整理函数凹凸性的应用

1、函数凹凸性的应用什么叫函数的凸性呢？我们先以两个具体函数为例，从直观上看一看何谓函数的凸性.如函数y=JX所表示的曲线是向上凸的，而y=x2所表示的曲线是向下凸的，这与我们日常习惯上的称呼是相类似的.或更准确地说：从几何上看，若y=f(x)的图形在区间I上是凸的，那么连接曲线上任意两点所得的弦在曲线的上方；若y=f(x)的图形在区间I上是凹的，那么连接曲线上任意两点所得的弦在曲线的下方如何把此直观的想法用数量关系表示出来呢？设函数f(x)在区间上是凸的(向下凸)，任意x1，x2*1心x2).曲线y=f(x)上任意两点(1，(l),(1，(l)之间的图象位于弦AB的下方，即任意x(x1，x2),

2、f(x)的值小于或等于弦AB在x点的函数值，弦AB的方程f(x2)-f(xi)/y=-(x-xi)f(xi)x2-xi.对任意x(xi,x2)有，整理得f(x)三"xf(xi)xx1f(x2)x2-xix2-xi.t=(x2-x)x-Xi=1t令x2xi，则有0MtMi,且x=txi+(it)x2,易得x2xi，上式可写成ftxi(i-t)x2Mf(xi)(i-t)f(x2)1.1凸凹函数的定义凸性也是函数变化的重要性质。通常把函数图像向上凸或向下凸的性质，叫做函数的凸性。图像向下凸的函数叫做凸函数，图像向上凸的函数叫做凹函数。设f:ITR,若&X1，X2wNkw01,不等式

3、£（，哎1+（1九改2产£“*）+（1一九）,我2）成立,（1）则称f为I上的凸函数。若一°，1，X1X2,不等式f（九X1+（1-九坟2）<fX1广（1一九）f（X2）则称f为I上的严格凸函数。若（1）与（2）式中的不等式符号反向，则分别称f为I上的凹函数与严格凹函数。显然，f为I上的（严格）凸函数uf是（严格）凸的。因此，只要研究凸函数的性质与判别法，就不难得到凹函数的相应的判别法。直接用定义来判别函数的凸性是比较困难的，下面的等价命题可以提供给我们判别函数凸凹性的一些依据：若f（x）WCa，bl在（a，b）内二次可微，则下面关于凹函数的四个命题等价：1

4、.f:ItR，右Vx1，X2匚I，V九w。1，不等式f（九X1+0九）x2）£九,（X1）*（1九）f（x2）成乂O其几何意义是“现在曲线的上方”；2. f（X户f（Xo）+f*（XoXXXo）,VXoea，b其几何意义是“切线在曲线的下方”；3. f”（X旺la，b】上单调递增；4. fX0定义2设曲线y=f（x）在点（Xo,f（X0）处有穿过曲线的切线，且在切点近旁，曲线在切线的两侧分别是严格凸或严格凹的，这时称（Xo,f（Xo）为曲线y=f（x）的拐点.必须指出；若（，f（xo）是曲线y=f（x）的一个拐点，y=f（x）在点Xo的导数不一定存在，如y=3X在x=o的情形.1.2

5、凸函数的特征引理f为I上的凸函数已对于I上任意三点X1<X2<X3总有:f(X2)-f(X1).=f(X3)-f(X2)X3-X2X2-X1f（x）严格凸函数U上式严格不等式成立X3-X2X2-Xi-2f(Xi)-1X3-X1，则0<九<1及X2=hXi+(1h)X3,由f的凸性知f(X2)-if(xi)(1-)f(X3)X3-X1X3-Xi(4)从而有(X3-Xi)f(X2)<(X3-X2)f(Xi)(X2-Xi)f(X3)即(X3-X2)f(X2)(X2-Xi)f(X2)<(X3-X2)f(Xi)(X2-Xi)f(X3)整理即得(3)式.UVX1,X3=

6、I(Xi<X3),V九w(0,i)记X2=?，.Xi+(i九)X3，则Xi<X2<X3,X2-Xi由必要性的推导步骤可逆，从(3)式便得(4)式.故f为凸函数.同理便知，曲线上首尾相连的线，其斜率是递增的，即Tx*2,必E1,Xi<X2<刈，有f(X2)-f(Xi):二f(X3)-f(Xi)f(X)严格凸函数U上式严格不等式成立.定理设丁为开区间I上的凸函数.若比则/在°上满足利普希茨条件，且了在？上连续.证明(证明开区间1上的凸函数必为连续函数)当取定匚'后，由为开区间，必可选取'中的四点小瓦小d满足:如图所示再在",切中任取

7、两点*'或*<'>.应用引理得到IIIIIIIIIINdfI一>LL-p-,A0aM表4xP了一）一一g）E-（V）-/（十）：一了二）b-a工"一/d-c.令归.巴*则一E一总工七皿切,显然，上述L与仪中的点无关，故/在/上的每个内闭区间仪，6上满足利普希茨条件.由此容易推知在第用上连续，再由妣6在上的任意性，又可推知/在上处处连续.如果f是I上的可导函数，则进一步有：1.3、 凸函数与导数的关系定理1（可导函数为凸函数的等价命题）设f为区间I上的可导函数，则下述论断互相等价：（1）f为I上的凸函数；（2）f'为I上的增函数；（3）I上的任

8、意两点x1,x2总有f（X2）-f（Xi）f（Xi）（X2-Xi）证（i）二（ii）寸外强£E<无2,并取人;。，使x耳+山到一A工2据定理3.12,有了（句+幻一/（石）</（5一/（用）（-2）一/（冷一gh打一工h由丁可微，当归一口时,对上述不等式取极限后，得到所以是I上的递增函数.（ii） =（iii）父孙X匚由微分中值定理和/''递增，便可证得/（&）=/）（-一9:，（沏加一题）当了碣时，也有相同结论.（iii） =（i）”"九次三（。，1）,并记町=入网+（1一%”2,则有用一门=（1-九）01-冷）4一叼=九（也一利）,由

9、（iii）可得,6）2/（蹲）+/（叼）5-叼）=力>?）+。f）/（犯）町），（八#2）"（电）+/5）氏一的）=八门）+夕（町）每一位），nVSA0-入）（初2人叼）7（烟+Q-入）为）.注定理中（iii）的几何意义如下图所示：曲线）'工上任意一点处的切线恒位于曲线的下方在产为可微的前提条件下，常用上述切线与曲线的位置关系（iii）来表述凸函数.但是在没有可微条件假设时，凸函数只能用曲线与其任一弦的位置关系（定义1）来定义.如果f在I上二阶可导，则进一步有：定理2（凸函数与二阶导数的关系）设f为I上的二阶可导函数，则在I上f为凸（凹）函数uf”（x）>0（f&

10、quot;（x）<0），xWI.f为严格凸U1）f（x）-0；2）f（x）不在I上的任一子区间上恒为零.此定理说明：f为严格凸，则曲线中不含有直线段（f"（x）=0）.对于凹函数情形，也有类似的定理(因为f凸，则一f凹).可导函数f有如下相互等价的论断：1) f为I上凹函数.f(X2)-f(Xi)f(X3)-f(x2)2) Vxl，X2，X3E1,Xi<X2Cx3有X2-x1x3-X2.即割线斜率递减.3) f(X)为I上递减函数.4) VX。*1,有f(X)Wf(%)*f'(Xo)(x-xo),xW|.当|上二阶可导时，下述论断与1),2),3),4)相等价.5

11、)在I上f”(x)E0.对严格凹的情形可类似得出等价论断.二、拐点定义2设曲线y=f(x)在点(x0,f(X0)处有穿过曲线的切线，且在切点近旁，曲线在切线的两侧分别是严格凸或严格凹的，这时称(x。，f(x0)为曲线y=f(x)的拐点.(即为曲线凹凸部分的分界点)必须指出；若(X。，f(X0)是曲线y=f(X)的一个拐点，y=f(x)在点X0的导数不一定存在，如y=W在x=0的情形.定理3(拐点必要条件)若f在x0二阶可导，则(X0,f(x0)为曲线y=f(x)的拐点的必要条件是f(X0)=0.综上知：(x0,f(x0)的拐点，则要么(1)f"(x0)=0;要么(2)f在x0点不可导

12、.定理4设f在点x0可导在某邻域U(%)内二阶可导，若在Ux0)和Ux0)上f"(x)的符号相反，则(X0,f(x0)为曲线y=f(x)的拐点.例1讨论函数f(x)=arctanx的凸性与拐点2x(1*X2)2,因而当XE0时，f(x)之0当x±0时，f(x)*0,从而函数f为(一巳0上的凸函数，在M")上为凹函数.而f(x)在原点连续，故原点为曲线y=f(x)的拐点例2若f在(a,b)内可导、凸(凹)函数，则X0匚(a，b)为f的极小(大)值点Uf(X0)=0.即x0为f的稳定点.证二)费马定理.u)因f凸，故Vxw(a,b)有f(x)之f(X。)+f'

13、(xo)(x-xo).因f'(%)=0，故Vxya,b)总有f(x)f(xo).即x。为f的极小值点.例3设f在开区间I上为凸(凹)函数，证明f在开区间I内任一点x。都存在左、右导数.证只证凸函数f在x。存在右导数，其它情形同理可证.令0<hich2,记xi=x。+%,x2=x。+h2则x。<xex2（取|h2|充分小使x。+h2I）由(3)式得:f（x。几）一f（x。）二f（x。h2）-f（x。）hih2F（h）=f（x。h）-f（x。）（h。）则有F(h2)WF(hi)即F(h)为单调递增函数.取X4匚1且x4'X。，则f（x。）-f（x4）:.f（x。h）-f

14、（x。）Xo-x4从而F(h)递增有下界，从而h3+F(h)存在，即用X。)存在.注对区间端点，左、右导数可能存在，也可能为00.由第五章§1习题10知(若f在Xo的左、右导数都存在，则f在x。连续)，若f在为开区间(a，b)内的凸(凹)函数，则f为(a，b)内的连续函数.(但不一定可导，如f(x)lx|)三.凸凹性的应用了解函数凸凹性的判别依据后，我们更在乎在应用领域，它所发挥的重要而广泛的价值。3.1凸凹性质的应用例题4设f(x),g(x)为(a,b壮:的凹函数，求证：h(x)=max(f(x),g(x).也是(a,b声的凹函数。证：设t1，t2>。，t1+t2=1则对VX

15、1，X2l£(a,b1有g(tixi+t2x2)<tig(xi)+t2g(x2)wtih(xi)+t2h(x2)由此推出htixit2x2=max(ftixit2x2，gtixi42x2)-tih(xi)t2h(x2)，由凹函数的定义，即知h(x)是(a,bA的凹函数。命题设6(x)为区间a,bl上得二阶可导函数，如果有*iw(x)>0,那么*IZkxk般6(xk)其中人是正数，k=i,2,3LJn;且z九k=i.n证明记V=E兀V，那么有泰勒公式得x。'kxkkik,kM,2l，nixk-x。=x-x。x。二xk-x。2xkx。山人)对£Ek卜正毕.k

16、i其中，k是在xk，x。之间的一个常数，由题设1福(x)20,于是E£G(x)>*iS九kxk+£K(k=1lk=!/k=!特别地，我们可以有如下推论。推论设金(x)为区间b,b】上连续，(a,b)内二阶可导函数，且十树(x)之0,id-cdff(x)dx<设f(x墀区间IC,d上的可积函数，aEf(x)Eb,那么有id例心。d-ccc对于函数凸凹性的应用另一个方面是在不等式中，而实际中凸函数在不等式中的证明是最常见的。_.1ci例题5设f枷(x)<。，证明f(xn)dx<-f-。n证明由f椭(x)<。知，一f(x)是一个凸函数，而xn是一个i

17、i正值函数且满足OEx”Mi,于是由上面的结果知f(xn)dx=ff(xndx。1化简得fxn0)dX<ff(XnWX=f1I-(证毕。InJXy-1xy、例6证明：对vx,yRR，有不等式e2<-(e+ey).2例7设Xi>0(i=1，2,川,n),则n11十十X1X2-nXiX21l|Xn<IH-XnX1X2IIIXn当且仅当所有X全相等时等号成立.证所有Xi全相等时，等号显然成立.只须证Xi不全等时，有严格不等号成立即可.取f(x)=-1nx，则f在(0,F上严格凸，由例4知X1X2Xn.n1.,j-In<一(1nx)=-1n(xx2lxn)ni1n1n&#

18、39;%一”.in。菽而；即n-因1nx严格增，故有X1"2I""nX1X2HIXnn1又Xi不全等nXi不全等，故n1x-,txTn-n11(-in)=-ini1nx1nX1X2IHXn所以:二nX1X2|l|Xn3-3例8在/ABC中，求证sinA+sinB+sinCE2解考虑函数f(x)=sinx,0ExMn.f"=-sinx<0,0<xn.nsinx在区间(0,n)内凹，由Jensen不等式，有sinAsinBsinCf(A)f(B)f(C)rABC.二3=<fii=sin=33332sinAsinBsinC_3.34.1多元函

19、数凹凸性的几个定义6/'''定义4.1.1设D是n维空间的一个区域，若p(Xi,X2,.,Xn)uD,p匚(Xi,X2,.,Xn)uD则''(1)设fXy总能分解成''''''fXy=±Jg(X,y).h(X,y),fxx目g(x,y),fyy之h(x,y)(f。Mg,fyy<-h),则f(x,y)在d上是凹(凸)的；-(2)设(1)的条件成立并且关于fxx,fvv的两个不等式中，xxyy'''Q(XiMXi-X),X2-1(X2-Xi),.,XnMXn-Xn)D,则

20、称D是凸函数，否则称D为凹函数。定义4.1.26设f(p)是定义在凸函数D上的函数,口国1.2,.,刈)，P2(Xi2,X22，Xn2)是D上的任意Xn1,Xn2)2人x/X11X22X21x22两点，记P0=(_22,上一2222一11一(1)若恒有2f(R)+f(P2)之f(P0)(2f(Pi)+f(P2)«f(P0)，且等号不恒成立,则称f在D上是凹(或凸)的(2)若，f(R)+f(P2)Af(P0)(；f(P1)十f(P2)<f(p。)，则称f在D上是严格上的凹(或凸)的。1-(3)若31f(P1)+f(p2)=f(p0)，则称在D上是线性的，则称f在D上是线性的。这两

21、种定义是等价的在二元函数中，设D是2维空间的一个区域，若P(Xi,X2)亡D,p亡(Xi,X2)WD则由定义一知(1)设fxy总能分解成'fxy=±Jg(x,y).h(x,y),fxx>|g(x,y),fyy>h(x,y)(fxx<-g,fyyEh),则f(x,y)在d上是凹(凸)的；(2)设(1)的条件成立并且关于fxx,fyy的两个不等式中，'.'Q(x1+9(x1-x1),x2+e(x2_乂2)uD,则不D是凸函数，否则称D为凹函数。由定义二知设f(p)是定义在凸函数D上的函数p1(x11,x12),p2(x12,x22)是D上的任意两

22、点，记"x22%x22(1)若恒有21f(P1)f(P2)-f(P0)(f(P1)f(P2)"f(Po),且等号不恒成立,则称f在D上是凹(或凸)的(2)若2f(P1)+f(P2)”f(Po)(gf(P1)f(P2)：二f(Po),则称f在D上是严格上的凹(或凸)的(3若&f(P1)十f(P2)=f(Po)，则称f在D上是线性的例如三元函数f(x,y,z)=Jxyz就是一个凹函数4.2多元函数凹凸性的几个判定定理定理4.2.18设f(x,y)是凸区域D上具有二阶连续偏导数的二元函数，记2A=fxx(x,y),B=fxy(x,y),C=fyy(x,y),A=B-AC,右C£0且不恒为0,那么，当Aa0或CA0,函数f在D上上凹，当A>0或C<0,函数f在D上上凸，若<0当A>0或C>0,函数f在D上是凹的，当A<0或C<0,函数f在D上上凸证明:任取pi(xi,yi),P2(X2,y2)wD/己Po(Xo,yo)=(XiX2y1y2''f(Pi)=f(Po)(X-Xo)fx(Po)(yi-yo)fy(Po)2Mi),由泰勒公式f(P2)=f(Po)(X2-Xo)fX(Po