数列知识点和常用的解题方法归纳

1、数列知识点和常用的解题方法归纳数列知识点和常用的解题方法归纳等差数列的定义与性质定义：an1and(d为常数)，ana1n1d等差中项：x,A,y成等差数列2Axyaiannnn1刖n项和Snna1d22性质：an是等差数列(1)若mnpq,贝再anapaq;(2)数列a2n1,a2n,kanb仍为等差数列;Sn,S2nSn,S3nS2n仍为等差数列;(3)若三个数成等差数列，可设为ad,a,ad；(4)若an,bn是等差数列Sn,Tn为前n项和，则ambmS2m1T2m1(5)an为等差数列Snan2bn(a,b为常数，是关于n的常数项为0的二次函数)Sn的最值可求二次函数Snan2bn的最

2、值；或者求出an中的正、负分界项，即：,-an0_一当a10,d0,解不等式组可得Sn达到最大值时的n值。an10,an0-当a10,d0,由可得Sn达到最小值时的n值。an10如：等差数列an,Sn18,anan1an23,S31,(由an233an13,-an1又S3a12a33a2Snann2a2an1,n211n3218n27):、等比数列的定义与性质q（q为常数，q0）n1aq等比中项:X、G、y成等比数列G2xy,或Gxyna(q1)前n项和：Sn（要注意！）a11qn(q1)1q性质：an是等比数列(1)若mnpq,贝凡anap-aq(2)Sn,S2nSn,S3nS2n仍为等比数

3、列三、求数列通项公式的常用方法1、公式法2、由Sn求an；(n1时，a1S1,n2时，anSnSn1)3、求差（商）法11如：an满足一a1=a22222n5解：n1时，1a1215,.a114n2时,112a122a212n1an12n2得:1-nan22n14(n1)n12(n2)练习数列an满足SnSn153ana14,求an(注意到an1Sn1Sn代入得:Sn又Si4,Sn是等比数列,Sn4nn2时，anSnSn14n14、叠乘法例如:数列an中,3,anan解:a2a1a3a2anan1ana13,.an5、等差型递推公式由anan1f(n),a1a°,求an,用迭加法n2

4、时，a2a1f(2)a3a2f(3)两边相加，得:anan1f(n)ana1f(2)f(3)f(n).anaof(2)f(3)f(n)3n1an1n2,求an(an-3n1)26、等比型递推公式ancan1dc、d为常数,0,c1,d0可转化为等比数列，设ancan1xancan1d1)xd,.xc1是首项为ai,c为公比的等比数列a1anai练习数列满足a19,3an1an4,求an(an1)7、倒数法例如：a11,an2aan由已知得：an1an22anan1an111a72求数列前1为等差数列，-an1,公差为-2n项和的常用方法1、公式法：等差、等比前n项和公式2、裂项法：把数列各项拆

5、成两项或多项之和,使之出现成对互为相反数的项。如：an是公差为d的等差数列，求nk1akak解：由一ak-ak1akakddakak1k1akak11ak1aka11a?1a21a3an1an1练习求和:(an六）3、错位相减法:和,an为等差数列，bn为等比数列，求数列anb（差比数列）前可由SqSn求Sn,其中q为bn的公比。如:Sn12x2,33x4xnx.Snc2x2x3x34x4/n1nn1xnx1nnxxSn1nnxSnSnaa2anan1an1a2an相加a1x1时,Snx1时，Sn1234、倒序相加法：把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加。2Sna1ana练习2已知f(

6、x)-x-,则f(1)1xf(2)1f2f(3)f(4)fl4一1(由f(x)fx2x2x21x211x11x2;原式f(1)f(2)1f-f(3)f(4)1、113)2a2=3)a7=135例1设an是等差数列，若则数列an前8项的和为（A.128B.80C.64D.56(福建卷第3题)略解：:a2+a7=a1+-8=16)，an前8项的和为64,故应选C.例2已知等比数列an满足a1a23,a2a36,则a7I）A.64B.81C.128D.243（全国I卷第7题）答案：A.例3已知等差数列a0中，a26,as15,若bna2n,则数列bn的前5项和等于（）A.30B.45C.90D.18

7、6（北京卷第7题）略解：,as-a2=3d=9,d=3,b,=a26,bs=a10=30,a的前5项和等于90,故答案是C.例4记等差数列的前n项和为Sn,若54,S420,则该数列的公差d（）A.2B.3C.6D.7（广东卷第4题）略解：,S4S2S24d12,d3,故选B.例5在数列an中，a4n5,司a2anan2bn,nN*,其中a,b为常数，则ab（安徽卷第15题）答案：1.例6在数歹ljan中，a12,an1anln（1；）,则anA.2lnnB.2（n1）lnnC.2nlnnD.1nInn（江西卷第5题）答案：A.例7设数列an中，ai2,aniann1,则通项第.（四川卷第16

8、题）此题重点考查由数列的递推公式求数列的通项公式，抓住an1ann1中an1,an系数相同是找到方法的突破口.略解：:a12,an1ann1anan1n11a?21）a2a111）相加，得a1211.将以上各式anan1an2n21)43n31)a31,故应例8若（x+）n的展开式中前三项的系数成等差数列，则展开式中X4项的系数为（）A.6B.7C.8D.9（重庆卷第10题）答案：B.使用选择题、填空题形式考查的文科数列试题，充分考虑到文、理科考生在能力上的差异，侧重于基础知识和基本方法的考查，命题设计时以教材中学习的等差数列、等比数列的公式应用为主，如，例4以前的例题.例5考查考生对于等差数

9、列作为自变量离散变化的一种特殊函数的理解；例6、例7考查由给出的一般数列的递推公式求出数列的通项公式的能力；例8则考查二项展开式系数、等差数列等概念的综合运用.重庆卷第1题，浙江卷第4题，陕西卷第4题，天津卷第4题，上海卷第14题，全国口卷第19题等，都是关于数列的客观题，可供大家作为练习.例9已知an是正数组成的数列，ai=1,且点(M，an1)(nN*)在函数y=x2+1的图象上.(I)求数列an的通项公式；()若数列bn满足b1=1,bn+1=bn+2a,求证：bnbn+2Vb2n+1.(福建卷第20题)略解：(I)由已知，得an+1-an=1,又a1=1,所以数列an是以1为首项，公差

10、为1的等差数列.故an=1+(n-1)x1=n.()由(I)知，an=n,从而bn+1-bn=2n,bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+(b2-b1)10+bi=2n-1+2n-2+2+1=2n-1,V.bn?bn+2-b：i=(2n-1)(2n+2-1)-(2n+1-1)2=-2nv0,二bn-bn+2b：1对于第(H)小题，我们也可以作如下的证明：b2=1,bnbn+2-b21=(bn+1-2n)(bn+1+2n+1)-b21=2n+1.bn+1-2nbn+1-2n2n+1=2n(bn+1-2n+1)=2n(bn+2n-2n+1)=2n(bn-2n)=2n(b1-2)=-2n

11、<0,bn-bn+2<b2n+1.例10在数列为中，a,1,an12an2n.(I)设bn券.证明：数列bn是等差数列；(n)求数列an的前n项和Sn.(全国I卷第19题)略解：(I)bn1bn=¥哥=a21222an='=1,贝|Jbn为等差数列，bi1,bnn,ann2n1.(n)Sn1*2。24(n1)-2n2n1)2sn14222(n1)2n1t22,两式相减)得Snn2n12°212n1n-2n2n1=(n1)2n1.对于例10第(I)小题，基本的思路不外乎推出后项减前项差相等，即差是一个常数.可以用迭代法，但不可由b2-b1=1,b3-bz=

12、1等有限个的验证归纳得到bn为等差数列的结论，犯“以11偏盖全”的错误.第(n)小题的“等比差数列”，在高考数列考题中出现的频率很高，求和中运用的“错项相减”的方法，在教材中求等比数列前n项和时给出，是“等比差数列”求和时最重要的方法.一般地，数学学习中最为重要的内容常常并不在结论本身，而在于获得这一结论的路径给予人们的有益启示.例9、例10是高考数学试卷中数列试题的一种常见的重要题型，类似的题目还有浙江卷第18题，江苏卷第19题，辽宁卷第20题等，其共同特征就是以等差数列或等比数列为依托构造新的数列.主要考查等差数列、等比数列等基本知识，考查转化与化归思想，考查推理与运算能力.考虑到文、理科

13、考生在能力上的差异，与理科试卷侧重于理性思维，命题设计时以一般数列为主，以抽象思维和逻辑思维为主的特点不同；文科试卷则侧重于基础知识和基本方法的考查，以考查具体思维、演绎思维为主.例11等差数列an的各项均为正数，ai3,前n项和为Sn,出为等比数列，b1,且b2s264,b3s3960.(I)求an与bn；()求和：F(江西卷第19题)SiS2Sn12略解：（I）设an的公差为d）bn的公比为q,依题意有S,b2(6d)q64,S3b3(93d)q2960.解之，得2,8；405去,为什么？)故2口32(n1)2n1,bn8nl.II)Sn35(2n1)n(n2)11.11§S2S

14、n131112435n(n2)111111-(1-23243511111132n3)(1-)二nn222n1n242(n1)(n2)“裂项相消”是一些特殊数列求和时常用的方法.使用解答题形式考查数列的试题，其内容还往往是一般数列的内容，其方法是研究数列通项及前n项和的一般方法，并且往往不单一考查数列，而是与其他内容相综合，以体现出对解决综合问题的考查力度.数列综合题对能力有较高的要求，有一定的难度，对合理区分较高能力的考生起到重要的作用.例12设数列a”的前n项和为Sn2an2n,（I）求&&；（H）证明：an12ali是等比数列；（田）求an的通项公式.（四川卷第21题）略解

15、：（I）;a1S,2a1S2,所以a2,S2,由132anSn2n知)2an1Sn12n1an1Sn2n1得,an1Sn2n1a2sl222226,S28)a3S22382316,S324)一一4一a4s3240.(n)由题设和式知，an12anSn2n1Sn2n2n12n2n).an12an是首项为2,公比为2的等比数列.(n)anan2an12an12an2on2n1n12a22al2aln12此题重点考查数列的递推公式，利用递推公式求数列的特定项，通项公式等.推移脚标，两式相减是解决含有Sn的递推公式的重要手段，使其转化为不含Sn的递推公式，从而有针对性地解决问题.在由递推公式求通项公式

16、时，首项是否可以被吸收是易错点.同时，还应注意到题目设问的层层深入，前一问常为解决后一问的关键环节，为求解下一问指明方向.例13数列an满足a10,a22,an2（1cos）an4sin2，n1,2,3，求a3a,并求数列an的通项公式；（II）设Skaia3a2k1）Tka2a4a2k）WN）求使Wk1的所有k'2Tk的值，并说明理由.（湖南卷第20题）14略解：（I）a3(1cos万)a14sin25al44,a4(1cos2也4sin22a24,一般地，当n=2k1(kN)时)a2k1a2k14,2(2k1)2(2k1)1cos-2旧2卜14sin一1a2k1a2k14.所以数列a2一是首项为0、公差为4的等差数歹U）因此a2k14（k1）.当n=2k（kN）时）a2k2（1cos2七）a2k4sin222r