研究生数值分析

1、数值分析数值分析数值分析数值分析1数值分析数值分析一、一、向量范数公理向量范数公理二、几种常用线性空间的范数二、几种常用线性空间的范数三、赋范线性空间中的距离三、赋范线性空间中的距离第二节第二节 赋范线性空间赋范线性空间数值分析数值分析数值分析数值分析2数值分析数值分析 三三条条公公理理，与与其其对对应应，且且满满足足以以下下实实数数若若存存在在唯唯一一上上的的线线性性空空间间，是是数数域域设设xVxFV, 定义定义(1):0,00(2):,(3):,xxxkxk xkFxyxyx yV 正正定定性性且且齐齐次次性性三三角角不不等等式式。空空间间称称为为赋赋范范线线性性空空间间的的线线性性的的

2、范范数数。把把定定义义了了范范数数称称为为向向量量则则实实数数xx一、向量范数公理一、向量范数公理数值分析数值分析数值分析数值分析3数值分析数值分析二二. . 几种常用线性空间的范数几种常用线性空间的范数 一一般般可可表表示示为为范范数数的的形形式式地地表表示示成成以以上上三三种种范范数数可可以以统统一一, 2 , 1,)(11pxxppnipiP1211212211:(,),.1:2:():max1.nTnnniiniiii nRxxxxRxxxxxx 常常用用的的范范数数有有如如下下三三种种向向量量的的范范数数向向量量的的范范数数向向量量的的范范数数数值分析数值分析数值分析数值分析4数值分

3、析数值分析 i nxx i i1 1证证明明= =m ma ax x为为向向例例：量量范范数数. .(3)(),i ni ni ni nxyxyxyxyxyx yV iiiiiiii1111iiii1111=maxmax=maxmaxmaxmaxmaxmax(1)0,00,1,2,.,0ixxxinx 显显然然证证：(2),i ni nkxkxkxk xkF iiii1111=max=max=max=maxi nxx i i1 1所所以以= =m ma ax x为为向向量量范范数数. .数值分析数值分析数值分析数值分析5数值分析数值分析.:等等价价的的有有限限维维空空间间中中的的范范数数是是对

4、对有有限限维维空空间间有有结结论论 xnxxxnxxxxxnRxn12221:有有关关系系式式可可以以证证明明12212122112,.:,0:(),nnPPnPPPRxxRCC CCxRCxxCx 在在上上 所所有有的的范范数数是是等等价价的的即即 如如果果和和是是上上的的范范数数则则存存在在正正常常数数和和对对有有定定理理数值分析数值分析数值分析数值分析6数值分析数值分析例：例：证明证明 注意：注意： 1.等价性不等于互相代替，即在同一问题中不能混等价性不等于互相代替，即在同一问题中不能混 用不同的范数。用不同的范数。2.在无限维空间中，向量范数的等价性不成立。在无限维空间中，向量范数的等

5、价性不成立。 22221211222212112max|max|max|max| |niii ni nniii ni nxxxnxnxnxxxxxxxxxnx 证证：2|xxnx 数值分析数值分析数值分析数值分析7数值分析数值分析,()()(:)()()0,()00;2(),()();(),()()();(),()()().(),.)n nijn nn nn nn nn nn nRAaARF A FRRF AF AAkRF kAk F AA BRF ABF AF BA BRF ABF A F BF AR 若若矩矩阵阵的的一一个个实实值值函函数数满满足足条条件件 正正定定性性及及当当且且仅仅当当

6、 齐齐次次性性有有定定义义 矩矩阵阵的的范范 三三角角不不等等式式有有 相相容容性性有有则则称称是是上上的的一一个个矩矩阵阵的的范范数数数数.A也也记记为为xAAx 即即向向量量的的范范数数具具有有相相容容性性这这就就要要求求矩矩阵阵的的范范数数和和使使用用混混合合在在一一起起矩矩阵阵范范数数常常与与向向量量范范数数大大多多数数情情况况下下,数值分析数值分析数值分析数值分析8数值分析数值分析21211:(1)()()nnijFijForbeniuAas 即即矩矩阵阵常常用用的的矩矩阵阵范范数数有有两两种种数数范范数数的的欧欧氏氏范范11| max|niji nj nRAa 按按的的范范数数来来

7、定定义义不不是是矩矩阵阵的的范范数数，不成立。，不成立。显然显然而而如如|.|1| , 2|2222,1111BAABBAABABBA 数值分析数值分析数值分析数值分析9数值分析数值分析（2 2）算子范数（从属范数）算子范数（从属范数）AxxAAxAxxAAxRAxRxnnn 即即有有由由对对, 0,定义（矩阵的算子范数）定义（矩阵的算子范数）为为向向量量范范数数。其其中中xRxAxxAxAnxx,maxmax10 数值分析数值分析数值分析数值分析10数值分析数值分析 niijnjnnaAARA111max)(1:,的的列列范范数数称称为为范范数数矩矩阵阵的的也也有有三三种种范范数数相相对对应

8、应常常用用的的矩矩阵阵范范数数与与向向量量 njijniaAA11max)(的行范数的行范数称为称为范数范数矩阵的矩阵的.)()()()(2maxmax2的的最最大大特特征征值值表表示示其其中中的的谱谱范范数数称称为为范范数数矩矩阵阵的的AAAAAAAATTT 数值分析数值分析数值分析数值分析11数值分析数值分析n nAR 特特征征值值及及对对应应特特征征向向量量 对对: :0,),( xxAxx 满满足足特特征征对对0, 0)(0, xxAIxxAx 0)det( AIA 的的特特征征值值是是det()( )det()AIAAfIA 是是 的的，记记为为特特征征多多项项式式()IAA 称称是

9、是 的的特特征征矩矩阵阵；( )0,det()0.AfIAA即即是是 的的特特征征方方程程数值分析数值分析数值分析数值分析12数值分析数值分析 12()( )( ),.,( )max|niiAnAAAA 的的全全体体特特征征值值个个 称称谱谱半半径径为为 的的谱谱数值分析数值分析数值分析数值分析13数值分析数值分析, 3, 53,21 的的特特征征值值A401232 ,104AA 求求 的的全全部部特特征征值值和和特特例例：征征向向量量。2( )det()401232(5)(3)0104AfIA 令令第第一一步步：解解：数值分析数值分析数值分析数值分析14数值分析数值分析的特征向量，的特征向量

10、，求求第二步：由第二步：由AxAIi0)( ，有有，解解齐齐次次方方程程组组对对0)5(51 xAI 00021010110122210113232xxxx T)1 , 2 , 1(1 基基础础解解系系为为0,)1 , 2 , 1(51)1(1 kkkxAT 为为的全部特征向量的全部特征向量属于属于矩阵矩阵数值分析数值分析数值分析数值分析15数值分析数值分析，有有，解解齐齐次次方方程程组组对对0)3(33,2 xAI 00000010110120210131xx TT)1 , 0 , 1(,)0 , 1 , 0(21 基础解系为基础解系为. 0,)1 , 0 , 1()0 , 1 , 0(32

11、1212211)2(3,2不不全全为为的的全全部部特特征征向向量量为为属属于于矩矩阵阵kkkkkkxATT 数值分析数值分析数值分析数值分析16数值分析数值分析特征值和特征向量的性质特征值和特征向量的性质: :.)2(量量是是线线性性无无关关的的的的不不同同特特征征值值的的特特征征向向A 12(1),ijnnAa 设设阶阶方方阵阵的的特特征征值值为为则则有有121122;nnnaaa 12.nA1112122122()()aaIAaa 验验证证：211221122122121212()()aaa aa a 11221221()()aaa a ;AA矩矩阵阵 非非奇奇异异无无零零特特征征值值数值

12、分析数值分析数值分析数值分析17数值分析数值分析()()TTAAAA 与与 有有相相同同的的谱谱则则有特征对有特征对若若),()5(xA (, ),;kAkx kR 有有特特征征对对非非零零(, ),mmAx mN 有有特特征征对对11(, ),det( )0;AxA 有有特特征征对对(3),.n实实对对称称矩矩阵阵的的特特征征值值都都是是实实数数 且且一一定定有有个个线线性性无无关关的的特特征征向向量量(4).实实对对称称矩矩阵阵属属于于不不同同特特征征值值的的特特征征向向量量一一定定是是互互相相正正交交的的22(, ).Ax 有有特特征征对对( , ),:,0AxAxx x 的的特特征征对

13、对为为即即证证2()()()(),0A AxAxAxxx x 数值分析数值分析数值分析数值分析18数值分析数值分析 11222, , :( ) , .1:( )2:(3( ):x( ).mababaxa bC a bf xC a bff x dxff xdxff x 也也有有以以下下的的三三种种常常用用范范数数范范数数范范数数范范数数数值分析数值分析数值分析数值分析19数值分析数值分析 1 , ( )( )baC a bff x dxf x 证证明明 在在中中，= =为为例例：的的范范数数. .111(3)( )( )( )( )( )( ),( ), ( ) , bbaabbaafgf xg

14、 x dxf xg xdxf x dxg x dxfgf xg xC a b= =11(1)0,0( )0fff x证证显显：然然11(2)( )( ),bbaakfkf x dxkf x dxkfkF = =1( )( ) , baff x dxf xC a b 所所以以= =为为在在中中的的范范数数. .数值分析数值分析数值分析数值分析20数值分析数值分析赋范线性空间中的距离赋范线性空间中的距离).,(),(),(),(),(0),(, 0),(:, 三三角角不不等等式式对对称称性性且且非非负负性性距距离离的的三三条条公公理理容容易易验验证证其其满满足足():,V 与与 之之间间的的距距离离为为定定义义数值分析数值分析数值分析数值分析21数值分析数值分析( ), ( ),0,1xf xx g xex 例例： , 2 , 1,|),(pexgfpx dxexexgfxx|),(101 在距离空间定义向量序列的收敛和极限：在距离空间定义向量序列的收敛和极限：11,lim( ,)lim0,im.:lnnnnnnnnnnuVuVu uuuuuuu 设设向向量量序序列列若若存存在在使使得得称称向向量量序序列列收收敛敛于于义义即即定定数值分析数值分析数值分析数值分析22数值分析数值分析在在R Rn n中，点列的收敛等价于每个分量的收敛。即中，点列的收敛等价于每个分量