上坡-下坡行程问题

1、问题 从甲地到乙地，先是上坡路，然后就是下坡路，一辆汽车上坡速度为每小时20千米，下坡速度为每小时35千米。车从甲地到乙地共用 9小时，从乙地返回到甲地共用 7.5小时。求去时上 坡路和下坡路分别为多少千米？先画出如右图形：图中 A表示甲地，C表示乙地。从A到B是上坡路，从B到C是下坡路;反过来，从C到B就是上坡路，从 B到A是下坡路。由于从甲地到乙地用 9小时，反过来从乙地到甲地用 7.5小时，这说明从 A至I B的距离大于从B到C的距离。本题的难点在于上下坡不仅速度不同，而且距离不同，因此自然的思路是设法 把上下坡的距离变不同为相同。在从A到B的路程中取一个点 D,使得从D到B的距离等于从

2、B到C的距离，这样A到D 的距离就是AB距离比BC距离多出来的部分。下面我们分析为什么去时比回来时间会多用了：9-7.5 =1.5 （时）从图中容易看出就是因为去时从A到D是上坡，而回来时从 D到A变成了下坡，其它路途所用的总时间是一样的。现在的问题是AD这段路程中速度由每小时 20千米改为35千米，则时间少用1.5小时，由 此可以求出什么？如果设速度为每小时20千米所用时（为单位“ 1”，那么速度为每小时35千米所用时间为：420 + 35 =-因此速度为每小时2汗米时所用时间为:1.5- Cl-y）=3.5（时）速度为每小时交干米时所用时间就是工工时）由此就可以求出AD之间的距离为:20X

3、3.5 =70 （千米）或35X2 = 70 （千米）还可以求出从D到C和从C到D所用时间均为：9 3.5 =5.5 （时）或 7.52 = 5.5 （时）至此我们已经完成了将上下坡的距离变为相同的目的了。如果设从D到B上坡所用时间为 m 那么从B到C下坡所用时间就是g,所以从D到丑上坡所用时间为：455- （1+y） =3 5 （时）从B到。下坡所用时间就是， 43-5K- =2 （时）所以去时上坡的总路程就是：70+20 X 3.5=140 （千米）下坡总路程是：35X 2=70 （千米）上面所用方法实质上是通过“截长变短”把上下坡的距离“变不同为相同”，而实现这一目 的还可以通过“补”的

4、方法。将返回的路程补在去时路程的后面，画出右图：fi这时全程去与回所用的时间都是：9+ 7.5= 16.5 （时）而且全程的上坡路程和下坡路程相等，都等于原来上下坡距离之和。设此时上坡所用时间为力，那么下坡所用时间就是所以上坡所用时间为：416一5 +=10.5 （时）下坡所用时间为；410.5 乂 亍=6 （时）所以原来上下坡距离之和就是：20X10.5=210 （千米）或 35X6 = 210 （千米）下面采用解决“鸡兔同笼”问题的方法，假设原来从A到C速度不变，都是每小时35千米,这样9小时所行路程应该为：35X9 = 180 （千米）比实际距离少行了：210 180 = 30 （千米）

5、就是因为从B到C的下坡速度每小时20千米变成了 35千米，因此从B到C的时间为:30+ （ 3520） = 2 （时）从A至ij B上坡的时间为：92=7 （时）由此上下坡的距离就不难求出了。这个解法的思路是通过“补”，不仅使得上下坡距离相等，而且使得往返所用的时间相等。解决本题的两个方法说明，在“变不同为相同”这个基本思想的指导下，手段可以是多种多 样的。下面再看一道类似的问题。问题 如右图，从A到B是下坡路，从B到C是平路，从C到D是上坡路。小张和小王步行速 度分别都是：上坡每小时 4千米，平路每小时5千米，下坡每小时6千米。二人分别从 A、D两 点同时出发，相向而行，名前1小时在E点相遇

6、，己知EC距离是BC距离的;当小王到达A后9分钟，小张到达 Do求从A到D的全程距离。首先发现二人平路上行走的距离相同，小张比小王多用9分钟的原因就是CD距离大于AB距离。我们仿照上题思路，在 CD上取一点F,使得CF距离等于AB距离，并画出如右图形：设从 D到F下坡所用时间为“ 1 ”，则从F到D上坡所用时间为：26-4=1所以从D到F下坡所用时间力.9- （j-D =13 W从F到D上坡所用时间为；1SX 1=27 （分）这段距离就是：18 9S6*而F千米）27 9或4 乂荒 £千米）3由于二人在E点相遇，不难发现小账走平路的q所用时间等于小王从D到F所用时间18分钟，因此可以求出平路的距离为：6 / 6IQ 7 C现在又可以求出小张从B到E所月时间为.54 2_ + 5乂 一 = f时