数值分析试卷及答案

1、精品文档1求A的LU分解，并利用分解结果求A*A-102"121232解由紧凑格式一102一1112302212A=123269_L=故10-1112412L=,U"二从而0-1-211-4-I-2故2求证：非奇异矩阵不一定有LU分解证明设/已五非奇异，要说明A不一定能做A矩阵LU分解，只需举出一个反例即可。现考虑,显然A为非奇异矩阵。若A有LU分解,1而n"ii=1,显然不能同时成立。这矛盾说明%23口十”及A不能做LU分解，故只假定A非奇异并不能保证A能做LU分解，只有在A的前世-1阶顺序主子式4Hos=L2，题-1）时才能保证人一定有lu分解。1欢在下载精品

2、文档解设有分解423-21251由公式瓦二其中4，口£，%分别是系数矩阵的主对角线元素及其下边和上边的次对角线元素，故有队二47L二一一3239旷亍85二13从而有-42539TE513_113故L'F一委2-幼553%=一=710-2必205+名1F-"彩M二b=l1B2欢在下载精品文档4设A是任一舞阶对称正定矩阵，证明,IL=（盘，”是一种向量范数证明（1）因A正定对称，故当五=口时,卜L二。，而当“口时,1|叱=(一4户o（2）对任何实数U,有卜L=而黯7后'=口北"三H卜I（3）因A正定，故有分解八=匚疔，则凡=（/=（/口炉=西）

3、3;力户=忖或故对任意向量忑和丁，总有卜七儿=-a+y*=花+阳=啡凡+%L=HL+llyL综上可知，一种向量范数。200017.0003-21-7_,已知方程组A3方的精确解为工二3.D(1)计算条件数%温（玛S；(2)若近似解工='297'T°D，计算剩余广=,一出；(3)利用事后误差估计式计算不等式右端，并与不等式左边比较，此结果说明了什么?10COO10000（1）2000020001W|L=40001x3.00011200127.000320001-12.970.05-7-1.01-0.3(3)由事后误差估计式，右端为冷心品皿92而左骊TE3欢在下载精品文档

4、这表明当A为病态矩阵时，尽管剩余旧很小，误差估计仍然较大。因此，当A病态时，用H大小作为检验解的准确度是不可靠的。21a/A=±_6矩阵第一行乘以一数成为I11，证明当行时，弓"双儿有最小值2-32-3之<21|+11T函犯二Miua二,2_2从而当W时，即"丁时，34儿有最小值，且揄77讨论用雅可比法和高斯-赛德尔法解方程组"汗=1时的收敛性。如果收敛，比较哪一种方法收敛较快，其中L解对雅可比方法，迭代矩阵23'2二故雅可比法收敛。对高斯-赛德尔法，迭代矩阵4欢在下载精品文档0（纥=12瓦二（口一0-10二Cl-223121112,故高斯

5、-赛德尔法收敛。fW因01112=口氏）故高斯-赛德尔法较雅可比法收敛快。1010的充要条件。解雅可比法的迭代矩阵,求解方程组工xS,求雅可比迭代法与高斯-赛德尔迭代法收敛10diB=-Bj=故雅可比法收敛的充要条件是高斯-赛德尔法的迭代矩阵10(J10-fc0b10103ab100100<103aa5欢在下载口一话ab而500bioah50精品文档故高斯-赛德尔法收敛的充要条件是国釜。9设求解方程组加t的雅可比迭代格式为同+/，其中佐二al幺),求证：若可L则相应的高斯-赛德尔法收敛。证明由于K是雅可比法的迭代矩阵，故工引1故"1上除卜|%口=12./-I£即:二故

6、系数矩阵A按行严格对角占优，从而高斯-赛德尔法收敛。10设A为对称正定矩阵，考虑迭代格式L求证：(1)对任意初始向量：/","收敛；%:：0姆川+铲,2(2)收敛到工工三的解。证明(1)所给格式可化为公网yA)x(i)+fij(F+A)lb222(I+-A)-1l¥-A这里2存在是因为，由A对称正定，,故2也对称正定。5二q+4T】q-%)1八设迭代矩阵z2的特征值为a,x.o为相应的特征向量，则Ex=工(/+4)与工做内积，有6欢在下载精品文档(1一5/»=双(1+?)工*)£出X骑X）一!（缶璜鼻二=（/+A）xrx）5以（迎璋因工正定，故

7、（&*"o,从而Mh】M1,格式收敛。（2）设即朋/工3*/*'收敛到x,则L，即="收敛到用汇=A的解。1他力匿可/二“4。蹈以诽杷-“幽1 汉E-.<jvkUZ.证明以汗=鼻和X=»为插值节点建立,（X）的不超过一次的插值多项式a-Dba应用插值余项公式有1工）-4（刈二年/"（式（久-）（兀-4名穴SM卜窸卜”（切松窸白一厘）（无叫归的一"蹈2 求一个次数不高于4次的多项式"（'）,使它满足川。）=/。（1）=，3=32）=1.解法一（待定参数法）满足必=/（0）=0,H式1）=%。）=1的Herm

8、ite插值多项式为；''：7欢在下载精品文档*虫*%,&耳言1言,（1）言3=2-设尸（力/+令/2）=得人;：,一一：这样可以写出F（0000011111110-1210-1-1124Newton插值公式元)=0+0卜0)+1(工-0)*-1("0)抬-解法二（带重节点的Newton插值法）建立如下差商表=：工工一/（工1）+；/（x）=-3设1十工，在一5乂牙W5上取用计算各节点间中点处内与，（力的值，钎2一解步长一"一，L*插值函数母）二三）上3+，（%）上%一Vi&分段线性插值函数定义如下*句=卓=常各区间中点的函数值及插值函数值如表

9、所示/5_叶=31工3y=1口，按等距节点求分段线性插值函数4（工），并倩计误差.：-5-hi（0<i<101,3.住区间L'=+1J上的线性一再个N累1穴一个广西1+z?1+J=0,1,-',9£十二2四21+总工1"+】.?8欢在下载精品文档X+0.5±1.5±2.5±3.5F.50.800000.307690.137930.075470.0470640750000.350000.150001007941r0.04864估计误差：在区间Z，号+1上匕-僧川=(/(身sF)b-/1)五一叫卜一&JI<

10、tnaxIniaxIf2-5以，5'八叫耳1HliImas耳“）卜&Jk=3+幽强箔卜,一1）卜;(is)(")的驻点°，土,于是故有结论生啾卜m回修|J门上川卜9）卜2防Y3层山孙京右端与I无关，于是有"-白区025-5,51确定参数凡口和二，使得积分取得最小值，并计算该最小值.9欢在下载精品文档解本题实质上是求=Ji,二高的二次最佳平方逼近多项式.选切比雪夫多项式为基函数进行计算:4=1Z=34。）=2/一1心工”正(ZEAW3)=5，石)二：/一/下二以二2（工4）='"一/rJlm"二0(丁芯卜j,二二一|于是得

11、7(1)的二次最佳平方逼近多项式式)(%幻0例幻I(&%)2+03y-3一三其3开'，3开3n”一里启二0空进而有参数-，1-1-3瓦0=胤=，力-，用箕最小值1("就是平方误差:48-+0+一«0,01467197r10欠0迎下载精品文档2对彗星1968Tentax的移动在某个极坐标系下有如表所示的观察数据.r2.702.001.611.201.023卷67"8T10学12s一假设忽略来自行星的干扰，坐标应满足：其中P为参数，吕为离心率，试用最小二乘法拟合和并给出平方误差.11电CO9甲解由于关于参数少和日是非线性的，变形为尸中m,这样有下表的数

12、据.1y=-r10.3703700.5000000.6211180.85333310.980392/-cos0.6591310.3907310.121869-0.309017-0.587785金二3二一工3+如=乂（/且）=2/（“年也）记p,尸得拟合模型网(L1)=三妙=5.0,(V)=02g4929=91)(M)=1.056242,(y,I)=33a52154,(yj)=-0.314887求解法方程组3.305214-03148875.00.284929-Fa02849291056242J|_Aa=0.688617J6=-0483880=1=1452186,a=-bp-0.702684进而

13、有,拟合方程为L4521B61-0.702684cos审城夕二工尸（咐"082262平方误差一为J1欺速下载精品文档3求函数人）=3环工三05在指定区间上关于中二印加口,工的最佳平方逼近多项式.二1解对J'L做线性变换上£，即j（z）=cosTTa=<1+1）c<?s打I2）利用勒让德正交多项式%=«）=£为基建立电（力的一次最佳平方逼近多项式砌=（蜃为）5k跖）A（4+、尹1F）=o-8/2/3Pi（4=-,的最佳平方逼近为129（271）二示（2天1）周2.431708元一1215854五七/：/（万）必回44（一封+4/+4/（

14、我）1确定Z''八F训八J中的待定参数，使其代数精确度尽量高，并指明求积公式所具有的代数精确度。解令"x）=hx，代入公式两端并令其相等，得41+4+4=4必（-忘）+4人=o=>-4+4=0心（-“+4万二之球y=4+a=蔡办4=4"比4=-3解得二-o=工打黑=g取（一宓十由0精确度。切（_犷囿卜%5-二故求积公式具有3次代数12欠°迎下载精品文档2计算积分人，若复化梯形公式，问区间0应分多少等份才能使截断误差不超-xlO-J过2?若改用复化辛普森公式，要达到同样精确度，区间应分多少等份?解由于/=八"也=1,故对复化梯形公式，

15、要求耳卜-3巧%)1W<-<-xWs12J2三工10。pa>212.S5即6。取屋=/13,即将区间。门分为213等份时，用复化梯形L10”公式计算，截断误差不超过二用复化辛普森公式，要求b-a(百5严<180x24L>41xl0"耳三(CU)2加之一冥10'理之3L7066即1的。取厘=4,即将区间等分为8等份时，复化辛普森公式可达精度2。3确定求积公式匕-球（亦=/卬伉）+纣+日？（强什方卜衣（力如中的系数D，使代数精确度尽量高，并给出“的表达式。公式中。解这是一个带权'''口的且带导数值的求积公式。为了积分方便，设该

16、求积公式,，（工）=1,A-甬,（X-4，口对J0（I"准确成立，得13欠0迎下载精品文档:卜-4=火"月）事（工一为y=京3+助）+汇c+D）3修1（了4）*'=（0+班,十川（口十2a041k-（靠-%）J=一3十二）+A3（0+*）化简得AS=-2E+C7+。,3B+20三14843。L5A=-fB=-/C=fD=-解得工-1二为，："演）b而，煮MM3+的）+7（Q+4廿0）故求积公式层/（a）+（西）+后/W"T具有3次代数精确度。X,人H穴（/）下面估计求积公式的余项",O设在与，/上三次月1仃阳滋插值多项式为，式“）,即&

17、amp;I"满足玛佃）=0）品（务）='（#）"=甲因前述求积公式具有3次代数精确度，故它对于*（*）是准确成立的，且因此有14°迎下载精品文档-式1/（工心：0-鼻内0粒+：（"事胃/（1）62（-动心=*卜修（*-£/仿）卜凉C笔（和计叫卜，"）二必“（/）+矶仃，&）+犷+刈力注意到（”/）卜一人）在礴，工1上不变号，故余项R二舟I：5-M（"j&二，7七（*4f”L的U113左厢=工？F看=了4已知424。（1）推导以这3个点作为求积节点在I01上的插值型求积公式;（2）指明求积公式所具有的代

18、数精确度；r1冗（3）用所求公式计算J0。解（1）过这3个点的插值多项式卜一均）伉-）1（工一/）（工_为）（司-%）（网-）5f)(1)小(/-/)(/一3；/5"工陶j：马0工=£4/CO故-其中故所求的插值型求积公式为。加轲升吗卜2间15欠°迎下载精品文档2次代数精确度。再将（2）上述求积公式是由二次插值函数积分而来，故至少具有*）=£，'代入上述求积公式，有-=广/我=1Y5/4Jo(I故上述求积公式具有3次代数精确度。423<4唧的精确度。2由于该求积公式具有3次代数精确度，从而3为设/（加C的-2通>0/-檎小小J2，&#

19、177;2。求证：（二广4+刃+0伊)（提示：直接使用泰勒展开即可得证）七JI21对于迭代函数就办二工+以工一0，试讨论:（1）当二为何值时，小尸?®）（6L2-）产生的序列旗）收敛于企；（2）c取何值时收敛最快？c_:§分别取2之点计算以工）的不动点也，要求IfI解（1）侬C（/-2）MW+以根据定理7.3，当取讣卜2后|<1-L<c<o亦即时迭代收敛。16欠°迎下载精品文档1由定理7.4知，当炉（加）T+2&C二°，即2炬时迭代至少是二阶收敛的,收敛最快。门11Cj加if卜1产。事实上,应=1.414213562-（3）分别

20、取2，笈，并取=1-2,迭代计算结果如表7-4所示。ft(n%CI2)it(n强cI2)01612131.21.481.4133695861.4142093031.414215327012341.21.3979898991.4141205051.4142135591.414213562此时都达到2（牛顿迭代法收敛性定理）设丁仁）在比，句上具有二阶连续导数，且满足条件（2）在区切上F3H0/3*0；叵可满足八瑜八）0。则由牛顿迭代法产生的序列工单调收敛于/（¥）=°在1句内的唯一实根汇”,并且是平方收敛的。证明因丁在鬼句上连续，由条件（1）知，方程/（幻二°在功内有根钎。又由条件（2）知在&句上恒正或恒负，所以，在?切上严格单调，因而炉是，加。在3内的唯-实根。条件（1）（2）共有四种情形：（1）出"°J3.80加国司一：1-11.1一：一,一1，一17发迎下载精品文档仅就（1）进行定理证明，其余三种情况证明方法类似。由而E皿句，也）二'0可知（/）叫再由°知/单增且又由牛顿迭代法知*27%）由台劳展开的，=/（/）+/%+4丁（。）（一一%）其中焉介于工，之间。利用/2=°得人七）十/'&）0"-瓦）十/，.矗7二比一餐尸二0”一两小）5工厂设一irm,