数学分析2连续函数的性质习题

1、第四章函数的连续性2连续函数的性质(练习)1、讨论复合函数f(g(x)与g(f(x)的连续性，设(l)f(x)=sgnx,g(x)=l+x21(2)f(x)=sgnx,g(x)=(l-x2)x.解：<f(g(x)二尸L是连续函数.又g(f(x)=l+(sgnx)y：:竦，.义二。是g(f(x)的可去间断点，其余点处处连续.IJL,X-U(1,共一1或0410,乂=0或入=±1，-1,-iv4<0或x>i-e-x=0和乂=±1是f(g(x)的跳跃间断点.又g(f(x)=l-(sgnx)2x=0,幽x)是连续函数.2、设f,g在点勺连续，证明：若f(xo

2、87;g(xo),则存在U(xo,3),使在其内有f(x»g(x)i(2)若在某山的)内有f(x)>g(x),则依户虱5).11：(l)Vf(xo)>g(xo),设沁凡与皿>0,“在点却连缘，Hmf(x)=f(x。2乂Fo即对。o，有使当|xxo|v8时,即有用x卜f(xo)|v£o=g>)；k),同理时Eo，有§2>0,使当卜-刈卜与时，就有|g(x卜g(xb)|<£0fx取6=min(50力),则当|xxo|<3时,就有|f(x)f(xo)|+|g(x)g(xoM<f(xo卜g(xo),又也“)外):观

3、幻同日|胭4%)|+怆3包4)|,1伍卜胭+8但七的卜他博的)，化简得f(x)>g(x),xGU(x0,S).(2)若仅)%(4)，由仕)可知存在某时叫5),使f(x)g(x),这与题设f(力g(x)矛盾;/.f(xa)g(xo).3、设加在区间I上连续，记Rx)=maxf(x),g(x),G(x)=minf(x),g(x).证明F和G也都在I上连续.证，F(x)=maxf(x),g(x)4f(x)+g(x)+|f(x)-g(x)|;第四章函数的连续性2连续函数的性质(练习)1、讨论复合函数f(g(x)与g(f(x)的连续性，设(1)f(x)=sgnxg(x)=1+J;(2)f(x)=s

4、gnxg(x)=(1-4)x.解:(1),f(g(x)=sgn(1+x)三1,；f(g(x)是连续函数.又g(f(x)=1+(sgnx2=,；x=0是g(f(x)的可去间断点，其余点处处连续或.f(g(x)=sgn(1-«)x=或，或x=0和x=±1是f(g(x)的跳跃间断点.又g(f(x)=1-(sgnx2x三0,g(f(x)是连续函数.2、设f,g在点xo连续，证明：若f(xo)>g(x),则存在U(xo,6),使在其内有f(x)>g(x);(2)若在某Uxo)内有f(x)>g(x),则f(xo户g(xo).证：(1).f(xo)>g(x),设e

5、0=>0,f在点xo连续，=f(xo),即对e0,有61>0,使当|x-x0|<61时，就有|f(x)-f(x0)|<£0=,同理对£0,有占2>0,使当|x-x0|<62时，就有|g(x)-g(x0)|<£0=,取6=min(61,62),则当|x-x0|<6时，就有|f(x)-f(x0)|+|g(x)-g(x0)|<f(x0)-g(x),又f(x0)-f(x)+g(x)-g(x)w|f(x)-f(x0)|+|g(x)-g(xo)|,f(x0)-f(x)+g(x)-g(x)<f(x0)-g(x),化简得

6、f(x)>g(x),xU(xo,6).若f(x0)<g(x),由(1)可知存在某U(xo,6),使f(x)<g(x),这与题设f(x)>g(x)矛盾;f(x0)>g(x0).3、设f,g在区间I上连续，记F(x)=maxf(x),g(x)G(x)=minf(x),g(x).证明F和G也都在I上连续.证：F(x)=maxf(x),g(x)=f(x)+g(x)+|f(x)-g(x)|；G(x)=minf(x),g(x)=f(x)+g(x)-|f(x)-g(x)|.f,g在区间I上连续，|f(x)-g(x)|在区间I上连续，F和G也都在I上连续.当4、设f为R上的连续函

7、数，常数c>0,记F(x)=当当证明：F在R上连续.证1:函数F等价于F(x)=max-c,minc,f(x)Vf(x)和y=c在R上连续，minc,f(x)在R上连续；又y=-c在R上连续，F(x)=max-c,minc,f(x)在R上连续.证2:函数F等价于F(x)=|c+f(x)|-|c-f(x)|,f(x)在R上连续，|f(x)土c|在R上连续；，F(x汽R上连续.5、设f(x)=sinx,g(x)=证明：复合函数f(g(x)在x=0连续，但g在x=0不连续.证：f(g(x)=.f(g(x)=-sinx在x=0连续.又=-tt,=兀，；g在x=0不连续.6、设f在a,+%上连续，

8、且存在.证明：f在a,+”)上有界，又问f在a,+”)必有最大值或最小值吗？证：设=A,对任给的正数£,有正数b,使x>b时，有|f(x)-A|<£,即A-e<f(x)<A+e.f在b,+%上有界.若b&a,则+泡？0+叫,.f在+多上有界.若b>a,则a,b?a,+叫,f在a,+叫上连续,f在a,b上连续,f在a,b上有界.f在a,bUb,+3=a,+oc)上有界.f在a,+”)一定有最大值或最小值。f在闭区间a,b?a,+S上连续，；f在a,b上有最大值M和最小值m.若M>A+£,则M为f在a,+°<

9、)上的最大值；若m&A-e,则m为f在a,+°<)上的最小值；若M<A+£且m>A-£,则M>A-£且m<A+£,取em=M-(A-£)=M-A+£>0,有正数c,使x>c时，有|f(x)-A|<£m=M-A+£,即A-(M-A+£)<f(x)<A+(M-A+£)=M+£.由e的任意性可知f(x)&M,又f在b,c上有最大值N,取XM=max(M,N),则xm为f在+叫上的最大值；取em=A+e-m&

10、gt;0,有正数d,使x>d时，有|f(x)-A|<£m=A+e-m,即A+(A+e-m)>f(x)>A-(A+e-m)=m-e.由&的任意性可知f(x)>m,又f在b,d上有最小值n,取xm=min(m,n),则xm为f在+叫上的最小值.M>m>A+£,则f在a,+多上有最大值，不一定有最小值.若A-e>M>m,则f在a,+“)上有最小值，不一定有最大值.f在a,+叫一定有最大值或最小值。7、若对任何充分小的e>0,f在a+e,b-e上连续，能否推出f在(a,b)内连续.解：能.若f在(a,b)内不连续，

11、则必'存在间断点xo(a,b).记x0=a+m=b-n,<e>0充分小，,.a+m>a+£,b-n0b-e,即xoCa+e,b-e,；f在a+e,b-e上不连续，这与题设矛盾，；f在(a,b)内连续.8、求极限：(1)tanx；(2).解：(1)tanx=tanx=.=一.9、证明：若f在a,b上连续，且对任何xCa,b,f(x)w0,则f在a,b上恒正或恒负.证：若f在a,b上不恒正或不包负，则必存在xi,x2a,b,使f(x1)>0,f(x2)<0,又f在a,b上连续，必有x(Xi,x2),使f(x)=0与题设矛盾.，f在a,b上恒正或恒负.

12、10、证明：任一实系数奇次方程至少有一实根.证：设aox2n+1+aix2n+-+a2nX+&n+1=O(合乎0)为一实系数奇次方程且记函数f(X)=aox2n+1+ax2n+.+a2nX+92n+1,则f(x)在R上连续.当a0>0时,=+oo,根据根的存在性定理可知，方程在同理，当aov。时，=-foo,根据根的存在性定理可知，方程在11、试用一致连续的定义证明：若致连续.证：二19都在区间I上一致连续,使对任何x：x”CI,只要|x'-X"*S1只要|x'-X”+52,就有|g(x)-g(x”)|v=8,.有a>b,>f(a)>0

13、,f(b)<0,b,a上至少有一个实根.=oo,.有a>b,使f(a)vO,f(b)>0,a,b上至少有一个实根.f,g都在区间I上一致连续，则f+g也在I上对任给的£>0,分别存在正数0和62,，就有|f(x)-f(x")|v上；取5=min(61,S2),则只要|x'-x”中6,就有|f(x)-f(x")|+|g(x)-g(x")|v£,又I任(x)+g(x)Hf(x")+g(x")|=|任(x)-f(x")+g(x)-g(x")|&|f(x)-f(x"

14、;)|+|g(x)-g(x")|,:对任给的e>0,有正数6,对任何X：X”GI,只要|x'-X”公，就有I任(x')+g(x)Hf(x")+g(x")|v£,.f+g也在I上一致连续.12、证明f(x)="在。+%上一致连续.证：.f(x)="在0,+%连续，故对任意a>0,f(x)在0,司上连续，且一致连续.?£>0,总？1>0,使任意x：x”CO,a,当|x-x"|<S1时,有|f(x)-f(x”v£.又对任意x：x"Ca,+夕，要使|二一|=

15、一v£,只要取82二£二则只要|x'-x”|v州时，就有|二一|v£.取6=min(M62,-)，当任意x；x"C0,+多且|x'-X”|v6时，总有x；x”C0,a或x；x"C-,+吟,有|-|<£.f(x)=在0,+多上一致连续.13、证明：f(x)=x2在a,b上一致连续，但在(-"+多上不一致连续.证：？e>0,对任意xi,x2a,b,要使|xi2-x22|=|xi+x2|,|xi-x2|<2max(|a|,|b|)|xi-x2|<e.只要取6=,则当|xi-x2|<6时

16、，就有|f(xi)-f(x2)|<e,f(x)=x2在a,b上一致连续。取&0=i,不管正数6多么小，只要n充分大，总有x'=n,x',=n,使|x'-x”|=-<6,而|f(x)-f(x")|=-=2>£0,f(x)=x2在(-%+)上不一致连续.14、设函数f在区间上满足利普希茨条件，即存在常数L>0,使彳导对I上任意两点x',x"都有|f(x)-f(x")|&L|x'-x”|证明f在I上一致连续.证：？e>0,总有正数6=一，使I上任息两点x,x,当|x-x<

17、;6时，就有|f(x)-f(x")|wL|x'-x"<L6=e.f在I上一致连续.15、证明sinx在(-°o+多上一致连续.证：？e>0,对任意x；x”(-00+oc),要使|sinx'-sinx”|&|x'-x”|<£,只需取6=e,则当|x'-x”|<6时，就有|sinx'-sinx”|<£,sinx在(-七+内上一致连续.16、设函数f在a,+”)上连续，且存在.证明：f在a,+“)上一致连续.证：？e>0,V存在，；？Z>a,使当x'&g

18、t;Z,乂”>2时，恒有|f(x)-f(x")|<£.又f(x)在a,Z+1上连续，.?6'>0,使当x：x"a,Z+1,|x'-x”|<6时，何有|f(x)-f(x")|<e.取6=min(Z,6'),则当x,x"£a,+吟,|x'-x”|<6时，有x；x"Ca,Z+1,或x'>Z,x”>Z,恒有|f(x)-f(x")|<£.f在a,+叫上一致连续.17、设函数f在0,2a上连续,且f(0)=f(2a).证明：

19、存在点xo0,a,使得f(xo)=f(xo+a).证：记F(x)=f(x)-f(x+a)-f在0,2a上连续，.f(x+a心-a,a上连续，F(x而0,a上连续.又F(0)=f(0)-f(a),F(a)=f(a)-f(2a)=f(a)-f(0)当f(0)=f(a)时，F(0)=F(a)=0当x0=0或x0=a时，x0C0,a,且F(x)=f(x0)-f(x0+a)=O,即f(x0)=f(x0+a);当f(0)wf(a)时，F(0)-F(a)<0,根据根的存在性定理，有x0C0,a,使F(x)=f(x0)-f(x0+a)=0,即f(x0)=f(x0+a).存在点x00,a,使得f(x0)=

20、f(x0+a).18、设f为a,b上的增函数，其值域为f(a),f(b),证明f在a,b上连续.证：设x0e(a,b)是f(x)的间断点，:f(x)递增，x0是f(x)的第一类间断点，f(x0-0)与f(x0+0)都存在，且f(x0)-f(x0-0)与f(x0+0)-f(x0)中至少有一个大于0.若f(x0)-f(x0-0)>0,由f的单调性可知：当a&x<x时,f(x)<f(x0-0)；当x0<x<b时,f(x)>f(x0),即f(x)不能取f(x0-0)与f(x0)之间的实数，这与f(x)的值域为f(a),f(b)矛盾；若f(x0+0)-f(x0)>0,由f的单调性可知：当a&x<x时,f(x)<f(x0)；当x0<x<b时,f(x)>f(x0+0),即f(x)不能取f(x0)与f(x0+0)之间的实数，这与f(x)的值域为f(a),f(b)矛盾；小C(a,b)不可能是f(x)的间断点，即f(x)在(a,b)上连续.若f(x)在点a不是右连续，则f(a+0)-f(a)>0,又任意x(a,b有f(x户f(a+0),即f(x)不能取f(a)与f(a+0)之间的实数，这与f(x)的值域为f(a),f(b)矛盾；若f(x)在点b不是左连续，则f(b)-f