数学苏教版选修2导数及其应用综合练习

1、导数及其应用综合练习一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的.1.函数f(x)=x3+ax2+3x-9,已知f(x)在x=3时取得极值，a=(A.2B.3C.4D.53=03=03.函数f(x)=x33x+1在闭区间3,0上的最大值、最小值分别是A.C.1,-13,-17.1,17.9,-194.若明A.2f(Xo-2.x)-f(Xo)=1,则f'(xo)=(2.曲线y=x3+px+q与x轴相切，则p与q之间的关系是(A(于十3C(E)22A.0C.-1C.5.设f(x)=x(1+x)，则f'(0)等于(.16.对任

2、意x,A.f(x)=xC.f(x)=x有fx)=4x3,f(1)=-14-23,则此函数为.f(x)=x4+2.f(x)=-x47.一物体的运动方程是s=1-t+t2,s的单位是米，t的单位是秒，该物体在3秒末的瞬时速8.度是(A. 7米/秒B. 6米/秒C. 5米/秒已知命题p：函数y=f(x)的导函数是常数函数，而命题D. 8米/秒p是命题q的必要不充分条件，则命题q不可以是(A.f(x)=1C.f(x)=2x.f(x)=x2,f(x)=1-x9 .若函数f(x)=x3+x2+mx+1是R上的单调函数，则实数m的取值范围是(.1A.(一,二)31C.二二)310 .函数y=xcosxsin

3、x在下面哪个区间内是增函数(1(一工)(-二J3).不存在3:A.(,-)B.(n,2n)3：5.、C.(,)D.(2二，3二)二、填空题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.13 .若函数f(x)=ax3+x恰有三个单调区间，则a的取值范围是.14 .若函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值为10,则2=4,b=11.15 .过抛物线y=x2-3x上一点P的切线的倾斜角为45°,它与两坐标轴交于A,B两点，则4AOB勺面积是16 .半径为r的圆的面积S(r)=nr2,周长C(r)=2nr,若将r看作(0,+oo)上的变量，则(冗r2)'=2nr，式可以用语

4、言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数.对于半径为R的球，若将R看作(0,+8)上的变量，请你写出类似于的式子：.式可以用语言叙述为：.三、解答题：本大题共5小题，每小题5分，共52分.15 .抛物线Ci:y=-x2与抛物线C2:y=x2-2ax(a>0)交于OA两点.(1)把两抛物线所围成的图形绕x轴旋转一周，求所得几何体的体积；若过原点的直线l与抛物线C2所所围成的图形的面积为9a3,求直线l的方程.16 .设函数f(x)=x(x-1)(x-a),(a>1)(1)求导数f/(x);并证明f(x)有两个不同的极值点Xi,X2；(2)若不等式f(x1)+f(x2)E0成立，求

5、a的取值范围.17 .已知ba1,c>0,函数f(x)=x+b的图象与函数g(x)=x2+bx+c的图象相切.(I)求b与c的关系式(用c表示b);(H)设函数F(x)=f(x)g(x)在(-°o,+=c)内有极值点，求c的取值范围.2018.已知f(x)=4x+axx(xwR)在区可1,1上是增函数.3(I)求实数a的值组成的集合A；1 C(II)设关于x的万程f(x)=2x+-x3的两个非零实根为Xi、x2.试问：是否存在实数m3使得不等式m+tm+1引Xi-X2|对任意aCA及tC1,1恒成立？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由.19. 2005年天津卷设函数f

6、(x)=xsinx(xwR).(I)证明f(x+2kgf(x)=2sinx,其中k为整数；4(H)设X0为f(x)的一个极值点,证明f(X0)2=x02；1X0(m)设f(x)在(0,+8)内的全部极值点按从小到大的顺序排列aa2,，an,，证明:二an1-an：二二(n=1,2,).兀20. （2006年浙江）已知函数f（x）=x3+x3,数列|xn|（xn>0）的第一项xn=1,以后各项按如下方式取定：曲线x=f（x）在（4书，f（xn书）处的切线与经过（0,0）和（xn，f（xn）两点的直线平行（如图）求证：当nwN*时,22(I)xn+xn=3xn书+2乂口.；（n）（；产&qu

7、ot;三（2广参考答案一、选择题：1 .B2.B3.C4.D5.B6.A7.C8.B9.C10.B.二、填空题：11 .(二,0)12 .a=4,b=1113 .81.1. (fnR3)'=4冗匕球的体积函数的导数等于球的表面积函数.3三、解答题：aoaaoo1k15 .V=n(x2ax)dx-n(x)dx=-an;直线l的方程为y=ax或y=-5ax16 .解：(I)f'(x)=3x2-2(1+a)x+a.令f(x)=0#方程23x-2(1a)xa=0.因A=4(a2-a+1)至4aA0,故方程有两个不同实根x1,x2不妨设x1：二x2，由f(x)=3(x-x1)(x-x2)

8、可判断f(x)的符号如下：当x：二x1时，f(x):0;当x1：x:x2时，f(x):0;当xx2时,f(x)0因此Xi是极大值点，x2是极小值点.(II)因f(x1)十f(x2)M0,故得不等式x；+x3-(1+a)(x；+x2)+a(x1+x2)<0.即(x1x2)(x1x2)2-3x1x2-(1a)(x1x2)2-2x1x2a(x1x2)-0.又由(I)知，2xX1+x2=(1+a),3ax1x2=.工3代入前面不等式，两边除以（1+a）,并化简得-22a-5a2_0.解不等式得a22或aw1(舍去)2因止匕，当a至2时,不等式f(x1)十f(x2)«0成立.1-b17.

9、 (I)依题意，令f'(x)=g'(x)，得2x+b=1,故x=.2由于f(12)=9(12),得(b+1)2=4c.b-1,c0,b-12.c.(H)F(x)=f(x)g(x)=x32bx2(b2c)xbc.F(x)=3x24bxb2c.令F'(x)=0,即3x2+4bx+b2+c=0.贝=16b2-12(b2c)=4(b2-3c).若=0,则F(x)=0有一个实根x0,且F'(x)的变化如下：x(fx。)x0(%,+如)F'(x)+0+于是x=x0不是函数F(x)的极值点.若下0,则F(x)=0有两个不相等的实根x1,x2(x1ex?)且F'

10、(x)的变化如下:xSx)x1(x1，x2)x2(乂2尸)F(x)+0一0+由此，x=x1是函数F(x)的极大值点，x=x2是函数F(x)的极小值点.综上所述，当且仅当也=0寸，函数F(x)在(血,收)上有极值点.由=4(b2-3c)>0#b<7金或b>v'3c.b-12c,-12c:.3cm£-12c3c.解之得0:二c二7-4.3或c7-4.3.故所求c的取值范围是(0,7-4,3)一(743,二).18. (I)*(x)=4+2ax-2x2,vf(x)在1,1上是增函数,.f/(x)>0Mx-1,1恒成立，即x2ax200对xC1,1恒成立.设中

11、(x)=x2ax-2,方法一：甲(1)=1-a-2<0,u1waw1,(P(-1)=1+a-2<0.对x-1,1,只有当a=1时,A=a|-1<a<1.方法二：a、八2'/uj或ICp(-1)=1+a-2<0f/(1)=0以及当a=-1时，fa-<0,2中(1)=1-a-2<0(1)=0u0<a<1或一10a<0u1<a<1.:对x-1,1,只有当a=1时，f/(1)=0以及当a=-1时，f/(1)=0.A=a|-1<a<1.,、r92Q_1<(H)由4x+axx=2x+x,得x=0，或xax2=

12、0,332_=a+8>0.x1,x2是方程x2ax2=0的两非零实根，x1+x2=a,从而|XiX2|=.(%X2)2-4xiX2=.a28.XiX2=2,*1wa01,|Xix2|=7a2+803.要使不等式ml+tm+11|XiX2|对任意aCA及tC1,1恒成立，当且仅当m+tm+1>3对任意tC1,1恒成立，即m2+tm20对任意tC1,1恒成立.设g(t)=n2+tm2=mt+(m22),方法一：2g(r1)=mm-2>0,J，、2一一g(1)=lm+m-2>0,um>2或m<2.所以，存在实数my使不等式m+tm+1|X1X2|对任意aA及tC1

13、,1恒成立，其取值范围是m|m>2,或-2.方法二：当m=0寸，显然不成立；当m0时，>0m<0二或，、22g(Q-1)=m-m-2>og(1)=m+m-2>0um>2或me2.所以，存在实数m使不等式m+tm+1|xiX2|对任意aA及tC1,1恒成立，其取值范围是m|m>2,或m<-2.19.(I)由于函数定义，对任意整数k,有fx2kdl-fx=x2k二sinx2k瘪)一xsinx=x2k二sinx-xsinx=2k二sinx(II)函数f(x六R上可导，f'(x)=xcosx+sinx令f'(x)=0,得：sinx=xco

14、sx若cosx=0,贝ljsinx=xcosx=0,这与cos2x+sin2x=1矛盾，所以cosx#0当cosx/0时，f'(x)=0=x=-tanx由于函数y=-x的图象和函数y=tanx的图象知，f'(x)=0有解。224x°tan%-2二21tanx01x02222.2x。sinx。当f'(%)=0时,fx0=x0Sin'=2-sinx0cosx0(m)由函数y=x的图象和函数y=tanx的图象知，对于任意整数k,在开区间(,21Tku+)内方程-x=tanx只有一个根x0,2当xkn一二,x0)时，-x>tanx,当x亡(x0,kn二)

15、时，一xctanx22而cosx在区间(kn，kn+色)内，要么恒正，要么恒负2 2因此xe(k-2,%)时f'(x0)的符号与x三(,kn-；)时f'(%)的符号相反综合以上，得：f'(x)=0的每一个根都是f(x)的极值点由-x=tanx得，当x>0时,冗tanx<0,即对于x0>0时，x0W(kn-,kn)(YN+)综合、:对于任意nWN+nn-'<an<nn23二由：nn金<an<nn和(n+1)5<an+<(n+1尸，得：<an+-an<-又：tanan1-an=tanan1tanan"an1-"anan1一an1tanan1tanan1a1-an1an冏3 二但nWayan<5时，tan（an+-an）>0综合、得：（<an书一an<n20.解（I）因为f'（x）=3x2+2x所以曲线y=f（x）在（Xn书，f（Xn书）处的切线斜论kn书=3x2书+2Xn书因为过（0,0）