和Y补补按原码规则运算，所按原码规则运算，所得结果根据情况再加以校正，从而得到正确的得结果根据情况再加以校正，从而得到正确的XY补补。补码乘法的统一表达式：。补码乘法的统一表达式： XY补补=X补补(0.Y1Y2Yn)

16、+-X补补Ys第二部分：第第二部分：第3 3章章 数值运算及运算器数值运算及运算器四、乘法运算四、乘法运算3 3、补码一位乘、补码一位乘（2 2）比较法）比较法BoothBooth乘法乘法 递推公式：递推公式： Z0补补=0 Z1补补=2-1Z0补补+(Yn+1-Yn)X补补 Z2补补=2-1Z1补补+(Yn-Yn-1)X补补 Zn补补=2-1Zn-1补补+(Y2-Y1)X补补 XY补补=Zn补补+(Y1-Ys)X补补 式中，式中，Z0补补为初始部分积，为初始部分积，Z1补补Zn补补依次为各次求得的累加并右移之后的部分积。依次为各次求得的累加并右移之后的部分积。 四、乘法运算四、乘法运算3 3

17、、补码一位乘、补码一位乘第二部分：第第二部分：第3 3章章 数值运算及运算器数值运算及运算器 判断位判断位 Yn Yn+1 操操 作作 0 0 原部分积右移一位原部分积右移一位 0 1 原部分积加原部分积加X补补后右移一位后右移一位 1 0 原部分积加原部分积加-X补补后右移一位后右移一位 1 1 原部分积右移一位原部分积右移一位 （2）比较法）比较法Booth乘法乘法 （续）（续）四、乘法运算四、乘法运算3 3、补码一位乘、补码一位乘第二部分：第第二部分：第3 3章章 数值运算及运算器数值运算及运算器 Booth乘法规则：乘法规则： 参加运算的数用补码表示；参加运算的数用补码表示； 符号位参

18、加运算；符号位参加运算； 乘数最低位后面增加一位附加位乘数最低位后面增加一位附加位Yn+1，其初值为，其初值为0； 由于每求一次部分积要右移一位，所以乘数的最低由于每求一次部分积要右移一位，所以乘数的最低两位两位Yn、Yn+1的值决定了每次应执行的操作；的值决定了每次应执行的操作； 移位按补码右移规则进行；移位按补码右移规则进行； 共需做共需做n+1次累加，次累加，n次移位，第次移位，第n+1次不移位。次不移位。（2）比较法）比较法Booth乘法（续）乘法（续） 四、乘法运算四、乘法运算3 3、补码一位乘、补码一位乘第二部分：第第二部分：第3 3章章 数值运算及运算器数值运算及运算器 由于符号

19、位要参加运算，部分积累加时最高有由于符号位要参加运算，部分积累加时最高有效位产生的进位可能会侵占符号位，故被乘数和部效位产生的进位可能会侵占符号位，故被乘数和部分积应取双符号位，而乘数只需要一位符号位。运分积应取双符号位，而乘数只需要一位符号位。运算时仍需要有算时仍需要有3个寄存器，各自的作用与原码时相个寄存器，各自的作用与原码时相同，只不过存放的内容均为补码表示而已。同，只不过存放的内容均为补码表示而已。 例例9：已知：已知X=-0.1101，Y=0.1011；求；求XY。 X补补=11.0011B，Y补补=0.1011C，0A -X补补=00.1101（2）比较法）比较法Booth乘法（续

20、）乘法（续） 四、乘法运算四、乘法运算3 3、补码一位乘、补码一位乘第二部分：第第二部分：第3 3章章 数值运算及运算器数值运算及运算器 A C A C 附加位附加位 说明说明0 0.0 0 0 0 0.1 0 1 1 0 0.0 0 0 0 0.1 0 1 1 0 0+-X+-X补补 0 0.1 1 0 1 C0 0.1 1 0 1 C4 4C C5 5=10=10，+-X+-X补补0 0.1 1 0 10 0.1 1 0 1 0 0.0 1 1 0 0 0.0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 部分积右移一位部分积右移一位+0 0 0.0 0 0 0 C+0 0

21、0.0 0 0 0 C4 4C C5 5=11=11，+0+00 0.0 1 1 00 0.0 1 1 0 0 0.0 0 1 1 0 0.0 0 1 1 0 10 1 0 1 0 1 0 1 0 1 部分积右移一位部分积右移一位+X+X补补 1 1.0 0 1 1 C1 1.0 0 1 1 C4 4C C5 5=01=01，+X+X补补1 1.0 1 1 01 1.0 1 1 0 1 1.1 0 1 1 1 1.1 0 1 1 0 0 10 0 1 0 1 0 0 1 0 部分积右移一位部分积右移一位+-X+-X补补 0 0.1 1 0 1 C0 0.1 1 0 1 C4 4C C5 5=1

22、0=10，+-X+-X补补0 0.1 0 0 00 0.1 0 0 0 0 0.0 1 0 0 0 0.0 1 0 0 0 0 0 10 0 0 1 0 1 0 1 部分积右移一位部分积右移一位+X+X补补 1 1.0 0 1 1 C1 1.0 0 1 1 C4 4C C5 5=01=01，+X+X补补1 1.0 1 1 11 1.0 1 1 1X Y补补=1.01110001X Y=-0.10001111第二部分：第第二部分：第3 3章章 数值运算及运算器数值运算及运算器图图2 Booth乘法流程图乘法流程图第二部分：第第二部分：第3 3章章 数值运算及运算器数值运算及运算器四、乘法运算四、

23、乘法运算4 4、补码两位乘、补码两位乘第二部分：第第二部分：第3 3章章 数值运算及运算器数值运算及运算器 每次处理乘数中的两位，使速度提高一倍。每次处理乘数中的两位，使速度提高一倍。 Z补补=2-1Z补补+(Yi+1-Yi)X补补 Z补补=2-1Z补补+(Yi-Yi-1)X补补 = 2-2Z补补+(Yi+1+Yi-2Yi-1)X补补第二部分：第第二部分：第3 3章章 数值运算及运算器数值运算及运算器四、乘法运算四、乘法运算4 4、补码两位乘、补码两位乘v 补码两位乘法的规则：补码两位乘法的规则：参加运算的数用补码来表示。符号位参加乘法运算。乘数参加运算的数用补码来表示。符号位参加乘法运算。乘数的数值位个数为奇数时，用一个符号位，为偶数时乘数取的数值位个数为奇数时，用一个符号位，为偶数时乘数取双符号位。被乘数和部分积取双符号位。被乘数和部分积取3 3个符号位。个符号位。乘数的最低位增加一位附加位乘数的最低位增加一位附加位Y Yn+1n+1，初始值为，初始值为0 0。逐次比较相邻逐次比较相邻3 3位位Y Yi-1i-1Y Yi iY Yi+1i+1的值决定应执行的操作。移位按的值决定应执行的操作。移位按补码右移规则来实现补码右移规则来实现 。当乘数的数值位个数为奇数时，共需当乘数的数值位个数为奇数时，共需(n+1)/2(n+1)/2累加和移位，累加和移位，但最后一次移但最后一次移1