离散型随机变量的均值

1、江苏省南菁高级中学江苏省南菁高级中学1 1、什么叫、什么叫n n次独立重复试验？次独立重复试验？一一. .复习复习其中其中0p1,p+q=1,k=0,1,2,.,nP(Xk)pkqnkCkn则称则称X服从参数为服从参数为n，p的二项分布，记作的二项分布，记作XB(n，p)一般地，由一般地，由n次试验构成，且每次试验互相独立次试验构成，且每次试验互相独立完成，每次试验的结果仅有两种对立的状态，即完成，每次试验的结果仅有两种对立的状态，即A与与，每次试验中，每次试验中P(A)p0。称这样的试验为。称这样的试验为n次独立次独立重复试验重复试验，也称，也称伯努利试验伯努利试验。A1).每次试验是在同样

2、的条件下进行的每次试验是在同样的条件下进行的;2).各次试验中的事件是相互独立的各次试验中的事件是相互独立的3).每次试验都只有两种结果每次试验都只有两种结果:发生与不发生发生与不发生4).每次试验每次试验,某事件发生的概率是相同的某事件发生的概率是相同的.2 2、什么叫二项分布？、什么叫二项分布？一般地，设离散型随机变量一般地，设离散型随机变量可能取的值为可能取的值为x x1 1，x x2 2，x xi i，取每一个值取每一个值x xi i(i(i1 1，2 2，)的概率的概率P(P(x xi i) )p pi i，则称下表，则称下表为随机变量为随机变量的概率分布，的概率分布， 由概率的性质

3、可知，任一离散型随机变量的分布由概率的性质可知，任一离散型随机变量的分布列都具有下述两个性质：列都具有下述两个性质：(1)p(1)pi i00，i i1 1，2 2，；(2)p(2)p1 1p p2 21 13 3、离散型随机变量的概率分布、离散型随机变量的概率分布x1x2xiPp1p2pi1 1、某射手射击所得环数、某射手射击所得环数的分布列如下的分布列如下：能否估计出该射手能否估计出该射手n n次射击的平均环数？次射击的平均环数？二二. .问题问题2 2、甲、乙两个工人生产同一产品，在相同的条件下，、甲、乙两个工人生产同一产品，在相同的条件下，他们生产他们生产100100件产品所出的不合格

4、品数分别用件产品所出的不合格品数分别用X X1 1，X X2 2表表示，示， X X1 1，X X2 2的概率分布下的概率分布下：X10123pk0.70.10.10.1X20123pk0.50.30.20如何比较甲、乙两个工人的技术？如何比较甲、乙两个工人的技术？45678910p0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.221 1、在、在n n次射击之前，虽然不能确定各次射击所得的环数，次射击之前，虽然不能确定各次射击所得的环数，但可以根据已知的分布列估计但可以根据已知的分布列估计n n次射击的平均环数根据次射击的平均环数根据这个射手射击所得环数这个射手射击所得环数的

5、分布列，他在的分布列，他在n n次射击中，预次射击中，预计有大约计有大约P(P(4)4)n n0.02n 0.02n 次得次得4 4环，环，P(P(5)5)n n0.04n 0.04n 次得次得5 5环，环，P(P(10)10)n n0.22n 0.22n 次得次得1010环环n n次射击的总环数约等于次射击的总环数约等于4 40.020.02n n5 50.040.04n n10100.220.22n n(4(40.020.025 50.040.0410100.22)0.22)n n，从而，从而，n n次射击的平均环数约等于次射击的平均环数约等于(4(40.020.025 50.040.04

6、10100.22)0.22)n nn n8.328.3245678910p0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22一般地，若离散型随机变量一般地，若离散型随机变量X X的概率分布为的概率分布为 则称则称 E(X)E(X)x x1 1p p1 1x x2 2p p2 2x xn np pn n为为X X的的均值均值或或数学数学期望期望，记为，记为E(X)E(X)或或Xx1x2xnPp1p2pn类似地，对任一射手，若已知其射击所得环数类似地，对任一射手，若已知其射击所得环数X X的分的分布列，即已知各个布列，即已知各个P(XP(Xi)(ii)(i0 0，1 1，2 2，

7、10)10)，则可预计他任意则可预计他任意n n次射击的平均环数是次射击的平均环数是E(X)E(X)0 0P(XP(X0)0)1 1P(XP(X1)1)1010P(XP(X10)10)我们称我们称E(X)E(X)为此射手射击所得环数为此射手射击所得环数X X的期望，它刻划了的期望，它刻划了随机变量随机变量X X所取的平均值，从一个方面反映了射手的射所取的平均值，从一个方面反映了射手的射击水平击水平其中其中p pi i00，i i1,2,n1,2,n；p p1 1p p2 2p pn n1 1E(XE(X1 1) )0 00.70.71 10.10.12 20.10.13 30.10.10.60

8、.6E(XE(X2 2) )0 00.50.51 10.30.32 20.20.23 30 00.70.7对于问题对于问题2由于由于E(X1)E(X2)，即甲工人生产出废品数的均值小，即甲工人生产出废品数的均值小，从这个意义上讲，甲的技术比乙的技术好。从这个意义上讲，甲的技术比乙的技术好。例例2 2 从批量较大的成品中随机取出从批量较大的成品中随机取出1010件产品进行质件产品进行质量检查，若这批产品的不合格品率为量检查，若这批产品的不合格品率为0.050.05，随机变，随机变量量X X表示这表示这1010件产品中的不合格品数，求随机变量件产品中的不合格品数，求随机变量X X的数学期望的数学期

9、望E(X)E(X)例例1 1 高三高三(1)(1)班的联欢会上设计了一项游戏，在一个班的联欢会上设计了一项游戏，在一个口袋中装有口袋中装有1010个红球，个红球，2020个白球，这些球除颜色外个白球，这些球除颜色外完全相同。某学生一次从中摸出完全相同。某学生一次从中摸出5 5个球，其中红球的个球，其中红球的个数为个数为X X，求，求X X的数学期望的数学期望练习：练习：1、已知随机变量、已知随机变量 的分布列为的分布列为012345P0.10.20.30.20.10.1求求E( )2、抛掷一枚硬币，规定正面向上得、抛掷一枚硬币，规定正面向上得1分，反面向分，反面向 上得上得1分，求得分分，求得分X的数学期望。的数学期望。 2.303、随机抛掷一个骰子，求所得骰子点数、随机抛掷一个骰子，求所得骰子点数X的数学的数学期望期望E(X