排列知识点及题型归纳总结

1、排列知识点及题型归纳总结知识点精讲一、特殊元素与特殊位置问题排列时，某个（或某些）元素一定在（或一定不在）某个（或某些）位置二、捆绑问题某些元素作为一个整体在排列中不能分开.三、插空问题某些元素互补相等.四、定序问题某些元素相对顺序保持不变.五、其他排列双排列和有相同元素的排列等.题型归纳及思路提示题型1特殊元素或特殊位置的排列问题思路提示（1）加法：把全部特殊位置上的元素排好；剩余位置由剩余元素排列（2）减法：取消某些“不能”的限制去排列；减去因此而“扩进”的方法数注：对于含有特殊元素或特殊位置的排列问题，一般采用直接法，即先排特殊元素或特殊位置，有时也采用间接法，通常有以下解决问题的途径：

2、以元素为主体，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素以位置为主体，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置先不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，在减去不合要求的排列数或组合数例12.127个人排成一排.（1）甲在左端，乙不在右端的排列有多少个？（2）甲不在左端，乙不在右端的排列有多少个？（3）甲在两端，乙不在中间的排列有多少个？（4）甲不在左端，乙不在右端，丙不在中间的排列有多少个？（5）甲、乙都不在两端的排列有多少个？解析（1）左端定甲，右端（去掉甲、乙）有c5,剩余5元任排A,共c5A5600（种）排法5选1人非乙乙（2）加法，以左端分类：F1_I甲减法：A7+口_d乙方法I乙IIIIII

3、I+A6C5c5A（53720（种）方法.A72A6A53720（种）排法.先定甲位c2,再定中间位c5,共c2c521200（种）排法.（4）解法一：宜用减法：7人全排一甲在左或乙在右或丙在中间设A表示甲坐左端，4表示乙坐右端，a3表示丙坐中间.card甲不在左端，乙不在右端，丙不在中间=AcardAA2A3A7cardAicardAcardAcardAiAcardAAcardAiAcardAiA2A3A3A63AfA43216（种）排法（见容斥原理）.解法二：甲不排左端，乙不排右端一甲不排左端，乙不排右端，且丙在中间的情形，3720AC：C；A43216种.（5）第一步：先排“特位”一一两

4、端A2,第二步：排中间A,故共有A2A52400（种）排法.评注第（2）与（4）题减法用到cardCuAcardUcardA,其中cardA表示有限集合A中元素的个数.容斥原理：AA1A2A3,cardAcardA1cardA2cardA3cardAA2cardA2AcardA1A3+cardA1A2A3.变式109共10个数字，可组成多少个无重复数字的：（1）四位数；（2）五位偶数；（3）五位奇数；（4）大于或等于30000的五位数；（5）在无重复数字的五位数中，50124从大到小排第几；（6）五位数中大于23014小于43987的数的个数.变式2方程ayb2x2c中的a,b,c3,2,0,

5、1,2,3,且a,b,c互不相同，在所以这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有（）.A.60条B.62条C.71条D.80条变式3广州亚运会组委会要从小张，小赵，小李，小罗，小王5名志愿者选派4人分别从事翻译、导游、礼仪、司机4项不同的工作，其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余3人均能从事着4项工作，则共有（）种选派方案.A.12B.18C.36D.48变式4一生产过程有4道工序，每道工序需要一个人照看，现从甲、乙、丙等6人中安排4人分别照看每一道工序，第一道只能从甲、乙中安排1人，第四道工序只能从甲、丙中安排1人，则共有（）种安排方法.A.24B.36C.48D.72题型2元素相邻的排列

6、问题思路提示先把排在一起的元素（m个）捆绑成一个板块（有3种方法）；再把板块当作一个大元素与其他元素精心排列.注对于元素相邻排列问题，通常采用捆绑法，即可以把相邻元素看作一个整体，再参与其他元素的排列.例12.13七个人排成一排.（1）甲、乙、丙排在一起，共有多少种排法？（2）甲、乙相邻，且丙、丁相邻，共有多少种排法？（3）甲、乙、丙排在一起，且都不在两端，有多少种排法？（4）甲、乙、丙排在一起，且甲在两端，有多少种排法？（5）甲、乙之间恰有2人的排法有多少？（6）甲、乙之间是丙的排法有多少?解析（1）甲、乙、丙板块（A3种排法）与其余4人排列，共A3A5720（种）排法.(2)甲、乙板块（A

7、2种方法）22-2-5,丙、丁板块（a；种方法）与其他3人排列，实AAA480（种）排(3)甲、乙、丙板块（A3种排法）与其余4人排列，板块不在两端，共A3C1A4432（种）排法.(4)如图12-15所示，甲在两端（A；种方法），乙、丙板块（A；种方法）与甲相邻，共A2A2A496（种）排法.图12-15（5）如图12-16所示，先作出板块（A；A；种方法），与其余3个元素排列,共AAA4=960（种）排法.（6）如图12-17所示，先作出板块，A；与其他4个元素排列，共A；A5240（种）排法.甲|丙|乙图12-16图12-17评注关键在于板块的形成.变式1一排8个车位，停5辆不同车，每车

8、位至多停一车（1）停车的5个车位相邻有多少停法？（2）不停车的3个空位相邻有多少停法？（3）一共多少停法？变式2某次文艺汇演要将A,B,C,D,E,F这6个不同节目排成一个节目单（如图12-18所示），如果A,B两个节目要相邻，且都不排在第3个位置，则共有（）种节目单的不同排序方式序号123456节目A.192B.96C.108'D.144巨I12-18例12.14用1,2,3,4,5,6组成无重复数字的六位数，要求任意两个相邻数字的奇偶性不同且1和2相邻，共有个这样的六位数（用数字作答）.分析由题意知，这6位数字奇偶相间，且1和2相邻，关键是排1,2的位置.解析解法一：先排1,2的位

9、置（C5种方法），再将1,2排列（A2种排法），然后其他位置的元素排列（A2A2种方法），故共有C5AA2A2=40（种）.解法二：可分三步来做这件事.c-一，.2一一一一2，一一第一步：将3,5排列，共有A2种排法；第二步：将4,6插空，共有2A2种排法；第三步：将1,2放到3,4,5,6形成的空中，共有C；种排法.由分步计数原理得，共有A2（2A2）C5=40（种）.变式1用0,1,2,3,4组成无重复数字的五位数，其中1,2相邻的偶数有个.变式2用0,1,2,3,4这5个数字组成无重复数字的五位数，其中一个偶数夹在两个奇数之间，这样的五位数有（）个.A.48B.12C.36D.28题型3

10、元素不相邻排列问题思路提示步骤1：m个不同的元素在n个不同元素中抽空，先把n个元素排好，有A种排法.步骤2：n个元素有n1个空，m个不同的元素互不相邻有A<m1种排法.步骤3：共有AnnAn种排法.注对于元素不相邻的排列，通常采用插空的方法，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中.例12.157个人排成一排.（1）甲乙丙互不相邻，共有多少种排法？（2）甲乙相邻，丙丁不相邻有多少种排法？（3）甲不与乙相邻，丙不与乙相邻，有多少种排法？解析（1）共有A4A31440种排法.（2）甲、乙板块（A；种）与其他3人共4个元素排列，丙、丁在5个空中插空，共有A2A4A

11、2960种排法.（3）甲、丙可能相邻也可不相邻，分两类：甲、乙、丙互不相邻，有a4A31440种排法.甲、丙相邻形成板块（A；种排法）与乙在其余4人中插空A2A4A2960,共排法.评注捆绑与插空同时发生时，先捆后插，如与特殊位（某元不在某位）问题结合宜用减法变式1一排8个车位，停5辆不同车，每车位至多停一车.（1）空车位互不相邻有多少停法？（2）恰两个车位相邻有多少停法？变式2某电影院第一排共有9个座位，现有3名观众来就坐.（1）若3名观众互不相邻，共有多少种坐法？（2）若3名观众互不相邻，且要求每人左右都至多有两个空位，共有多少种不同的坐法（用数字作答）.变式32

12、男3女共5个同学站成一排，男生甲不站两端，3女中有且仅有2女相邻，则有（）种不同的排法.A.60B.48C.42D.36例12.16用1,2,3,4,5,6组成的没有重复数字的6位偶数中，1与3都不与5相邻的有（）个.A.72B.96C.108D.144分析分析用插空法求解时要注意限制条件（六位偶数），3个偶数形成4个空位，但另3个数只能插入前3空位中.解析：1,3,5互不相=1,3相邻与5不相邻a3a3a3a2a3108。故选c.变式1由0,1,2,3,4,5这6个数字可以组成个无重复数字且2,3不相邻的六位数（用数字作答）.变式2在一条南北方向的步行街上其中一侧有8块广告牌，广告牌的底色可

13、红可蓝，要求相邻两块广告牌底色不都为红色，则有（）种不同的配色方案.A.55B.56C.46D.47变式3某仪器显示牌上每个指示灯均能显示红光和蓝光两种颜色，已知一排8只指示灯，每次显示其中4只，且恰有3只是相邻的，此一排8只指示灯显示个不同信号.题型4元素定序问题思路提示先排好非定序元素，从而为定序元素留下空位，定序元素在留下空位中找到位置注解决元素定序问题的常用方法有虑它法，只选不排法和全排消序法（除法）3种.例12.174男3女坐成一排，且4男不等高，4男自左往右按从高到矮的顺序排列，有多少种不同的排法？解析解法一：（定序问题虑它法）先排列3女，剩余4个位置供4男按高矮顺序排列，故为A；

14、1210（种）.解法二：（定序问题只选不排法）先选定4男的位置，有C；种方法，3女可以任意排列，4男的顺序确定，其排列方法只有1种，故有C74浦=210种.解法三：（定序问题全排消序法）先全排列，再消除因4男有序造成的影响，故有其210种.A4变式1某车队有7辆车，现要调出4辆，再按一定顺序出去执行任务，要求甲、乙两车必须参加，且甲车在乙车前面开出，则不同的的调度方案共有种（用数字作答）.变式2甲、乙、丙3名志愿者安排在周一至周五的五天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天，每天至多一人，且甲排在其他两位的前面，则共有（）种安排方法.A.20B.30C.40D.60变式3某工程队有6项工程需要

15、甲单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成之后才能进行，工程丁在工程丙完成之后立即进行，则共有种安排这6项工程的顺序的方案（用数字作答）.变式4某市春晚原有10个节目，导演最后决定添加3个与“抗冰救灾”有关的节目，但是救灾节目不排在第一个，也不排在最后一个，并且已经排好的10个节目顺序不变，则该晚会共有种节目排序单（用数字作答）.例12.18用09这10个数字排成一个无重复数字的五位数，则满足下列条件各有多少种排法？（1）百位数字十位数字个位数字；（2）百位数字十位数字个位数字.分析本题叫做位定序.解析（1）选一种排法，如图12-19所示，先排前两位（即万，千两位

16、），再从余数中任取三个不同的数填末三位（唯一确定），共有a9a9c34536种排法.由图12-20可知，共有a9a9c3a；9072种排法.非0X321图12-19非0X21312图12-20变式1七人身高各不同，排成一排，要使中间（第4位）最高，两侧依次降低，共多少种排法？变式2三位数中，如123叫严格递增数，如530叫严格递减数，这两种统称严格单调数，则严格单调3位数共有多少？变式31,2,3,4,5,6的一个排列a1,a2,a3,a4,a5,a6满足a1a3a5，且a11,a33,a55的排列有个（用数字作答）.题型5其他排列：双排列、同元素的排列思路提示（1）双排列，把特殊元素、特殊位

17、置先排好，再排其他元素（2）有相同元素的排列，先排好相同元素，再排其他元素例12.198人排成两排，前后两排各4人，组成24方阵.（1）甲、乙不同排有多少排法？（3）甲、乙同排有多少排法？（3）甲、乙同排相邻或前后相邻有多少排法？（4）甲、乙不在两端有多少排法？（5）任意排列有多少排法？解析（1）甲选一位C8,乙选一位c4,其他6人在6位任排，共有C8c4A6=23040种排法.甲、乙先选一排C2,再各选一位A共c2a2a6=17280种排法（或«尺）（3）同排相邻，选一排C2,捆绑A；x甲|乙|捆绑后选一位c3,共有c2A2c3a68640种排法；前后相邻，选一列c：,捆绑a；,共

18、c4A2a65760种排法.故共有c2a2c3A6+人；点14400种排法.（4）甲、乙在4位中选为A2,共席A88640种排法.（5） A840320.变式1有两排座位，前排11个座位，后排12个座位.现安排2人就坐，前排中间3位不能坐，且此2人不能左右相邻，共有（）种坐法.A.234B.346C.350D.363变式2有4位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”、“握力”和“台阶”5个项目测试，每位同学上、下午各测试一个项目，且不重复.若上午不测“握力”项目，下午不测“台阶”项目，其余项目上、下午都各测试1人.则不同的安排方式有种（用数字作答）.变式312名同学

19、合影，站成前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是（）.A.C*B.c8XC.C82A2例12.203个“1”，2个“2”，1个“3”，排成一行，共有种不同排法（用数字作答）"1"占1,3,4位解析举例：121123,则"2"占2,5位，第一步：确定“1”所占3位C（3,第二步：确定“2”所"3"占6位占2位一一C32,第三步：确定“3”所占1位一一C1,故共有C；C；60种排法.A6评注本题也用元素定序问题的方法求解，把相同元素看作书序一定，即有-A6-60种排法.A3A2变式1一个五位数由数字0,1,1,2,3构成，这样的五位数有个（用数字作答）.变式2把“good”的字母顺序写错有种写法（用数字作答）.有效训练题1 .某班要从6名同学中选出4人参加校运动会4X100米接力比赛，其中甲、乙两名运动员必须入选，且甲、乙中必有一个跑第一棒，则共有（）种不同的安排方案.A.24B.72C.144D.3602 .某小区有排成一列的7个车位，现有3辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余4个车位连在一起，那么不同的停放种数为（）.A.1