数学分析简明教程答案

1、1.证明：若微分方程xyy则必有ai0(i1,2,n).证明由多项式解ya0第十章数项级数§1级数问题的提出yxy0有多项式解2na°aixa?xax,a1xa2x2anxn得2n1ya12a2x3a3xnanxy2a26a3x12a4x2n(n1)anxn2从而xy2a2x6a3x212a4x3n(n1)anxn12xya°xax3a?xn1nn1an2xan1xanx将上述结果代入微分方程xyyxy0,得a1(a。4a2)x(a19a3)x2(a216a4)x32n1nn1(an2nan)xa。1xa°x0.比较系数得递推公式如下:a10,a04a2

2、0,a19a30,an2nan0,an10,an0.由此解得a0a1a2an0,因而ai0(i0,1,2,n).2.试确定系数a0,a1,an,使anxn满足勒让德方程n0(1x2)y2xyl(l1)y0.解设yanxn,则yn1nanxn2n(n1)anx,故(1x2)y(1x2)n(n1)anxn2n2l(l1)yl(l1)anxnn0l(l1)anxn.n0将上述结果代入勒让德方程(1x2)y2xyl(l1)y0,得2_0(1x)y2xyl(l1)yn(n1)anxn2n(n1)anxnn2n2nn2naxl(l1)axn1n0(n2)(nn01)an2xnn(n1)anxnn22nan

3、xnl(l1)anxn.n1n0n(n1)anXn2n(n1)anXn,n2n22xy2xnanXn12nanXn,n1n1比较系数，得递推公式如下:l(l1)a02a20,(l1)(l2闭6a30,(l2)(l3)a212a40,(l(n1)(ln)an1(n1)nan10,(ln)(ln1)an(n2)(n1间20,由此解得a2a41(11)a0,2(l2)(l3)a2(l2)l(l1)(13)432a。，a2k(优(l2k2)(l2k4)l(l1)(l3)(l2k1)a(2k)!a3a5(l1)(l2)a1，32(l3)(l4)_.a3(l3)(l1)(l2)(l4)a1，a2k1)k(

4、l2k1)(l2kor.n1'(l1)(l2)(l12(l2k)a1,(2k1)!从而可以得到ya。(2k)!1k(l2k2)(l2k4)l(l1)(l2k1)2k)xaxa1k(1)1k(l2k1)(l2k3)(l1)(l2)(l2k)2k1x(2k1)!其中a。，a1取任何常数.§2数项级数的收敛性及其基本性质1.求下列级数的和：(1)1(5n4)(5n1)(3)(2)(4)2n112(5)rnsinnx,r1；(6)rncosnx,r1.n1解（1）由于(5n4)(5n1)1155n一1一,故5n1Sn11(5n4)(5n1)所以级数的和S(2)由于_14n2Sn所以级

5、数的和(3)n(4)1)n12n12n工1115n15n15n2n2n(n2n12n1).2n1n12n2nRn即可.2n2n12n空0n122Sn1sSSnSn22n2n1,因此欲求原级数的和，只需计算级数设其部分和Sn2224236242n2n2n22222322n2n2n112312412n2n2n11-从而limSnn212212-2,即limSnn(5)由于级数的部分和Sn从中解得2n丁.2rcosxSn又由于当n时,因止匕rnsinnx一n114,因此原级数nkrsinkx,k1n2rk1sinkxcosxk1nkr:11kr2(SnSn1sin(k1)xn2sinkxrk2n12

6、n1sin(kmF1413-1)xsin(krk1sin(k1)xk1sinkx1)xrn1sin(n1)xn2rsinxr1n2rsinnx(6)级数的部分和2rcosxSnrsinx)r2(Snrnsinnx)limSnnrsinxSn2rcosxsin2rnnxr1sin(n1)x2rcosx0rn1sin(n1)xrsinx2)1r2rcosxnrkcoskx,k1从而0,故n2rk1coskxcosxk1nrk1cos(k1)x1cos(k1)x1cos(k1)xrk1cos(k1)xk1n2coskxrkrcoskx从中解得limSnnlimn因止匕rncosnxn1(Snrcos

7、x1cos(n2cosnx1)xrcosx)r2(Sn12cos(n1)xr1r22rcosx2rcosxr2二1r2rcosx2.讨论下列级数的敛散性:(1)2n(2)12n(3)cos;12n1(4)1(3n2)(3n1)(5)1.n(n1)(n1)解(1)由于通项(2)由于1n12n(3)由于通项(4)由于从而部分和rncosnx),2rcosxr1r22rcosx2ncos2n1Sn(3n0(nn13ncos012)(3n),故原级数发散.n均收敛，故原级数收敛.0(n),故原级数发散.1)3n2(3n2)(3n1)3n23n111-±33n113(n)'因而原级数收

8、敛.（5）由于.n(n1)(nn1)1，从而n时,1111n.122.3故原级数收敛.3 .证明定理10.2.定理10.2若级数Un,n1Vn收敛,n1(Unvn）也收敛，且证明设SnnUk£k1limSnn(unVn)Unn1n1vn.nVk,则由已知条件知，存在有限数s,s,k1使得nlimUknk1s,limSnnlimnkVn）的部分和数列为nnn(UkVk)Ukk1k1nVkk1SnSnss(n），所以n(un1Vn）也收敛，且（UnVn）n1Vn1/，即n14 .设级数Un各项是正的，把级数的项经过组合而得到新级数n1Un1Ukn1Ukn2Ukm，n0,1,2,其中k00

9、,k0k1k2knkn1nn证明设SnUk,nUk,则k1k1,若Un收敛，证明原来的级数也收敛.n1UkUiU2(Uiu2Uki)(Uki1Uki2uk2)(Ukni1Ukni2Ukn)S%.由于Un收敛，故n有界，即Skn有界，即存在Mni0,使得nN,都有S*又由于Un是正项级数，故SnniSknM,而且Sn单调上升，由单调有界原理可知,原级数Un收敛.ni§3正项级数i.判别下列级数的收敛性:(i)(2)i._2ni，i(2ni)2(3)nn;ni2ni(4) sin-;ni2n1 ,八(5) (ai);niia(6)12ni(8)iln(ni)n(9)2n(10)2nsin

10、-;3n(11)(3(1)n)nsin;n15(12)sin2n;n1n!1(13)n1cos-;n1n1(14)cos-；n1n11(15In1n1n.、：:nln(1n)(16)'2，;n1n(17)sin'csinLn1nn(18)narctan；n12n(19).111；n1，n2，、1(20)121.n1n11211解(1)*由于lim上n一n1,而1发散，所以级数j发n1,n2nn1n1nn1,n2nn散.1,、一，(2) 2n7.对任意正整数n,都成立关系式n1(2n1)2(2n1)22n122n122n，一，2,而级数二收敛，由比较判别法知，原级数收敛.22n(

11、3) n”.由于limn"n10,所以级数n"n发散.n12n1n2n12n12n1(4)sin-n12n由于limnsin_2211.而收敛，故sin收敛.nnn12n12nn111,而-收敛，由比较判an1a2n1一，一1(5) .由于a1,故-n11an1an1，一别法知，级数一1一收敛.nn11alimn1(6) 3.由于limMnn1nnnn1nnn.由于limn；-n12n1n12n1111,而1发散，故发散.nn1nn1n%n11lim1一01,故级数n2n1n12n11limnln(n1)01,故原级数收敛.收敛.(8).由于limjnn1ln(n1)n.l

12、n(n1)(9)2(1)n方法1和/均收敛，故n12n12因为2(1)onn12(1)n2n收敛.、，,2万法2由于一(1)n2n32n对一切n都成立，而收敛,丁收敛.2nsin-2nsin-(10)2nsin二.由于limj3-lim3n13n2n2n1T33原级数收敛.n2,而一收敛，故n13(11)(3(1)n)nsin-由于3(1)nn15n4,因此，若4nsinf收敛，则原nn,4sin4sin级数收敛.考虑级数4nsin一,由于lim5lim-n15nn4nn4n工一二n55n4，且一收n15敛，故n4n1sinf收敛,5因而原级数收敛.(12)1sin2n工sinn2.由于n1n

13、!n!11,一,而收敛，因而原级数收敛.n!n1n!n1cos-1,一，.n(13)n1cos.由于limn1nn1n因而原级数发散.2sin211lim2n1,而-发散,n£2n1n2n(14)cos1.由于n1nlimn1cos-n0,由级数收敛的必要条件知，原级数发散.11(15ln1n1n、n由于limn1ln1nn2ln1lim-1,而3收n1n19nn敛，故原级数收敛.(16)limnln(1n1n)lim1n(1n)n，n一一，1，0,而级数-1收敛,3n12n2故原级数收敛.收敛.limn(17)(18)nn12nsin11arcsin1.由于limnnarctan.

14、由于极限2,1.1sinarcsin一nn1,而级数1-2nnarctanlimnn2"1,故由根式判别法知，级数(19)1n发散,故原级数发散.1)11nn12(n(20)n,而对于级数二收敛，因而原级数收敛.n121.对通项进行分子有理化可得收敛，故原级数nn.112+n(n1)12n1n2(n1)'21,-y1.由于n均41n收敛，因而原级数收敛.2.判别下列级数的敛散性:(1)nn一;1n!(2)nlnn(3)n!2n.，1n(4)n!3n1n(5)n!en丁；1n(6)2n3n2(8)nnnT，1(3n2n)三(9)(1x)(1x2)0)；(10)357914710

15、解（1）nn上.由于1n!limnn1(n1)(n1)!nnn!limn所以nnL发散.1n!(2)nlnn.由于cn12(n1)ln(n1)limn2n1nlnn2limn1ln(n1)2nlnnlimnn2nlimnlnnlnn根据达朗贝尔判别法知，原级数收敛.(3)n!2n1nn由于limn(n1)!2n1/人n1(n1)(4)nn!3n1n由于limn(5)n!enn1n(nn!2nnn2limn吟收敛.1n1)!3n1n1(n1)n!3nnn3limnn!3nn3-发散.nn这个级数不能用达朗贝尔判别法和柯西判别法判别，也不能用拉阿比判别法判别，但由斯特林公式可知n!en因而nie-

16、nnnnn!.2ne12n(0en2n-e12nenenn.2ne百必要条件知原级数n!en次发散.nn1),22rT,通项的极限不为0,由级数收敛的(6)n因为limnn1知，原级数收敛.2n13n2.由于limn(8)n12(3n因此，如果级数n1n)2nn.由于(3n2nn)2nimn(3n2nn)2limn由于因而由于(9)n1(1limn(1(10)2nn1nn2n13n2limn301nn2收敛.n1limn2n13n、31,由柯西判别法2nnnnnn)22(3n2n)0(n)，收敛，则原级数也收敛1-=1,故它收敛,3x)(1x2)(1xn)n12(3n2nn)2因而原级数也收敛

17、.(x0).当x0时,级数显然收敛；当0时,n1x(1x)(1x2)(1xn1)lim一n1(1x)(1x2)(1xn)x)(1x2335114)(1-收敛，因此原级数对一切)3579.级数的一般项14710x,120,0收敛.unx1,1,1.(2n1)147(3n2)limnun1357(2n3)147(3n1)limn357(2n1)limn2n33n7(3n2)因而原级数收敛.3.判别级数的敛散性:(1)1.lnn，n(2)1:lnn'1(lnn)(3)1；olnn'12(4)1Qlnn13(5)1A(6)(7)lnnnp（p是任意实数）；(8)12nplnn（p是任意

18、实数）解（1）.当nlnnn1n9时InnLlnnn比较判别法知，原级数收敛.1,一(2).由于lnnn1(lnn)1lnn(lnn)1产，且ln(lnn)(nnN时ln(lnn)2,从而nln(lnn),即当nN时，(lnn)lnn收敛,故原级数收敛.方法1由于limn1-lnnlimn-1n121n(n1)limnIn2limnhospital法则得In12limnlimnln211in1-2nln2由Raabe判别法知，原级数发散.方法2由于2lnnelnnn,所以-2lnn11,而级数一发散，由比较判别法知，原nn1n12lnn发散.1 .Uc(4) ：.由于limn1lnnn13un

19、1知，原级数收敛.1ln(1-)limn3n1nln31,由Raabe判别法所以1，一，般地，对(a0),当0ae时，对一切nn1aN,alnnelnnn成立,1lnna11Uc,，从而义发散；当ae时，由于limnn-1nn1anUn1lna1,由Raabe1，一判别法知，级数得收敛.n1a(5).由于lim上口n13nnlnn0,当nN时，有lnn2ln3即而m32lnn,从而3”n2,故42,而2收敛，故之收敛.3nnn1nn13n(6)n.由于limn13nnlnn0,当nN时，有lnn3ln3即Unln33lnn,从而3、nn3,故二，而收敛，故鼻收敛.3nn2n1n2n13nInn

20、（p是任意实数）.由于当nInn3时，npnp了发散'则原级数必发散，而pp发散，因而p1时，原级数nn发散.np当p1时，由于x1xInt1pdtxlntdt1lnx(12p1p)x12，(1p)因而limxxlnt了出InTx12,利用柯西积分判别法知,（1p）原级数收敛.(8)1pn2nlnn1（p是任意实数）.当p1时，由于nplnn:且nn1,收敛,np2n故原级数收敛；当p1时,由于因而limxx1dt2tlntx1dt2tlntdx2xlnxx1dlntln(lnx)ln(ln2),2lnt,由柯西积分判别法知，原级数发散；当p1时,由于1一nplnn1nlnn,而-n2

21、nlnn就是前面p1时的级数，已证得它发散，因而原级数发散.4.利用Taylor公式估算无穷小量的阶，从而判别下列级数的收敛性:1(1) e1-n1np1(2) ln-n3COS7(3) (.n1n)pln(4) (*naVn"解(1)e1-.令f(x)n1nn""b).n1x1,11-，则lnf(x)xln1-,从而xx因此elim一nf(x)f(x)Inx-1Inln该极限为有限数,p1时发散,(2)故limlnn此原级数而当2Plimnlimnlimnlimn因而limnInn2因而原级数ln，cos-n-ln1n3n2n(n1)12n213n3coslnn

22、3n21n(n1)213n.由于COSTcos71人i曰，与1是同阶无穷小量，由于n1时收敛,1时收敛,1时发散.lnsecn11nsec2iln1tan2,2tann22(tan色2,2tann这是一个有限数，从而lncos下1“一口-2是同阶无穷小量，因n1；的收敛性一致，所以当np12p1即p时，原级数收敛,211即p时,2原级数发散.(3)(,nn1Inn1.由于(Jn1Vn)pn1n10,In0,故原级数n1是负项级数，又由于.n)p(1)lnn1pIn故(n1，n)pln上与二是同阶无穷小量，因而当n1：1n211,即p0时，原级数收敛,0时，原级数发散.(4)4n2因而当a1,，

23、一一时，上式与213n2一一.,1是同阶无穷小量，故原级数收敛；当a时，上式与21是n2b).因为(na).na(2a1)n(.na4n2nb)(na”n2nb)同阶无穷小量，故原级数发散.5.讨论下列级数的收敛性:(1)12n(lnn)p'(2)2nInnInInn(3)11(2n(lnn)InInn0);(4)2n(lnn)p(InInn)q解(1)1，一，1.令函数n2n(lnn)pf(x)1，、工,则该函数在2,)非负、连续且单x(lnx)p调下降.，一x1当p1时，由于limdtx2tlnt而原级数发散.limxx12IntdIntlim(ln(lnx)ln(ln2)x当p1

24、时，由于xHm2f(t)dtx1xplimg-dtlim(lnt)Pdlntx2t(lnt)px2lim(lnx)1p(ln2)1px1p(ln2)1Pp1p1,p1-因而由柯西积分判别法知，当p1时级数发散，当p1时级数收敛.，-1综上可知，级数1一在p1时收敛，在p1时发散.n2n(lnn)p(2)1n2nlnnlnlnn.根据级数通项un,可令函数f(x)1xlnxlnlnxunf(n),(n2)且f(x)在2,)非负、连续且单调下降，由于xlim2f(t)dtx1limdlnlntx2lnlnt由柯西积分判别法知，原级数发散.limlnlnlnxlnlnln2x1(3)1(0).由于l

25、imlnlnnn2n(lnn)lnlnnn,故当n充分大时，lnlnn1因而二一、1,一n(lnn)lnlnn111,由(1)知1收敛，从而原级n(lnn)n2n(lnn)数收敛.(4)1n2n(lnn)p(lnlnn)q1时,由于qdx2xlnx(lnlnx)(lnlnx)qdln(lnx),故q1时级数收敛，q1时级数发散.当p1时，令p12(0),则11unpq1q，由于lim(Inn)(InInn)qn(lnn)(InInn)n(lnn)(Inn)(InInn),故存在N0,任意nN时，(lnn)(lnInn)q1,从而un1一，11一,而由(1)知1收敛，从而原级数收敛.n(lnn)

26、n1n(lnn)当p1时，令p12(0),则un1(,nn(lnn)p(lnlnn)qn(lnn)1(lnlnn)q由于(lnn),从而当n充分大时，(lnn)1,从而un1-,而由(lnlnn)q(lnlnn)qn(lnn)11(1)知二发散，因此原级数发散.n1n(lnn)综上可知，原级数2n(lnn)p(ln(lnn)q的收敛情况是：当p1或p1,q1时收敛，当p1或p1,q1时发散.6.利用拉阿比判别法研究下列级数的收敛性.(1)p(2n1)!n1(2n)!(p是实数);(1)(n1)1,八c、(2)(0,0).n1n!np解(1)级数(2n1川的通项unn1(2n)!(2n1)!(2

27、n)!p,因而根据二项展开式得p.un.(2n1)!(2n2)!.limn1limn1nun1n(2n)!(2n1)!limnn2n22n1nim£1(2n2)p(2n1)limn"n铲(22Pp.2p(2n)pp(2n)p1limnnp(2n)p1(2n1)(2p1)p（上式也可以在第二个等式处将2n2时，原级数收敛,2n1-p1即p212n2时,因而2时,Raabe判别法失效，此时,由于对一切12n1-2n1,(2)1而且1)根据原级数的通项知所以当11,(n!因而根据高斯判别法知,(0,n(1)(n1)1n!(n1)(n1)n)nlimnlimnlimn(n1)1时级

28、数收敛；当时，Raabe判别法失效，此时由于UnnUn1n-直接使用二项展开式）1原级数发散._2(2n1)原级数发散.0).(n1)!1)limnn(n1)(n1)1n1,即1)12n时级数发散(n1)(n1)(1)I-2n(n)2n(n)(n1)(1)2(n)n1令一(1)即1,1而且显然n有界,因而根据高斯判别法可知，原级数发散.7.已知两正项级数un和n1Vn发散，问n1max(Un,Vn),1收敛性如何?max(Un,Vn)一定发散.事实上,n1max(Un,Vn)min(un,vn)两级数的0,而Un发散,n1故max(Un，Vn)发散.n1min(Un,Vn)可能收敛，也可能发散

29、.例如n11(1)nn12于min(Un，Vn)0对一切n都成立，故min(Un,Vn)收敛.n18.若正项级数nan收敛,证明:1a12a2lim2nnan证明设正项级数an的部分和Sna2an,则下述两式成立:S1S2Sn1(n1)a1(n2间*)nSnna1na2nan，*)用(*)减去(*)得nSn(S1S2Sn1)2a2nan，两端同时除以n可得nSn(S1S2(n1)SnS1S2nSn1)Sn1a12a2Sna12a2nannan由于正项级数an收敛，因而limSn存在，假设limSns,根据收敛数列的算术平均数构成的新数列收敛，且与原数列极限相等可知,lim3nSnS,因此lim

30、na12a2n(n1)SnS1S201Snn从而结论成立.an9.设ak212n1记,n求证：(1)ann1证明而ak2kk1(2)k2,k1,2,1,2,收敛；(2)limn，一1，一(1)由于力收敛,n1nan收敛，即2n1,nknan0.an1,nk212n1,nk2n收敛，而kak211,二收敛，从1kann1收敛.考虑nan的一个子列k%(,则limk2a.2knk21limk7nk2即limnan0.n10设an0,且limnan1l,求证limyanln、.反之是否成立？证明令ao1,构造数列an一一Un,则Un的前n项的几何平均数可构成一个an1新数列，由于新数列收敛且与数列U

31、n极限相同，故llimnan1limnlimn1un1unu1n-limn11a-1nana2a1因而结论成立.反之不真,反例如级数an1aaolimnn1a:an1nn11nimnan1.故limJan,而n2从而limnana2ma2m1322mnan22m112(1)n2na2m1a2m122m122m31一一、一*、，、1,因此反之结论不一定成立.2利用级数收敛的必要条件证明:(1)limn0；(2)limn(2n)!n!a(a1).证明(1)limnnnn1湎Un1Un0(nnnn1(n!)2收敛，因而limn0.(2)limn(2n)!n!a0(aUn1(2n2)(2n1)n!na

32、0(n），所以级数驾1收敛，因而n1a(2n)!lim-na0(a1)-12.设an0,且数列nan有界,证明级数2-，an收敛.1证明由数列nan有界知，存在M0,对N,都有nan，从而anM,n进一步可得an22咚，又由于12收敛，因而由比较判别法知，级数nn1n2-，an收敛.n113 .设正项级数an收敛，证明1也收敛.n1n11证明由于对任思n,«anan1-(anan1)均成立，而级数an和级数an1土匀2n1n1收敛，从而级数(ann1an1)也收敛，由比较判别法知，级数Janan1收敛.n114 .设limanl,求证:n(1)当l1时,1(2)当l1时,二发散.nn

33、问l1时会有什么结论?证明(1)当l1时,0,则由limannl知，存在N,nN时，有从而当n(2)当l1时,an，而n121l214T收敛，故原级数收敛.n1-2-n0,则由limanl知，存在M,nI1ll1.l1,22M时，有从而当n则limann1,此即为本题l1的情形，但由第5题(1)知，该级数在p1时收敛，p11时发散，从而当l1时，级数;可能收敛也可能发散.an1n§ 4 一般项级数1 .讨论下列级数的收敛性:Inn.nsinn1n2彳1111(1)nn;n1n(1)nn2.n(1)nsin(Jn21)；1n(n1)(1尸13n可(p0)；1n1nsin13n2(1)n

34、0;n1n一.一2一(1；n1n(1)nsinx(xn1n(1)nn.2，n1(n1)11.21.210)；n1(1)a94nn1n1a(a0)；(1)(2)(3)(4)(5)(6)(8)(9)(10)(11)(12)(13)(14)(15)n1sinn一(16)n解(1)x100时f.2sinnsinn(x)的敛散性，因而由(2)n舍去偶数项,1)n-n0,即Leibnizlnn.nsin1n2100令f(x)x,贝Uf(x)00-x2,显然当x1002,x(x100)2f(x)单调下降并趋向于判别法知原交错级数收敛.由于nsin20,1)k0.由于级数前有限项的值不影响该级数2k,kZ,2

35、k1,kZ,lnn.n原级数sin-n1n21)k1ln(2k°变成交错级数.令f(x)也2,2k1x一,1lnx则f(x),显然当x3时x(x)0,即f(x)单调下降并趋向于0.因而从第3项开始，数列ln上单调下降并趋向于n0,故n取奇数时该数列也是单调下降并趋向于0的，由Leibniz判别法知，原交错级数收敛.(3)(n11111)n_nn.由于数列的前n项的算术平均数构成的新数列极限与原数列极限相等，故根据数列111单调递减趋向于0知，数列-n递减趋向于0,又因为原级数是一个交错级数,(4)J1).由于n(1)nLeibniz判别法知原交错级数收敛.(1)nn(1)n(1)n_

36、1n1(1)n1、n(1)nxn(1)n、n(1)n1nnn±3，n2而级数n2(I)”1,叱一及'收敛，但级数inn22n21，发散，因而原级数发散.n20(5)sin(4n1),由于sin(.n21)sin(nn1(.n21n)(1)nsin(.n21n)(D2-1.n1n又由于sin一单调下降趋于0,故由Leibniz判别法知原级数收敛.n21n(6)n(n1)(1尸13n.由于n(n1)(1尸3n1一,收敛，故原级数绝对收敛，因而自身3nn13收敛.(1)n1np(P,1由于-1单调递减趋向于np0,根据Leibniz判别法知原级数收敛.进一步可知：当0p1时级数条件

37、收敛，当p1时级数绝对收敛.1n.1n1.1(8) sin.由于sin,而收敛，故原级数收敛且绝对收n13n23n23nn13n(9) (1)n2由于n1nn2sin1cos2k2sin1cos22sin1cos42sin1cos2nk1(sin3sin1)(sin5sin3)(sin(2n1)sin(2n1)n故cos2kk1sin(2n1)sin12sin1sin(2n1)sin1,1rr1、,，即cos2n的部分和数列有界，而数列一单sin1n1n调趋于0,由Dirichlet判别法知级数8s型收敛，即n1nn1(1)ncos2nn收敛，从而原级数收敛.(10)一一2一nsinn二十1)n.由于又由于(11)时,敛,时,1)n1)n.2sinn1)n1cos2n2nn1(嗯nJ1)空1,，收敛,2n由上题知1)竺生亦收敛，因此原级数收敛.2n(1)nsin-(x1n0,则存在Nx，当n0).Nx时,xxsin单倜下降，又limsin0,因而由因而原级数数列1)nsin-收敛.n一,从而sin-一sin-,即当nNx2n1nLeibni