1231椭圆的标准方程ppt课件

1、第十二章圆锥曲线12.2.4 圆的方程圆的方程12.3.1 椭圆的规范方程椭圆的规范方程生活中的椭圆生活中的椭圆例例1.知知 ,图中一系列同心圆半径分别是图中一系列同心圆半径分别是 1,2,3,. 在两组同心圆的交点中，描出在两组同心圆的交点中，描出“与与 两两点间隔和为点间隔和为14 的点并用光滑曲线依次衔接所的点并用光滑曲线依次衔接所描的交点描的交点.| 10AB ,A B-20-15-10-55101520AB思索思索 假设间隔和改为假设间隔和改为1010呢呢? 5? 5呢呢? ?一、椭圆的定义一、椭圆的定义平面上到两个定点平面上到两个定点 的间隔和等于常数的间隔和等于常数的点的轨迹叫做

2、椭圆的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点这两个定点 叫做椭圆的焦点，两焦点间的距叫做椭圆的焦点，两焦点间的距12,F F(常数大于常数大于 )12|FF1F2FM离叫做焦距离叫做焦距.12,F F1F2FM二、椭圆的规范方程二、椭圆的规范方程xyO1F2FM设椭圆焦点之间的间隔为设椭圆焦点之间的间隔为2c椭圆上恣意一点到两焦点椭圆上恣意一点到两焦点的间隔和为的间隔和为2a (22 )ac以焦点以焦点 所在直线为所在直线为 轴轴,线段线段 的垂直平分线为的垂直平分线为 轴轴,建立直角坐标系建立直角坐标系,12,F Fx12F Fy12(,0),( ,0)FcF c设点设点 是椭圆上恣意一点是椭圆上恣意

3、一点, ,那么列式为那么列式为( , )M x y12|2MFMFa2222()()2xcyxcya即即那么那么二、椭圆的规范方程二、椭圆的规范方程xyO1F2FM2222222()44()()xcyaaxcyxcy化简化简 (移项平方移项平方)222()acxaxcy4222222222222aa cxc xa xa cxa ca y22222222()()acxa ya ac设椭圆焦点之间的间隔为设椭圆焦点之间的间隔为2c椭圆上恣意一点到两焦点椭圆上恣意一点到两焦点的间隔和为的间隔和为2a (22 )ac二、椭圆的规范方程二、椭圆的规范方程xyO1F2FM由于由于 ,所以取所以取 ,使得使

4、得22ac0b 222acb因此因此222222b xa ya b两边再同除以两边再同除以22a b22221(0)xyabab设椭圆焦点之间的间隔为设椭圆焦点之间的间隔为2c椭圆上恣意一点到两焦点椭圆上恣意一点到两焦点的间隔和为的间隔和为2a (22 )ac化简化简 (系数化简系数化简)证明满足方程的解为坐标的点都在椭圆上证明满足方程的解为坐标的点都在椭圆上( (略略) )二、椭圆的规范方程二、椭圆的规范方程xyO1F2FM22221(0)xyabab椭圆的焦点在椭圆的焦点在 轴上轴上,焦点坐标为焦点坐标为12(,0),( ,0)FcF c椭圆上的恣意点到焦点的间隔为椭圆上的恣意点到焦点的间

5、隔为 222cabx2a上式称为椭圆的规范方程上式称为椭圆的规范方程请用文字言语及图形描画方程请用文字言语及图形描画方程221169xy所表示的椭圆满足所表示的椭圆满足:acb例例2.写出以下椭圆的方程写出以下椭圆的方程: (1)如图如图,焦点坐标为焦点坐标为 ,且椭圆上的且椭圆上的12( 2,0),(2,0)FF点到焦点的间隔和为点到焦点的间隔和为6.(2)如图如图,焦点坐标为焦点坐标为 ,且椭圆上的且椭圆上的12(0,3),(0, 3)FF1F2FxyO21F2FxyO322195xy点到焦点的间隔和为点到焦点的间隔和为10.2212516yx3545(选讲选讲)求证求证: 方程方程 的曲

6、线上的恣意点到的曲线上的恣意点到12(0,3),(0, 3)FF2212516yx的间隔之和为的间隔之和为10.证：设证：设 为方程的曲线上的恣意一点为方程的曲线上的恣意一点.( , )P x y221|(3)PFxy2216(1)(3)25yy293625 |5|255yyy由于由于,故故13| 55PFy2221252516yxy (选讲选讲)求证求证: 方程方程 的曲线上的恣意点到的曲线上的恣意点到12(0,3),(0, 3)FF2212516yx的间隔之和为的间隔之和为10.证证(续续)：同理：同理222|(3)PFxy2933625|5| 52555yyyy那么那么1233| (5)

7、(5)1055PFPFyy证毕证毕请用文字言语描画方程请用文字言语描画方程22221(0)yxabab二、椭圆的规范方程二、椭圆的规范方程22221(0)xyabab下面两式都叫做椭圆的规范方程下面两式都叫做椭圆的规范方程:xyO1F2FacbxyO1F2Facb22221(0)yxabab22212| 2 ,PFPFa cab12(,0),( ,0)FcF c22212| 2 ,PFPFa cab12(0, ),(0,)Fc Fc课堂练习课堂练习1.以下方程的曲线是椭圆吗？以下方程的曲线是椭圆吗？2222(3)(3)8xyxy(1)(2)2222(1)(1)2xyxy2.求椭圆的焦点坐标或规

8、范方程求椭圆的焦点坐标或规范方程:2212516xy(1)(2)221169144yx5,3ab(3) ，焦点在，焦点在 轴上；轴上；x1bc(4) ，焦点在，焦点在 轴上轴上.y3.假设关于假设关于 的方程的方程 表示椭圆，表示椭圆，, x y221mxny,m n求求 所满足的条件及焦点的坐标所满足的条件及焦点的坐标.课堂练习答案课堂练习答案1.(1)椭圆；椭圆；(2)线段线段.2.(1)12( 3,0),(3,0)FF(2)12(0,5),(0, 5)FF(3)(4)221259xy22121yx3.当当 为不相等的正实数时方程表示椭圆为不相等的正实数时方程表示椭圆,m n 时，焦点坐标

9、为时，焦点坐标为110mn11(,0)mn 时，焦点坐标为时，焦点坐标为110nm11(0,)nm圆锥曲线的历史圆锥曲线的历史数学家门奈赫莫斯数学家门奈赫莫斯(公元前公元前4世纪中叶世纪中叶)发现了发现了他用垂直于圆锥的一条母线的平面去截圆锥面他用垂直于圆锥的一条母线的平面去截圆锥面得到三种不同的截线：得到三种不同的截线：圆锥曲线，处理了圆锥曲线，处理了“倍立方问题倍立方问题.椭圆椭圆抛物线抛物线双曲线的一支双曲线的一支课外阅读资料课外阅读资料1 1丹德林的球丹德林的球 课外阅读资料课外阅读资料2 2在圆锥内放两个大小不同的球在圆锥内放两个大小不同的球,使得它们分别与圆锥的侧面相使得它们分别与

10、圆锥的侧面相切且与截面分别相切与切且与截面分别相切与 点点.在截口曲线上任取一点在截口曲线上任取一点 并作并作母线的平行线母线的平行线,分别与两球交于分别与两球交于 ,由于球外一点到球的切线由于球外一点到球的切线长都相等因此有长都相等因此有:12,F FA,C B12,AFAC AFAB显然显然 是定值是定值,因此因此BC12AFAF 定值1.教材方法教材方法“两次平方法由英国数学家萨尔蒙两次平方法由英国数学家萨尔蒙(18191904)初次采用，过程略初次采用，过程略.2. “和差法由法国数学家洛必达和差法由法国数学家洛必达(16611704)初次采用初次采用:设设12|,|MFadMFad那

11、么那么2222122222|()()|()()MFxcyadMFxcyad两式相减得两式相减得 ，解得，解得44cxadcxda再代入式后化简即得，后略再代入式后化简即得，后略.椭圆规范方程的推导椭圆规范方程的推导课外阅读资料课外阅读资料3 3椭圆规范方程的推导椭圆规范方程的推导课外阅读资料课外阅读资料3 33.“平方差法由平方差法由19世纪英国数学家赖特在其世纪英国数学家赖特在其1836年出版的书中初次采用：年出版的书中初次采用：设设112212|,|,2MFdMFddda那么那么22212222()()dxcydxcy两式相减得两式相减得1212()()4ddddcx12 (22 )4ad

12、acx再代入式后化简即得，后略再代入式后化简即得，后略.即即，解得，解得1cdaxa椭圆规范方程的推导椭圆规范方程的推导课外阅读资料课外阅读资料3 34.“分子有理化法现行俄罗斯数学教材中采用：分子有理化法现行俄罗斯数学教材中采用：2222()()2xcyxcya两边平方化简即可，后略两边平方化简即可，后略.分子有理化得：分子有理化得：222242()()cxaxcyxcy即即22222()()cxxcyxcya两式相加得两式相加得22()cxcyaxa椭圆规范方程的推导椭圆规范方程的推导课外阅读资料课外阅读资料3 35.“余弦定理法由余弦定理法由18世纪英国数学家斯蒂尔在其世纪英国数学家斯蒂尔在其1745年出版年出版中初次采用：中初次采用：设设12