数值计算方法复习题9

1、习题九1,取步长h=0.1,分别用欧拉法与改进的欧拉法解下列初值问题：八MDCrz=寸.尸（3）居.廿优.九一由吩/（/）,4（4）%Z抑九一九一娟犷如）4）445。用Euler法解初值问题.=/十】00/叉）=取步长h=0。1,计算到x=0。3（保留到小数点后4位）。解：直接将Eulerr法应用于本题，得到八口=人+双W+1。叱=居+0乂出+10。3）由于/=r=0,直接代入计算，得到7（0一，）乃；+G05xKW十/一少0】+Y+i+/+【-e+。彳（胃十%-）寿）=2+005x（+Q11）,K=0,1,246.用改进Euler法和梯形法解初值问题万:/十五-乂以。）二取步长h=0。1,计

2、算至Ux=0.5,并与准确解,=f+/一五+1相比较.解：用改进Euler法求解公式，得/r=乂+口。5水需+/-乂）+刀3+%1*1+/%）=八+0,05x0+2/%-1.91y要+0,11）超-0,12计算结果见下表用梯形法求解公式,得一一1；J解得F,LI.一.，,一-二精确解为“J-1-X.0.20,3540.5改ifiEulexr法0.005500,021930.050150.刈040.14500梯形法0.005240.021410.049370.OS9010.14373精确解yW0.005160.021270,049130,089630.143477证明中点公式（7.3.9产/+炉

3、工+产4卢是二阶的，并求其局部截断误差主项。证明根据局部截断误差定义，得11口尸&十制了X）十（/十于M/十不妁）r将右端Taylor展开，得A,T/1二如晨三）十等了（%）+!产曰一。3）+稣/1%户（右十心内,十?广如”钎）+O)1户名于1菰门+了3+力痣+彳m/kw+白：察+”故方法是二阶的，且局部截断误差主项是上式右端含h3的项。取步长8.用四阶R-K方法求解初值问题产3”。+工）,。工中=1h=0。2.解直接用四阶RK方法%广:VN*42&+%”区4601其中3yC+%)”1.i+kn35+。浜力“35+0g)?口-UJ.L2+/41一2+三Kn0.20.40.50.81.0YnL7

4、27552.742954.004185.829217.99601计算结果如表所示:n+l-必+药6人-”力+37fl-2-9X-39对于初值问题解因f（y）=-100,故由绝对稳定区间要求（1）用Euler法解时,Zi=0,02100（2）用梯形法解时，绝对稳定区间为f对y是线性的，故不用迭代，对h仍无限制。（3）用四阶R-K方法时,22=0,0275510010。（1）用Euler法求解，步长h应取在什么范围内计算才稳定？（2）若用梯形法求解，对步长h有无限制？。若用四阶RK方法求解,步长h如何选取?解：用四阶显式Adam宓式先要算出凡名仍，乃，而=1,其余3点可用四阶R-K方法计算。由打”3%-2居,得/=./X就.-yv）=/=+卷,九+应）=2/7*.一L卅六+0,15-人冗了）j&）二为二（2）试确定参数=工，使方法具有尽可能高的阶数，并求出局部截断误差主项.解本题仍利用局部截断误差的Taylor展开，Tz=+纺一盘双耳）+y（右一以）-妞#0（，）+尸（心一切332=内（/十加氏）+以为）+?“（/）+。曲）RM%）十直/）如（/）+ylMf/3（%）+用3（“尸切”（%）+9）”也）十。（r）W二（1一2口）尸（/）+1+0凤-凤如（5）+（-（/）+2（/）226b_2要确定参数圆小外,可令1一2B二始斗/一/