数学分析课本-习题及答案

1、、填空题设f(x)一一sinxxkxsin1x2.3.4.5.6.7.8.9.函数函数函数函数函数函数f(x)f(x)f(x)f(x)f(x)f(x)设f(x)函数f(x)10.函数f(x)11.函数f(x)12.如果f(x)sinx第四章函数的连续性x的连续区间是2x3x(x3)0,若函数f(x)在定义域内连续，则0的间断点是0的连续区间是9一的间断点是x2的间断点是(x1)(x4)(x1)(xax(a2)的连续区间是在x0点连续，则k1的间断点是1x2bb)x2b0.则f(x)处处连续的充要条件是则limif(x)f(x)无间断点，则a时，函数f(x)连续、选择填空1.设f(x)和(x)在

2、点，则()A.f(x)必有间断点。内有定义，f(x)为连续函数，且f(x)0,(x)有间断2B.(x)2必有间断点C.f(x)必有间断点D.烈必有间断点f(x)2.设函数f(x)一x-反，在ae内连续，且limf(x)x0,则常数a,b满足()A.a0,b0B.aQb0C.a0,b0D.a0,b011ex3.设f(x)r，当x0;f(x)1,当x0,则1exA有可去间断点。B。有跳跃间断点。C有无穷间断点D连续4.函数f(x)lim2n1xA不存在间断点。BC存在间断点x0D存在间断点x1存在间断点x15.设f(x)0;g(x)xsin-x0一，-x,则在点x0处有间断点的函数是1x0Amax

3、f(x),g(x)BCf(x)g(x)D6.下述命题正确的是minf(x),g(x)f(x)g(x)A设f(x)与g(x)均在Xo处不连续，则f(x)g(x)在Xo处必不连续。B设g(x)在xo处连续，f(xo)0,则limf(x)g(x)=0。xX0C设在Xo的去心左邻域内f(x)g(x),且limf(x)=a,limg(x)=b，则必有abxXoxXoD设limf(x)=a,limg(x)=b,ab,则必存在x0的去心左邻域，使f(x)g(x)。xX0xX0三、计算题1.指出函数的间断点及其类型：(1)fxx;x(3)fxcosxSinx(4)fxSgnx；(6)fxx,x为有理数-x,x

4、为无理数1x7,x,-7x7,x1,x-1sinx-12.延拓下列函数，使在上连续:(1)fx,1Cosx,-1(2)fx2；(3)fxxCosxx3.举出定义在0,1上符合下述要求的函数:111一，一一(1)在和一三点不连续的函数；234一，11一1，一一(2)只在，和一三点连续的函数；234_，1(3)只在1n1,2上间断的函数；n(4)仅在x=0右连续，其它点均不连续的函数。4.求极限：(1)limxtgx；x4(2)limx1x12xx21x15.求下列极限:(1)lim-x01X厂eCosx52；xln1x(2)(limx(3)(5)fxSgncosx；n,、11(5) lim12x

5、nn(6) lim1Sinxctgx.x0四、证明题1 .按定义证明下列函数在其定义域内连续:，1，(1)fx;(2)fxxx2 .设f为连续函数，常数C0,证明函数C,若fxC,Fxfx,若fxC,连续C,若fxC.3 .证明：设f为区间I上的单调函数，且x0I为f的间断点，则x0必是fE点°4 .设函数f只有可去间断点，定义gxlimfy,证明g为连续函数。yx5 .设f为(，)上单调函数，定义g(x)=f(x+0),证明函数g在(，右连续。6 .该f0g0,当x0时，fxgx,试证f与g这两个函数中至我有第一类间断)上每点都个在x=0处连续。7 .设f,g在点x。连续，证明:(

6、1)若fXogx0,则存在x0的某个邻域Ux0,使fxgx,xUx。,(2)若对xx。，有fx。gx。，贝Ufx。gx。8 .研究复合函数fg与gf的连续性。设2(1) fxSgnx,gx1x；(2) fxSgnx,gx1x2x。9 .若f在a,上连续，且limfx存在，证明：f在a,上有界，试问f在a,上x必有最大值与最小值吗10 .若对任给0,f在a,b上连续，是否可推出f在(a,b)连续。11 .证明：若f在a,b上连续，且不存在任何x使彳导f(x)=0,则f在a,b上恒正或恒负。12 .证明：任一实系数奇次方程至少有一个根。13 .证明：(1)函数fx加在0,上一致连续。(2) fxx

7、2在a,b上一致连续，但在，上不一致连续。14 .若函数f(x)在区间I上满足李普希茨条件，即存在常数L,使得对I上任意的两点x与x,都有fxfxLxx证明：f在I上一致连续。15 .试用一致连续的定义证明，若函数f在a,c和c,b上都一致连续，则f在a,b上也一致连续16 .该函数f在0x2a是连续且f(0)=f(2a)。证明：在区间0,a上存在某个x,使f(x)=f(x+a)。17 .该f为a,b上的递增函数，其值域为f(a),f(b),证明f在a,b上连续。18 .证明：若f在a,b上连续，且ax1x2xnb则在x1,xn上必存在七,使得fx1fx2fxnfn19.设f(x)=Sinx,

8、gx=0不连x0,证明复合函数f(g(x)在xx0.20.证明：若f(x)是以2兀为周期的连续函数，则存在E,使ff21.证明：fxCosVx在0,上一致连续。xy22 .设limxnx0,limyny,证明：limx；nxnn23 .证明(1)若a0,x为任一实数，则ax0。(2)设xi,x2是任意两个实数，且Xix2,若0a1,则ax1a'2。24 .设a1,x为任意实数，证明axinfarr为有理数.rx五、考研复习题1 .设函数f在开区间(a,b)内连续，且上有界。2 .证明：方程f(a+0)与f(b-0)为有限值。证明f在(a,b)aa2a3x1x2x3(其中a1,a2,a3

9、0,且13)在1,2与2,3内各有一个根。25 若f在a,b上连续，acd(1)存在一个a,b,使得k2f(2)存在一个a,b,使得mfcnfdmnf,其中mn为正整数。有frf2,则f为a,b和Mxminf在ax6 .设f在a,b连续，且fa,ba,b,证明存在xa,b,使得f(x)=x。7 .证明：若函数f在(a,b)连续,(a+0)与f(b-0)都为有限值，且存在一点使得fmaxa0,fb0(a,b)内能取到最大值。8 .证明：若函数在(a,b)连续，且fb)内能取26 设函数f在a,b上连续，证明下述结论:(1) 若对一切a,b上的有理数r,有f(x)=0,则在a,b上有fx(2) 若对a,b上任意两个有理数r1,r2rlr2,上的严格递增函数。27 证明：若f在a,b上连续，则函数mxminfaxb上连续。到最小值。9 .设函数f在a,b上连续x1,x2,xna,b另有一组正数1,证明：存在一点a,b，使得1fXi2fx210 .已知函数f在0,上连续，且0fxx,x0,ai0,an1fan,n1,2,.证明：(1) an为收敛数列；(2)设limant,则ftt；x(3)若条件改为0fxx,x0,，则t=0。11.证明：若函数f在0,1上连续，f0f1,则对任何自然数n,存在0,1,使得1ff。n