数列解题方法大全

1、数列方法大全一、求通项公式各种数列问题在很多情形下，就是对数列通项公式的求解。特别是在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。类型1an1anf(n)解法：把原递推公式转化为an1anf(n),利用累加法(逐差相加法)求解。1例1.已知数列an满足a1-,an1ann,求an。2变式：已知数列2中为1,且a2k=a2k1+(1)K,a2k+1=a2k+3k,其中k=1,2,3,(I)求a3,as；(II)求an的通项公式类型2an1f(n)ana一“解法：把原递推公式转化为理anf(n),利用累乘法(逐商相乘法)求解。例2：已知数列an满足a12n一,an

2、1an，求an。3n1(n1)an1变式：(2004,全国I,理15.)已知数列an,满足a1=1,ana12a23a3一1(n>2),则an的通项an类型3an1panq(其中p,q均为常数，(pq(p1)0)。解法(待定系数法)：把原递推公式转化为：an1tp(ant),其中t-q,再利用1p换元法转化为等比数列求解。例3：已知数列an中，a11,an12an3,求an.类型4an1panqn(其中p,q均为常数，(pq(p1)(q1)0)。(或an1panrqn淇中p,q,r均为常数)。解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以qn1,得：TE?胃引入辅助数列qnqqnqbn(其中b

3、n多)，得：bn1bn。再待定系数法解决。qqq511n1例4：已知数列an中，a1-,an1-an(-)，求an。类型5递推公式为an2pan1qan(其中p,q均为常数)。(待定系数法)：先把原递推公式转化为stpstqan2san1t(an1san)其中s，t满足一an，求ano3f(an1)消去Sn(n2)或与2例5：已知数列an中，a11,a22,an2-an13类型6递推公式为Sn与an的关系式。(或Snf(an)解法：这种类型一般利用S(n1)一,、an与anSnSn1f(an)SnSn1(n2)Snf(SnSn1)(n2)消去a0进行求解。例6：已知数列an前n项和Sn4an(

4、1)求an1与an的关系；(2)求通项公式an.类型7an1pananb(p10,a0)解法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令an1x(n1)yp(anxny),与已知递推式比较，解出x,y,从而转化为anxny是公比为p的等比数列。例7:设数列an:a14,an3an12n1,(n2),求an.类型8an1pan(p0,an0)解法：这种类型一般是等式两边取对数后转化为an1panq,再利用待定系数法求解。12例8：已知数列an中，a11,an1an(a0),求数列an的通项公式.a类型9an1fna解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为g(n)anh(n)an1panq

5、°a例9：已知数列a4满足：an,a11,求数列an的通项公式。3an11a4例10：已知数列an满足性质：对于nN,an1，且a13,求an的通项2an3公式.类型10an1anpnq或an1anpqn解法：这种类型一般可转化为a2n1与a2n是等差或等比数列求解。例11：(I)在数列an中，a11,an16nan,求an(II)在数列an中，“1,anan13n，求an类型11周期型解法：由递推式计算出前几项，寻找周期。1 、2an,(0an)2 6例12：右数列an满足an1，若a1,则a?。的值为172an1,(-an1)2二、求和数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的

6、基础.在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位.数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外,利用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法大部分数列的求和都需要一定的技巧类型1.利用常用求和公式求和：等差数列求和公式:Snn(&an)2、等比数列求和公式:Snna1a1(1aanq3、nShkk1(n21)4、Snk21n(n6例1已知10g3x10g23例2设Sn=1+2+3+nnCN，求f(n)Sn(q1)(q1)(2n1)的前(n32)Sn11)5、Snn项和.的最大值.nk3k112弓n(n1)n项和公式时所用的方法，这种方类型2.错位相减法求和：这种方法是

7、在推导等比数列的前法主要用于求数列anbn的前n项和，其中an卜bn分别是等差数列和等比数列.例3求和：Sn13x5x27x3（2n1）xn1例4求数列2：,g,2n,前n项的和.nnn*nnn2222类型3.倒序相加法求和：这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个（a1an）.2_2一sin88sin89的值.2.2一.2_例5求sin1sin2sin3类型4.分组法求和：有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可1,1r1例6求数列的

8、刖n项和：11,4,7,n-y3n2,aaa类型5.裂项相消法：这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列.通项分中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的解（裂项）如:(3)(5)anf(n1)1n(n1)f(n)(2)sin1cosncos(n1)an(2n)2(2n1)(2ntan(n1)1)/111(一22ntannan1n(n1)(n2)2n(n1)(n1)(n-2)(6)ann21n(n1)2n2(n1)n1n(n1)2n(n1)2n，则Sn1(n1)2n例7求数列的前n项和.例8在数列an中，an，又bn2,求数列bn的刖n项an

9、an1的和.一1例9求证：cos0cos1cos1cos2cos12/cos88cos89sin1类型6.合并法求和：针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质,-2Sn(n1,2，).证明:nS.因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求例10求cos1°+cos2°+cos3°+cos178°+cos179°的值.例11在各项均为正数的等比数列中，若a5a69,求10g3a110g3a210g3a10的值.类型7.利用数列的通项求和：先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征,然后再利用数列的通项揭

10、示的规律来求数列的前n项和，是一个重要的方法例12求1111111111之和.n个1例13已知数列an：an，求(n1)(anan1)的值.(n1)(n3)n1三、课后作业11 .数歹Uan的刖n项为55且211,an1-Sn(n1,2,3，)3(1)求a2,a3,a4的值及数列a1的通项公式.求a?a,a2n2 .数列%的前n项和记为Sn,已知a11,%11*3 .已知数列an的前n项为Sn,Sn-(an1)(nN)3(1)求a1，a2;求证：数列an是等比数列.11,、4 .已知数列an辆足科一,an1an，求an.2nn5 .已知数列an满足,a12,an1nan,求an.3n1511一一6 .已知数列an中,a-,an1-an(-)，求an.6327 .已知数列an满足：anan1,a11,求数列an的通项公式3an118 .等比数歹Ua的前n项和Sn2n1,求a；