相似矩阵与二次型习题课

1、 工工 程程 大大 学学 线线 性性 代代 数数 电电 子子 教教 案案 第五章第五章 相似矩阵和二次型习题课相似矩阵和二次型习题课重点与难点重点与难点内容提要内容提要典型例题典型例题 工工 程程 大大 学学 线线 性性 代代 数数 电电 子子 教教 案案 一、重点与难点一、重点与难点 2. 方阵的特征值与特征向量的证明问题方阵的特征值与特征向量的证明问题 1. 线性无关向量组的正交规范化方法线性无关向量组的正交规范化方法 3. 判断方阵可否对角化判断方阵可否对角化 4. 求一正交阵，使实对称阵正交相似于对角阵求一正交阵，使实对称阵正交相似于对角阵 工工 程程 大大 学学 线线 性性 代代 数

2、数 电电 子子 教教 案案 二、基础知识二、基础知识（一）方阵的特征值与特征向量（一）方阵的特征值与特征向量 2. 求法求法 （1）特征多项式）特征多项式1. 定义定义0, xxAx )(212222111211 AnnnnnnfaaaaaaaaaAE 工工 程程 大大 学学 线线 性性 代代 数数 电电 子子 教教 案案 3. 性质性质特征方程特征方程 其解为其解为A的特征值。的特征值。, 0)( AEfA （2）特征向量：）特征向量： 的非零解。的非零解。 0 xAEi （1）设）设 是是 的特征值，则的特征值，则 是是 的特征值的特征值 ; k kAA是是 的特征值的特征值.)( f)(

3、Af（2） 是是 的特征值，则的特征值，则n ,21nnA Aaaannnn 21221121; 工工 程程 大大 学学 线线 性性 代代 数数 电电 子子 教教 案案 （3）若）若A是可逆阵，则是可逆阵，则A的特征值都不为零，其的特征值都不为零，其（4） 与与 的特征多项式相同，特征值相同。的特征多项式相同，特征值相同。TAA（5）不同特征值对应的特征向量必线性无关。）不同特征值对应的特征向量必线性无关。1 A的特征值为的特征值为 1*A的特征值为的特征值为 A（二）相似矩阵、相似变换（二）相似矩阵、相似变换1. 定义定义BAPP 1 2. 性质：性质： 若若A与与B相似，则有相似，则有 工

4、工 程程 大大 学学 线线 性性 代代 数数 电电 子子 教教 案案 （1）A与与B有相同的特征多项式，特征值。有相同的特征多项式，特征值。（2）)()(;BRARBAtrBtrA （三）方阵的对角化（三）方阵的对角化（3）若）若A可逆，则可逆，则B可逆，且可逆，且 与与 也相似。也相似。1 A1 B（4） 与与 相似相似 ，相似变换阵仍为，相似变换阵仍为P。kAkB（5） 与与 相似相似 。)(Af)(Bf1. 定义定义 nAPP 11 工工 程程 大大 学学 线线 性性 代代 数数 电电 子子 教教 案案 将方阵将方阵A对角化的步骤：对角化的步骤：推论：推论： 若若n阶方阵阶方阵 A有有n

5、个互不相同的特征值，则个互不相同的特征值，则A一定可以对角化。一定可以对角化。 2. n阶方阵阶方阵 A可对角化可对角化 A有有n个线性无关的特征向量。个线性无关的特征向量。1. 求求A的特征值的特征值n ,212. 求求 对应的特征向量。对应的特征向量。), 2 , 1(nii （四）实对称阵（四）实对称阵AAT 工工 程程 大大 学学 线线 性性 代代 数数 电电 子子 教教 案案 （1）实对称阵的特征值都是实数，特征向量都是实向量。）实对称阵的特征值都是实数，特征向量都是实向量。将实对称阵将实对称阵A正交相似对角阵的计算步骤：正交相似对角阵的计算步骤：（2）实对称阵的不同特征值对应的特征

6、向量必正交。）实对称阵的不同特征值对应的特征向量必正交。（3）实对称阵）实对称阵A可对角化，且都可正交相似于对角阵。可对角化，且都可正交相似于对角阵。1. 求求A的特征值的特征值2. 求求 对应的特征向量对应的特征向量), 2 , 1(nii n ,213. 将将 正交规范化得到正交规范化得到n ,21nppp,21 nppp,214. 构造矩阵构造矩阵P= ,P正交阵，使正交阵，使 APPT 工工 程程 大大 学学 线线 性性 代代 数数 电电 子子 教教 案案 解：解：三、典型例题三、典型例题即即11PAP 1. 设设 有一个特征值有一个特征值对应的特征向量为对应的特征向量为 2211P求

7、求 a, b, c. acbcaA14001, 21 221222114001acbca 工工 程程 大大 学学 线线 性性 代代 数数 电电 子子 教教 案案 4222442222acbca 122cba2. 已知已知 可对角化，求可对角化，求a 00000123aA解：解：由于由于A可对角化，则可对角化，则A有有3 个线性无关的特征向个线性无关的特征向量。量。A的特征值的特征值0, 3321 工工 程程 大大 学学 线线 性性 代代 数数 电电 子子 教教 案案 1)( AR与与 对应的特征向量中存在对应的特征向量中存在2个线性无关的个线性无关的 。032 即即 的基础解系中含有两个解的基

8、础解系中含有两个解 。0)0( xAE0 a3. 设设A与与B相似，相似， aA33242111 bB00020002(1)求求a , b(2)求可逆阵求可逆阵P，使，使BAPP 1 工工 程程 大大 学学 线线 性性 代代 数数 电电 子子 教教 案案 000000111333222111A-E2 解：解： (1)由由A与与B相似得相似得A的特征值为的特征值为2，2，6. 所以所以 bAba4441 65ba(2) 时，时，221 , 0)2( xAE 工工 程程 大大 学学 线线 性性 代代 数数 电电 子子 教教 案案 101,01121PP基础解系为：基础解系为： 时，时，63 (6)

9、0EA x 00032103101460460111115133111133222115A-E6 工工 程程 大大 学学 线线 性性 代代 数数 电电 子子 教教 案案 3213P基础解系为：基础解系为：故故 310201111,321pppP使使 6000200021APP 工工 程程 大大 学学 线线 性性 代代 数数 电电 子子 教教 案案 4. 已知已知 是矩阵是矩阵 的一个的一个 111P 2135212baA特征向量。特征向量。（1）求）求a, b及特征向量及特征向量P所对应的特征值。所对应的特征值。（2）问）问A能否对角化？说明理由。能否对角化？说明理由。解：解：即即PAP )1

10、( 121ba 103 ba 工工 程程 大大 学学 线线 性性 代代 数数 电电 子子 教教 案案 3)1(201335212)2( AE1321 故故 是是A的特征值。的特征值。 000110101101325213)(, 0)(AExAE与与 对应的对应的A的线性无关的特征向量只有一个，的线性无关的特征向量只有一个，故故A不能对角化。不能对角化。1 工工 程程 大大 学学 线线 性性 代代 数数 电电 子子 教教 案案 解：解：7. 设三阶矩阵设三阶矩阵 的特征值为的特征值为A对应的特征向量分别为：对应的特征向量分别为：; 1, 2, 2321 011,111,110321PPP10,求

11、AA由于由于A可对角化，故存在可逆矩阵可对角化，故存在可逆矩阵 使使,321pppP 工工 程程 大大 学学 线线 性性 代代 数数 电电 子子 教教 案案 1000200021APP1100020002 PPA 011111110P又 1101110111P 2443543321000200021PPA所以 工工 程程 大大 学学 线线 性性 代代 数数 电电 子子 教教 案案 1101011011110100020002 PPPPPPPPPPA8. 求一个正交相似变换矩阵求一个正交相似变换矩阵P，将，将 020212022A对角化。对角化。 工工 程程 大大 学学 线线 性性 代代 数数 电电 子子 教教 案案 将其对应的特征向量单位化、正交化后，得将其对应的特征向量单位化、正交化后，得 0AE 所以，所以， 解：解：; 4, 1, 2321 12231,21231,22131321PPP,321pppP 工工 程程 大大 学学 线线 性性 代代 数数 电电 子子 教教 案案 填空题填空题例例1： 的特征值为的