曲面及其方程 ppt课件

1、1/321机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束第三节第三节 曲面及其方程曲面及其方程一、曲面方程的概念一、曲面方程的概念二、旋转曲面二、旋转曲面三、柱面三、柱面四、二次曲面四、二次曲面五、小结五、小结2/322机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束水桶的表面、台灯的罩子面等水桶的表面、台灯的罩子面等曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹曲面方程的定义：曲面方程的定义：曲面的实例：曲面的实例：一、曲面方程的概念一、曲面方程的概念3/323机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束以下给出几例常见的

2、曲面以下给出几例常见的曲面. .解解RMM |0根据题意有根据题意有 Rzzyyxx 202020 2202020Rzzyyxx 所求方程为所求方程为特殊地：球心在原点时方程为特殊地：球心在原点时方程为2222Rzyx 4/324机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束根据题意有根据题意有|,|MBMA 222321 zyx ,412222 zyx化简得所求方程化简得所求方程. 07262 zyx解解5/325机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束zxyo* *【例【例 3 3】方程】方程 的图形是怎样的？的图形是怎样的？1)2()1(22 yxz根据题意

3、有根据题意有1 z)1(1)2()1(22 ccyx图形上不封顶，下封底图形上不封顶，下封底【解】【解】c6/326机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题：以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题：（2 2已知坐标间的关系式，研究曲面形状已知坐标间的关系式，研究曲面形状（讨论旋转曲面）（讨论旋转曲面）（讨论柱面、二次曲面）（讨论柱面、二次曲面）（1 1已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程7/327机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束二、旋转曲面 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线

4、绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .定义定义这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的轴曲面的轴播幻灯片播幻灯片 398/328机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束xozy0),( zyf), 0(111zyM M),(zyxM设设1)1(zz 122RMyxRMd 旋转过程中的特征：旋转过程中的特征：如图如图将将 代入代入2211,yxyzz 0),(11 zyfd),0,0(zR|1y 9/329机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束将将 代入代入2211,yxyzz 0),(11 zyf ,

5、0,22 zyxf得方程得方程 . 0,22 zxyf10/3210机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束xozy解解 cotyz ), 0(111zyM ),(zyxM圆锥面方程圆锥面方程 cot22yxz oxzy 11/3211机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束三、柱面 定义定义观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面. .CL这条定曲线这条定曲线C 叫柱叫柱面的准线不唯一面的准线不唯一），动直线），动直线 L叫柱叫柱面的母线面的母线.LC

6、12/3212机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束柱面举例柱面举例xozyxozyxy22 抛物柱面抛物柱面xy 平面平面13/3213机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束从柱面方程看柱面的特征：从柱面方程看柱面的特征：（其他类推）（其他类推）实实 例例12222 czby椭圆柱面椭圆柱面 / 轴轴x12222 byax双曲柱面双曲柱面 / 轴轴zpzx22 抛物柱面抛物柱面 / 轴轴y【结论】柱面的方程是【结论】柱面的方程是 x，y，z 的二元方程，且与的二元方程，且与其准线方程相同其准线方程相同. 14/3214机动机动 目录目录 上页上页 下页

7、下页 返回返回 结束结束二次曲面的定义：二次曲面的定义：三元二次方程所表示的曲面称之三元二次方程所表示的曲面称之相应地平面被称为一次曲面相应地平面被称为一次曲面讨论二次曲面性状的截痕法：讨论二次曲面性状的截痕法： 用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线即截痕的形状，然后相截，考察其交线即截痕的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌加以综合，从而了解曲面的全貌以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面四.二次曲面15/3215机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束22222zbyax(1) 椭圆锥面椭圆锥

8、面 oxzy-o0t以平面以平面 z=t 截此曲面截此曲面当当 t=0 时得一点时得一点(0,0,0)当当 时时,得平面上的得平面上的椭圆椭圆1)()(2222btyatx以平面以平面 z=t 截此曲面截此曲面当当 t=0 时得一点时得一点(0,0,0)当当 时时,得平面上的得平面上的椭圆椭圆16/3216机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束ozyx（2椭球面椭球面1222222 czbyax 椭球面与椭球面与三个坐标面三个坐标面的交线：的交线：,012222 yczax.012222 xczby,012222 zbyax17/3217机动机动 目录目录 上页上页 下页下

9、页 返回返回 结束结束椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化.椭球面与平面椭球面与平面 的交线为椭圆的交线为椭圆1zz 同理与平面同理与平面 和和 的交线也是椭圆的交线也是椭圆.1xx 1yy 12122222122221)()(zzzccbyzccaxcz |118/3218机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束（3单叶双曲面单叶双曲面单叶双曲面单叶双曲面1222222 czbyax用坐标面用坐标面 与曲面相与曲面相截截)0( zxoy截得中心在原点截得中心在原点 的椭圆的椭圆.)0 , 0 , 0(O 012222zbyax19/321

10、9机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束与平面与平面 的交线为椭圆的交线为椭圆.1zz 当当 变动时，这种椭变动时，这种椭圆的中心都在圆的中心都在 轴上轴上.1zz 122122221zzczbyax 用坐标面用坐标面 与曲面相截与曲面相截)0( yxoz截得中心在原点的双曲线截得中心在原点的双曲线. 012222yczax实轴与实轴与 轴相合，轴相合，虚轴与虚轴与 轴相合轴相合.xz20/3220机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 122122221yybyczax双曲线的中心都在双曲线的中心都在 轴上轴上.y与平面与平面 的交线为双曲线的交线为双

11、曲线.1yy )(1by ,)1(221by x实轴与实轴与 轴平行轴平行,z虚轴与虚轴与 轴平行轴平行.,)2(221by z实轴与实轴与 轴平行轴平行,x虚轴与虚轴与 轴平行轴平行.,)3(1by 截痕为一对相交于点截痕为一对相交于点 的直线的直线.)0 , 0(b21/3221机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束,0 byczax.0 byczax,)4(1by 截痕为一对相交于点截痕为一对相交于点 的直线的直线.)0 , 0(b ,0 byczax.0 byczax 用坐标面用坐标面 ， 与曲面相截与曲面相截)0( xyoz1xx 均可得双曲线均可得双曲线.22/

12、3222机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束单叶双曲面图形单叶双曲面图形 xyoz平面平面 的截痕是两对相交直线的截痕是两对相交直线.ax 23/3223机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束双叶双曲面双叶双曲面1222222 czbyaxxyo（4双叶双曲面双叶双曲面24/3224机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束（5椭圆抛物面椭圆抛物面zqypx 2222（ 与与 同号）同号）pq椭圆抛物面椭圆抛物面用截痕法讨论：用截痕法讨论： 用坐标面用坐标面 与曲面相截与曲面相截)0( zxoy截得一点，即坐标原点截得一点，即坐标原点)

13、0 , 0 , 0(O设设0, 0 qp原点也叫椭圆抛物面的顶点原点也叫椭圆抛物面的顶点.25/3225机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束与平面与平面 的交线为椭圆的交线为椭圆.1zz 11212122zzqzypzx当当 变动时，这种椭变动时，这种椭圆的中心都在圆的中心都在 轴上轴上.1zz)0(1 z与平面与平面 不相交不相交.1zz )0(1 z 用坐标面用坐标面 与曲面相截与曲面相截)0( yxoz 022ypzx截得抛物线截得抛物线26/3226机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束与平面与平面 的交线为抛物线的交线为抛物线.1yy 121

14、222yyqyzpx它的轴平行于它的轴平行于 轴轴z顶点顶点 qyy2, 0211 用坐标面用坐标面 ， 与曲面相截与曲面相截)0( xyoz1xx 均可得抛物线均可得抛物线.同理当同理当 时可类似讨论时可类似讨论.0, 0 qp27/3227机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束zxyoxyzo椭圆抛物面的图形如下：椭圆抛物面的图形如下：0, 0 qp0, 0 qp28/3228机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束特殊地：当特殊地：当 时，方程变为时，方程变为qp zpypx 2222旋转抛物面旋转抛物面)0( p（由（由 面上的抛物线面上的抛物线

15、绕它的轴绕它的轴旋转而成的）旋转而成的）xozpzx22 11222zzpzyx与平面与平面 的交线为圆的交线为圆.1zz )0(1 z当当 变动时，这种圆变动时，这种圆的中心都在的中心都在 轴上轴上.1zz29/3229机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束zqypx 2222（ 与与 同号）同号）pq双曲抛物面马鞍面）双曲抛物面马鞍面）用截痕法讨论：用截痕法讨论：设设0, 0 qp图形如下：图形如下：xyzo（6双曲抛物面双曲抛物面30/3230机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束xozy抛物柱面抛物柱面xozy椭圆柱面椭圆柱面还有以下三种柱面还有

16、以下三种柱面:31/3231机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束xozy双曲柱面双曲柱面32/3232机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束【补充】双曲面的渐进锥面【补充】双曲面的渐进锥面 1222222 czbyax1222222 czbyax0222222 czbyax单叶：单叶：双叶：双叶：yx zo渐进锥面：渐进锥面：在平面上，双曲线有渐近线。在平面上，双曲线有渐近线。相仿，单叶双曲面和双叶双曲相仿，单叶双曲面和双叶双曲面面有渐近锥面。有渐近锥面。用用z=hz=h去截它们，当去截它们，当|h|h|无限增无限增大时，大时，双曲面的截口椭圆与它的渐

17、近双曲面的截口椭圆与它的渐近锥面锥面 的截口椭圆任意接近，的截口椭圆任意接近，即：即：双曲面和锥面任意接近。双曲面和锥面任意接近。33/3233机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 1222222 czbyax 例如，储水塔、例如，储水塔、电视塔等建筑都电视塔等建筑都有用这种结构的。有用这种结构的。.【补充】单叶双曲面是直纹面34/3234机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 zbyax 2222【补充】双曲抛物面是直纹面35/3235机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 n次齐次方程次齐次方程F(x,y,z)= 0 的图形是以

18、原点为顶点的锥面；的图形是以原点为顶点的锥面；方程方程 F(x,y,z)= 0是是 n次齐次的：次齐次的： ).,(),( zyxFttztytxFn 若若准线准线顶点顶点n次齐次方程次齐次方程F(x,y,z)= 0.反之，以原点为顶点的锥面的方程是反之，以原点为顶点的锥面的方程是锥面是直纹面锥面是直纹面x0z yt是任意数是任意数【补充】一般锥面36/3236机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束五、小结曲面方程的概念曲面方程的概念旋转曲面的概念及求法旋转曲面的概念及求法.柱面的概念柱面的概念(母线、准线母线、准线). 0),( zyxF37/3237机动机动 目录目录

19、上页上页 下页下页 返回返回 结束结束思考题思考题 指出下列方程在平面解析几何中和空指出下列方程在平面解析几何中和空间解析几何中分别表示什么图形？间解析几何中分别表示什么图形？; 2)1( x; 4)2(22 yx. 1)3( xy38/3238机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束思考题解答思考题解答平面解析几何中平面解析几何中空间解析几何中空间解析几何中2 x422 yx1 xy平平行行于于y轴轴的的直直线线平平行行于于yoz面面的的平平面面圆圆心心在在)0 , 0(，半半径径为为2的的圆圆以以z轴轴为为中中心心轴轴的的圆圆柱柱面面斜率为斜率为1的直线的直线平平行行于于

20、z轴轴的的平平面面方程方程39/3239机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的轴曲面的轴40/3240机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的轴曲面的

21、轴41/3241机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的轴曲面的轴42/3242机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的轴曲面的轴43/3243机动机动

22、 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的轴曲面的轴44/3244机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的轴曲面的轴45/3245机动机动 目录目录 上页上页 下

23、页下页 返回返回 结束结束二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的轴曲面的轴46/3246机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的轴曲面的轴47/3247机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结

24、束二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的轴曲面的轴48/3248机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的轴曲面的轴49/3249机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束二、旋转曲面二、旋转曲

25、面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的轴曲面的轴50/3250机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的轴曲面的轴51/3251机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束定义定义三、柱面三、柱面观察柱面的形观察柱面的

26、形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面. .CL这条定曲线这条定曲线 叫柱面的准线叫柱面的准线，动直线，动直线 叫叫柱面的母线柱面的母线.CLLC52/3252机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束定义定义三、柱面三、柱面观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面. .CL这条定曲线这条定曲线 叫柱面的准线叫柱面的准线，动直线，动直线 叫叫柱面的母线柱面的母线.CLLC53/3253机动

27、机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束定义定义三、柱面三、柱面观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面. .CL这条定曲线这条定曲线 叫柱面的准线叫柱面的准线，动直线，动直线 叫叫柱面的母线柱面的母线.CLLC54/3254机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束定义定义三、柱面三、柱面观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面. .CL这条定曲线这条定

28、曲线 叫柱面的准线叫柱面的准线，动直线，动直线 叫叫柱面的母线柱面的母线.CLLC55/3255机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束定义定义三、柱面三、柱面观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面. .CL这条定曲线这条定曲线 叫柱面的准线叫柱面的准线，动直线，动直线 叫叫柱面的母线柱面的母线.CLLC56/3256机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束定义定义三、柱面三、柱面观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线

29、并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面. .CL这条定曲线这条定曲线 叫柱面的准线叫柱面的准线，动直线，动直线 叫叫柱面的母线柱面的母线.CLLC57/3257机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束定义定义三、柱面三、柱面观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面. .CL这条定曲线这条定曲线 叫柱面的准线叫柱面的准线，动直线，动直线 叫叫柱面的母线柱面的母线.CLLC58/3258机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束定义定义三、柱面三、柱面观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面. .CL这条定曲线这条定曲线 叫柱面的准线叫柱面的准线，动直线，动直线 叫叫柱面的母线柱面的母线.CLLC59/3259机动机动 目录目录 上页上页 下页下