相似矩阵与矩阵的对角化

1、数数=线线性性代代11 ,.,.n nn nn nABPP APBABABABAP APBPAAA对于若存在可逆矩阵使得则称 与 相似 或 相似于记为并称由的变换为相似变换为此相似变换的矩阵如果 与一个对角矩阵相似 则称 可简称为定义8(相似矩阵)相相似似对对角角化化可可对对角角化化5.35.3相似矩阵与矩阵的对角化相似矩阵与矩阵的对角化1(1):;(2),?APDP APDPD方阵可对角化的条件如果方阵 会对角化 即存本节的两个注意在可逆矩阵 及对角矩阵使得那么 如何求矩阵 和问呢题数数=线线性性代代11111-11-1-11:(1):()(2):,(, ()(),)(3):, C, C,(

2、P,Q,P,Q P,()().AA IAIAABBAPP APBPB PABAAB BAAPB Q BQCAPQCPQA PQC相似矩阵的简单性质反身性对称性 若则若存在可逆矩阵使得则有故传递性 若则若存在可逆矩阵使得则即115 (),(1) ;(2) ( )( ) ,);ABABr Ar BABAB定理 方阵相似的几个必要条件 设方阵与 相似 则特别当 与 都为可逆矩阵时 有与相似定理定理 5 5数数=线线性性代代 由于对角句阵的特征值为对角线上的元素由于对角句阵的特征值为对角线上的元素,所以由定理所以由定理5得得推论推论 若若n阶矩阵阶矩阵A与对角阵与对角阵12nA12,.nAn 相似 则

3、是 的 特征值11105,.0101AI定理 的逆命题不真 例如与2111, ( )( )2,11(1),01,:,.AIr Ar IIAIIAIIPP APIAPIPIAIAI有但 不与 相似 因为与单位矩阵 相似的矩阵只能是单位矩阵即若存在可逆矩阵 使得则这与发生矛盾 故 不与 相似数数=线线性性代代12,(). ( ),nPx xxAPPD则由 可逆知向量组线性无关 当然其中不含零向量 由式 有12112().:,nnnAAnAPP APDPPxxx定理6 方阵可对角化的充要条件阶方阵 可对角化有 个线性无关的特征向量证明设 可对角化 即存在可逆矩阵 使得记为 (*)设 按列分块为定理定

4、理 6 6数数=线线性性代代 .,.,. 0), 2 , 1( 211221121212121依次为对应的特征向量且的特征值为因为nniiinnnnnnxxxAxnixAxxxxAxAxAxxxxxxxA.,就是充分性的证明将以上的证明倒推上去数数=线线性性代代12112(1).(2),:,1,2,nnjAAPDPP APDAPAnPjDjn 说明了方阵可对角化的条件在 会对角化时 如何求 的相似对角化的变换矩阵及对角矩阵如果存在可逆矩阵使得则就是 的全部特征值 而 的列向量组就是的 个线性无关的特征向量 且 的第 个列向量是属于对角矩阵 中 的特征向量定理6 定理6 推论推论1 如果矩阵如果

5、矩阵 A 的特征值都是单特征根，则的特征值都是单特征根，则 A 与与对角矩阵相似对角矩阵相似 .推论推论1数数=线线性性代代12().110550?,002,.11011550(2)55002(2)(6 )(2)(6)0AAAPDP APDAIA 推论 方阵可对角化的充要条件方阵 可对角化属于 的每个重特征值的线性无关的特征向量个数正好等于该特征值的重数方阵是否相似于对角矩阵 若是 求可逆矩阵 及对角矩阵使得由 的特征方程例1:例1:解:解:推论推论 2 2数数=线线性性代代1231120,2,6.,.0,(0)0,11010001100002,(2)0,1101101002530020010

6、00000000AAAIA xIAAAIA xIA 得 的全部特征值为因 的特征值互不相同 故 必可对角化对于特征值解方程组由基础解系对于特征值解方程组由2331230(0,0,1)6,(6)0,(1,5,0) ,3.TTIA xA 基础解系对于特征值解方程组同样可得则就是 的 个线性无关的特征向量数数=线线性性代代112311010105 ,20106()().001:,1?100,:0112nPP APAPAa bAabPP APAAIAa 令矩阵则有注意对角矩阵主对角元素的特征值 的排列次序与 的列向量的特征向量 的排列次序一定要一致常数满足什么条件时可对角化 在可对角化时 求可逆矩阵使

7、得成为对角矩阵 并求由 的特征方例程解解2123(1) (1)0101,1bA 得 得全部特征值为数数=线线性性代代12:212()023()2()1101101110000101000000111000,AAIA xr IAr IAIAabababababAababA 由推论 知可对角化的属于 重特征值的线性无关的特征向量有 个方程组的基础解系含有 个向量而的秩为故 可对角化当时 下面来求化 为对角矩0011100PAaa阵的相似变换的矩阵此时数数=线线性性代代121231,()0,1011010100001 ,0101000011,()0101101101202201101000000IA

8、 xIAaaIA xIAIAaaaa 对于特征值解方程组由对于特征值解方程组3(1, , 1)Ta1123011110:10111PaP AP令,则有数数=线线性性代代AIAAAAAknIPIPAIDknDDPPDDDPPPDPPPDPDPPDPPDPAPDPAAkknnnnnnnn212111111111,12,2) 1(11111)()()()(:时时故当因由上式可得下面求数数=线线性性代代例例3 设矩阵设矩阵0aaaaaaAaaaa.AA求的特征值与特征向量 ，并判断 能否与对角矩阵相似aaaaaaIAaaa解数数=线线性性代代nananaaaaaaa111aaanaaaa1110000

9、na数数=线线性性代代1,nna12,01.nan 重10IA X即12101010nnaaaxanaaxaanax 11 , 1 , 1T11110.kk对应的特征向量为 ：数数=线线性性代代2111000000aaaaaaIAaaa120nxxx21 ,1 , 0 , 0 , 0,T30 , 1 ,1 , 0 , 0,T0 , 0 , 0 , 1 ,1.nT .An有 个线性无关的特征向量 ，能与对角矩阵相似数数=线线性性代代例例4 设设 A 是是 3 阶矩阵且阶矩阵且 I + A , 3IA ,I3A 均不均不可逆可逆 .证明证明 ： 1,2.AA可逆与对角矩阵相似 31,0 ,100

10、,IAIAIAIA 不可逆证12331.303.113300 ,331.3,.AIAAIAIAIAAAA是特征值由是的特征值是的特征值的特征值均不为零故可逆数数=线线性性代代 2,13.13AA 的特征值都是单特征值数数=线线性性代代212312425649?5374251256491149537137125125(1)149(1)124(1)01371120,10,1250149137AIAIAA判断是否相似于对角矩阵各列加到第 列对于由于矩阵例5:例5:解:解:121251250240120120002,0,.A的秩为 故属于的线性无关的特征向量只有一个故 不能对角化数数=线线性性代代12

11、200,02000(1),(2),.(2)(3)3(1)Baba bPP APBaaa设矩阵A与B相似,且1-11A=24-2-3-3 求的值 求可逆矩阵使解 (1) A的特征多项式为-11-1| I-A|= -2-4233例6 例6 12322,.2,2(3)3(1)0,2,bAaaa由A与B相似可知,A与B有相同的特征值由于 是 的二重特征值 因此是方程的根 把代入上式 得 =5.数数=线线性性代代2231212331123,| (2)(812)(2) (6),6.(2)2,(2)0,(1, 1,0) ,(1,0,1)6,(6)0,(1, 2,3)111()102 ,.013TTTIAbI

12、A xIA xPP APB 因此 有于是当时 解方程组得其基础解系为当时 解方程组得其基础解系为令 则有数数=线线性性代代 由前面的例题可知由前面的例题可知,并不是任何一个方阵都可对角化的并不是任何一个方阵都可对角化的,但但是当方阵是当方阵A为实对称矩阵时为实对称矩阵时,A必可对角化必可对角化,且实对称矩阵对于且实对称矩阵对于我们讨论下面的二次型非常重要我们讨论下面的二次型非常重要.11()()( ,)( ,).:, , , , , |ijijTTnnTAaAaxxxxxxABAB xyxyABABkAkA kxkxAAAx yx yx yxx x称为的共轭矩阵称为得共轭向量共轭运算满足方阵

13、为实矩阵对于复向量它们的内积为221|nxx数数=线线性性代代定理定理 7 7实对称矩阵的特征值全为实数实对称矩阵的特征值全为实数.,(1)(1)(2)(1)(2),(),)TTTTTTTTTTTTTxAxxAxxxx Axx xxx Axx xx Axx Axx xx xx xx xx T 设A是任一实对称矩阵, 为其任意一个特征值,对应于 的特征向量为 即 式两边取共轭 两边左乘 得 (3)两边左乘 得 再两边转置得 () (4)由(3),(4)得即(证证200,0,xx而得因此得也就是 为实数.数数=线线性性代代121212,()0,. ,. ,.iiAIA xAx xxx 若 为实对称

14、矩阵 的特征值 则为实系数方程组 因此 其解向量都可以取为实向量 因此 的特征向量可取为实向量 以下都这样假定定理8 设是实对称矩阵的两个不同特征值分别为对应的特征向量则 与 正交.即实数对称阵对应于不同特征值的特征向量相互正交定理定理 8 811 12221 1121 1212122121212121212,()TTTTTTTTAxxAxxxx Axx xx Axxxx xx xx xxx2由题设条件可知 由第一式转置得 =上式两边右乘 得 =)=从而有 (=0 又 ,得 =0,即 与 正交. 证 证 数数=线线性性代代定理定理 9 9 由于相互正交的向量必线性无关，所以我们得到。由于相互正

15、交的向量必线性无关，所以我们得到。推论推论对应实对称矩阵不同特征值的特征向量必定线性无关对应实对称矩阵不同特征值的特征向量必定线性无关若若是实对称矩阵是实对称矩阵A的的r重特征根，则对应特重特征根，则对应特征值征值恰有恰有r个线性无关的特征向量。个线性无关的特征向量。证明证明（略）（略）由定理由定理6，定理，定理7，定理，定理8和定理和定理9可以得到可以得到定理定理 10 10实对称矩阵实对称矩阵A一定可以对角化。即存在正一定可以对角化。即存在正交矩阵交矩阵P,使使P-1AP=，其中其中是以是以 A的的n个特征值为对角元素的个特征值为对角元素的对角矩阵。对角矩阵。121, .TnnAnPP A

16、PP AP对于任一 阶实对称矩阵必存在 阶正交矩阵使得数数=线线性性代代1212(1) ,.(2) ,?,()0,niinijijijAPAnAIA xAne eee eAeeeeA 为 的全部特征值的列向量组为 的 个标准正交的特征向量 那么如何计算呢这只要对 的每个特征值求出方程组的标准正交的基础解系 则由定理8可得到 的 个特征向量而且它们还是两两正交的 事实上 如果分别属于 的两个不同的特征向量 则由定理8若 与 属于 的同一特征值 则由前面的取法12,.ne eeAn它们也是正交的 因此就是 的 个标准正交的特征向量1,?,4.TnPP APP AP对于 阶实对称矩阵 如何求正交矩阵

17、使得成对角阵 一般需经求特征值 求特征向量 正交化 单位化 个步骤数数=线线性性代代：的步骤与对角矩阵求正交矩阵P ;,121nAIf ：的的根根求求 ;,0221iiriiiXAI ：的的基基础础解解系系求求 ;,32121iiiriiirii ：正交化后再单位化得正交化后再单位化得将将 为正交矩阵且则令PPkkrkr,411111.,211ndiagAPPAPPT1,?TnPP APP AP对于 阶实对称矩阵如何求正交矩阵 使得成对角阵数数=线线性性代代1212112212,.211223(3)(1)021 3,1.221113,3,22001221111,22001APP APIAIAI

18、AIA 对于求一个正交矩阵使得成为对角矩阵对于由对于由例7:例7:解:解:121212121121122,:,11223,1TeePeePP APP AP与 已经正交 再单位化令则 为正交矩阵 且使得数数=线线性性代代1012510,(1),;231(2).(1)5, , 1,1,01255( 1)003 2,-1 102 15( 1)432231(2)AaDba baPP APDAbbabADbAa 已知与相似求的值求正交矩阵 使得的特征值为由特征值的性质 得对例8:例8:解:解:1123232351211015,5152021122200021121121,112000224000111 ,1,01IAIAIA 于由对于由已经正交数数=线线性性代代12312312323,1,2,3,111632111,623210631:1,(0,2, 1) ,iiiTTeiAeeePeeeP APP APD 再单位化 即令则得 的标准正交的特征向量于是令则有注属于的相互正交的特征向量不唯一 例如 还可以取为 23221223( 5,1,2)2:1( 1,1,0) ,( 2,0,1),1.TTT 注如果取的特征向量为则不正交 这时 可以通过施密特正交化方法求得属于的相互正交的特征向量数数=线线性性代代121212:(1),(2),()0(,),().(3),niiinjjnAAAIA