文2-6对数与对数函数

1、对数与对数函数一、对数式一、对数式1.1.对数的定义对数的定义 如果如果ax=N(a0且且a1)，那么数，那么数x叫做叫做以以a为底为底N的对数的对数,记记作作_,其中其中_叫做对数的底叫做对数的底数数,_叫做真数叫做真数. x x=log=loga aN Na aN N对数与指数的互化对数与指数的互化ax=Nx x=log=loga aN N推论：推论： = = _;_;logloga aa aN N =_(=_(a a00且且a a1). 1). NaalogN NN N对数形式对数形式特点特点记法记法一般对数一般对数底数为底数为a a( (a a00且且a a1)1)_常用对数常用对数底

2、数为底数为_自然对数自然对数底数为底数为_logloga aN N1010lg lg N Ne eln ln N N2.2.几种常见对数几种常见对数3.3.对数的性质对数的性质 loga1=0(a0且且a1). logaa=1(a0且且a1) 零和负数没有对数。零和负数没有对数。4.4.对数的运算法则对数的运算法则 如果如果a a00且且a a1,1,M M0,0,N N0,0,那么那么 logloga a( (MNMN)=_;)=_; =_; =_;logloga aM M+log+loga aN Nlogloga aM M-log-loga aN NNMalog logloga aM Mn

3、 n= = _(_(n nR R);); n nlogloga aM M .loglogMmnManam换底公式换底公式: : ( (a a, ,b b均大于零且不等于均大于零且不等于1)1)； 推广推广logloga ab bloglogb bc cloglogc cd d=_.=_.5.5.对数的重要公式对数的重要公式bNNaablogloglog,log1logabbalogloga ad d二、对数函数二、对数函数1.1.对数函数的定义对数函数的定义 函数函数 y=logax(a0, 且且a 1)叫做叫做对对数函数数函数, 其中其中 x 是自变量是自变量, 函函数的定义是数的定义是 (

4、0,+)(0,+)说明说明：对数函数有以下特点：对数函数有以下特点：（1）自变量在真数上，且系数为）自变量在真数上，且系数为1；（2）底数是常数，且大于）底数是常数，且大于0不等于不等于1；（3）对数式前面的系数为）对数式前面的系数为1。 称以称以10为底的对数函数为底的对数函数y=lgx为为常用对数函数常用对数函数 称以无理数称以无理数e为底的对数为底的对数函数函数y=lnx为为自然对数函自然对数函数数a a1100a a111时时,_,_当当00 x x111时时,_,_当当00 x x100y y00y y000增函数增函数减函数减函数注意:(1)对数函数的图象都经过点(1,0)且图象都

5、在第一、四象限；(2)对数函数都以y轴为渐近线(当0a1时，图象向下无限接近y轴)；(3)同真数的对数值大小关系如图所示，对应关系为ylogax，ylogbx，ylogcx，ylogdx，则作直线y1，得0cd1ab，即图象在x轴上方的部分自左向右底数逐渐增大.(5)常见对数方程或对数不等式的解法：常用同底法，利用对数函数的单调性求解.考向一考向一 对数的化简与求值对数的化简与求值【例例1 1】(1)(1)化简化简: : (2)(2)化简化简: : (3)(3)已知已知logloga a2=2=m m,log,loga a3=3=n n, ,求求a a2 2m m+ +n n的值的值. . ;

6、40lg50lg8lg5lg2lg;24log35 . 0解解 (1)(1)原式原式= =(2)(2)(3)(3)方法一方法一 logloga a2=2=m m,a am m=2.=2.logloga a3=3=n n,a an n=3.=3.故故a a2 2m m+ +n n=(=(a am m) )2 2a an n=4=43=12.3=12.方法二方法二 logloga a2=2=m m,log,loga a3=3=n n, ,. 145lg45lg4050lg852lg. 241828282822241log4log4log4log34log322215 . 05 . 0.1212lo

7、g3log2log22aaaaaanm知能迁移知能迁移1 1 (1)(1)化简化简(log(log4 43+log3+log8 83)(log3)(log3 32+log2+log9 92)=2)= _. _. 解析解析 .45)2log23()3log65()22(log)33(log)2log212)(log3log313log21(32213312123322原式45(2)(2)已知已知3 3a a=5=5b b= =A A, ,且且 则则A A的值是（的值是（ ） A.15 B. C. D.225 A.15 B. C. D.225解析解析 3 3a a=5=5b b= =A A,a a

8、=log=log3 3A A, ,b b=log=log5 5A A, , =log =logA A3+log3+logA A5=log5=logA A15=2,15=2, A A2 2=15,=15,A A= = 或或A A= = （舍）（舍）. . , 211ba1515ba111515BCA比较下列各组数的大小比较下列各组数的大小. . (1) (1) (2)log (2)log1.11.10.70.7与与loglog1.21.20.7;0.7; (3) (3)已知已知 比较比较2 2b b,2,2a a,2,2c c的大的大 小关系小关系. .;56log32log53与,loglog

9、log212121cab考向三比较大小，解不等式考向三比较大小，解不等式解解 （1 1） loglog1=0, log5 51=0,1=0, 32log356log5.56log32log53(2)(2)方法一方法一 00.71,1.1log00.71,1.1log0.70.71.1log1.1log0.70.71.2,1.2,即由换底公式可得即由换底公式可得loglog1.11.10.7log0.7log1.21.20.7.0.7.方法二方法二 作出作出y y=log=log1.11.1x x与与y y=log=log1.21.2x x的图象的图象. .如图所示两图象与如图所示两图象与x x=0.7=0.7相相交可知交可知loglog1.11.10.7log0.7 a a c c, ,而而y y=2=2x x是增函数，是增函数，2 2b b22a a22c c. . ,2 . 1log11 . 1log17 . 07 . 0 xy21log,logloglog212121cab且比较对数式的大小，解决此类问题的方法很多比较对数式的大小，解决此类问题的方法很多当当底数相同底数相同时可直接利用对数函数的单