数列求和常用的五种方法

1、数列求和常用的五种方法一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法1、等差数列求和公式:n(&an)n2n(n1)d22、等比数列求和公式:na1a1(1qn)(q1)aanq1q(q1)3、4、nk2k11n(n1)(2n61)5、Snk3k112n(n1)1.已知10g3xlog23的前n项和.解：由10g3x10g2310g3xlog32由等比数列求和公式得2Snxx二x(1xn)=2(1/)=11212n二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前方法主要用于求数列anbn的前等差数列和等比数列.例2.求和：Sn13x5x27x3n项和公式时

2、所用的方法，这种n项和，其中an卜bn分别是n1(2n1)xcn1Snkn(n1)k12解：由题可知，(2n1)xn1的通项是等差数列2n1的通项与等比数列xn1的通项之积当x1时，Sn1357当x1时2n112n1n2n2设xSn1x3x25x37x4(2n1)xn卷(设制错位)一得(1x)Sn12x2x22x32x42xn1(2n1)xn(错位相减)再利用等比数列的求和公式得：(2n1)xn(1x)Sn1Sn(2n1)xn1(2n1)xn(1x)(1x)2例3.已知a0,a1,数列an是首项为a,公比也为a的等比数歹U,bnanlgan(nN),求数列bn的前n项和Sn。解析：n.nIan

3、a,bnnalga23nSn(a2a23a3nan)lgaaSn(a22a33a4nan1)lga-得：(1a)Sn(aa2annan1)lgaalganSn-g-y1(1nna)an。(1a)点评：设数列an的等比数列，数列bn是等差数列，则数列anbn的前n项和Sn求解，均可用错位相减法三、反序相加法求和这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个（aian）.例4.函数f（x）对任意xR,都有f（x）f(1x)f(1)n的值;f(n1)n(2)数列an满足:anf(0)f(1)nf(-)nf(U)nf(1),数列an等差

4、数列吗？请给与证明。（3）44an122Tn1blb2bn2试比较Tn与Sn的大小。解：（1）令x2,可得吗）4f(1)f(nn1)f(1)nf(1-)n(2)anf(0)f(1)f(2)一anf(1)nf1)f(nf(0)f(1)fd)nn)nf(-n1)n1f(U)f(1)nf(-)f(1)f(0)f(1)1)an(3)bn116(12122)n16(11112231(n1)n，3216Sn四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.7，73n2,a1(-3n2)a例5.求数列的前n项和：1

5、1,-4二aa11解：设Sn(11)(4)(7)aa将其每一项拆开再重新组合得(分(分组c111Sn(1-2-)(1473n2)aaa组)当2=1时，Snn="22求和)11s,、1n。八当a1时，s3©_&=2工纨也12a12Ia例6,求数列n(n+1)(2n+1)的前n项和.解：设akk(k1)(2k1)2k33k2kn31)=(2kk1-23kk)nSnk(k1)(2kk1将其每一项拆开再重新组合得nnnSn=2k33k2k(分组)k1k1k1=2(1323n3)3(1222n2)(12n)_n2(n1)2n(n1)(2n1)n(n1)_n(n1)2(n2).裂项法的实质使之能消去一些项,五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合,最终达到求和的目的.通项分解（裂项）如：(1)f(n1)f(n)(2)sinlcosncos(n1)tan(n1)tann(3)a11n(n1)n(4)an(2n)2(2n1)(2n1)(5)n(n1)(n2)(n1)(n一2)(6)ann2n(n1)2(n1)nn(n1)一，则S(n1)21(n1)2n例7.求数列C2'V24/而彳的前n项和.（