数列解题技巧归纳总结---好

1、数列解题技巧归纳总结一好（5份）知识框架数列的概念函数角度理解数列的分类数列的通项公式数列的递推关系数列等差数列两个基本数列等比数列等差数列的定义an等差数列的通项公式等差数列的求和公式等差数列的性质an等比数列的定义刍-an1等比数列的通项公式a等比数列的求和公式San1amq(nd(n2)a1(n1)dn,、2(aian)apaq(mn(n1)d2q)2)aqn1由anqa1(11qnai(q1)nq)/(q1q1)等比数列的性质anamapaq(mnpq)公式法分组求和数列求和错位相减求和裂项求和倒序相加求和累加累积归纳猜想证明数列的应用?付款其他掌握了数列的基本知识，特别是等差、等比数

2、列的定义、通项公式、求和公式及性质，掌握了典型题型的解法和数学思想法的应用，就有可能在高考中顺利地解决数列问题。一、典型题的技巧解法1、求通项公式(1)观察法。(2)由递推公式求通项。对于由递推公式所确定的数列的求解，通常可通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列问题。(1)递推式为an+1=an+d及an+1=qan(d,q为常数)例1、已知an两足an+产an+2,而曰.a二1o求ano例1、解.an+i-an=2为常数.an是首项为1,公差为2的等差数列.an=1+2(n-1)艮口an=2n-1例2、已知an满足an11an而a12求an=?2ti"空常#2an2，%是以2

3、为首项，公比为9的等比数列J“2,击例3、已知an中a11a12,(2)递推式为an+1=an+f(n)an2-,小an.4n1由已知可知解:11111an()(2n1)(2n1)22n12n1令n=1,2,，(n-1),代入得(n-1)个等式累加，即(a2-a1)+(a3-a2)+(an-an-1)1/jl1%z11x="r(i)+()*+()2l3352n-32n-l鼻-即=?(1-1)4n34n2n122n-la111、(1)22n1说明只要和f(1)+f(2)+f(n-1)是可求的)就可以由an+1=an+f(n)以n=1)2)(n-1)代入，可得n-1个等式累加而求an(3

4、)递推式为an+1=pan+q(p,q为常数)例4、an中)ai1,对于n>1(nGN)有an3ani2)求an.解法一：由已知递推式得an+i=3an+2)an=3an-i+2。两式柜洞:an+1-an=3(an-an-1)因此数列an+1-an是公比为3的等比数列，其首项为a2-a1=(3X1+2)-1=4an+1-an=4*3.an+1=3a+23an+2-an=4-3n-1即an=2-3n-1-1解法二：上法得an+1-an是公比为3的等比数列，于是后:a2-a1=4,a3-a2=4*3)a4-a3=43)an-an-1=4*3)an-ai=4Cl+3+32+-=4L)把n-1个

5、等式累加得：=an=2-3n-1-1(4)递推式为an+1=pan+qn(p,q为常数)1例5已知%)中，与二产,C叫求廿略解在广1口十(如I的两边乘以泮】得22"1%】=,(2"I)+1,令b*=2"%2则%包=5%+1，于是可得bn1必|(bn41)由上题的解法,得：432(斤33bn2n1n1n3(2)叼说明对于递推式已加=+才、可两边除以酸+】，得/-g后用(5)递推式为an2paniqan思路：设an2pan1qan,可以变形为：an2ani(anian),(口fB=DnRP解得皿B，口=-q想于是an+1-aan是公比为B的等比数列，就转化为前面的类型

6、。_2I瞒已知数列区冲i，的=2,求an。分析0L+PapC1+p=C1*p=解在/然=-aK+1+弓'两边减去得，+】-1%）是公比为-1、首项为的-%二1的等比数列。二（T）/（-少+十（一力一，%二1十孤-（T1（6）递推式为S与an的关系式此类型可利用4%（仕=11工一工（51例7设6）前口项的和Sr=4-an-击。（1）求i与1的（2）试用n表示anOQ)由国=4-%-诉得1m+4一次宜+-23-1Sn1L工(anan1)(2n22n1)an11an1*an11-a2上式两边同乘以2的等差数列。2n+1得2n+1an+i=2nan+2则2nan是公差为2nan=-2+=新-1

7、),2=2n数列求和的常用方法：1、拆项分组法：即把每一项拆成几项，重新组合分成几组，转化为特殊数列求和。2、错项相减法：适用于差比数列(如果an等差，4等比，那么anbn叫做差比数列)即把每一项都乘以bn的公比q,向后错一项，再对应同次项相减，转化为等比数列求和。(其中an3、裂项相消法：即把每一项都拆成正负两项，使其正负抵消，只余有限几项，可求和。适用于数列一和丁anan1、an,an1等差)可裂项为：1an1-(.,an1an)an.an1d等差数列前n项和的最值问题:1、若等差数列最大值。an的首项ai0,公差d0,则前n项和Sn有(i)若已知通项an,则Sn最大：100；(ii)若已

8、知Snpn2qn,则当n取最靠近六的非零自然数pp时Sn最大；2、若等差数列an的首项a10,公差d0,则前n项和&有最小值(i)若已知通项an,则Sn最小(ii)若已知Snpn2qn,则当n取最靠近义的非零自然数乙p时Sn最小;数列通项的求法:公式法：等差数列通项公式；等比数列通项公式。已知Sn(即aa2Lanf(n)求an用作差法：anSb2n2)n51，(n)/已知明中23ganf(n)求an,用作商法:f(1),(n1)f(n)/nf。f(T，(n2)也可直接求若an1an已知条件中既有Sn还有an,有时先求S,再求an；有时anOf(n)求an用累力口法：anan1)(an1

9、an2)La1)a(n2)o已知小f(n)求用累乘法：an星况L组a1(n2)。anan1an2a1已知递推关系求an,用构造法(构造等差、等比数列)。特别地(1)形如ankan1b、ankan1被(k,b为常数)的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k的等比数列后，再求an；形如ankan1kn的递推数列都可以除以kn得到一个等差数列后，再求an。(2)形如an的递推数列都可以用倒数法求kan1b通项。(3)形如an1ank的递推数列都可以用对数法求通项。(7)(理科)数学归纳法。(8)当遇到anianid或如an1q时，分奇数项偶数项讨论，结果可能是分段形式数列求和的常用方法：(1)公式

10、法：等差数列求和公式；等比数列求和公式。(2)分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和。(3)倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和(这也是等差数列前n和公式的推导方法).(4)错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法(这也是等比数列前n和公式的推导方法).(5)裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有：_1，_1-1(1-

11、)n(n1)nn1，n(nk)k'nnk，)11111.kk12k1k1kk111(n(n1)(n2)2n(n1)(n1)(n2)(k1)kk2(k1)kk1k'；-1；(n1)!n!(n1)!2(、.n-7、.n)2(,n.n-7)21_2,nn1.n.n、n1、解题方法:求数列通项公式的常用方法:1、公式法2、由Sn求an(n1时，a1S1,n2时，anSnSn1)3、求差（商）法如:an满足1al21a21a2nn2n解:1时,5,一a114n2时,得:122a21-an2n12n1为12n1an2n1an142n1(n(n1)2)练习数列an满足SnSn5a3na14,

12、求a。（注意到an1Sn1Sn代入得:又S14,Sn是等比数列，Sn4nn2时，anSnSm4n14、叠乘法例如：数列an中,a13,an1求an解:a2a1a3a2anan1ana1103乂ai3,an_n5、等差型递推公式由anan1f（n）,a1a0,求an,用迭加法n2时，a2a1f(2)a3a2f(3)两边相加，得:anan1f(n)anaif(2)f(3)f(n)anaof(2)f(3)f(n)练习数列an,ai1,an3n1anin2,求an1c(an31)26、等比型递推公式ancan1dc、d为常数，c0,c1,d0可转化为等比数列，设anxcan1xancan1令(c1)x

13、d,xan是首项为a1,c为公比的等比数列dn1a1cc1a1练习数列an满足a19，3an1an4,求an11n1(an831)7、倒数法例如：a11,a由已知得：an1an22an1_12an111an1an21为等差数列，-ai1,公差为121an.an2.数列求和问题的方法(1)、应用公式法n项和等差、等比数列可直接利用等差、等比数列的前公式求和，另外记住以下公式对求和来说是有益的。1 +2+3+n=Mn+D21+3+5+2十(2n-1)=n23口(口+l)(2n+1)n=6112"+口3=必十1)；12【例8】求数歹(J1,(3+5),(7+9+10),(13+15+17+

14、19),-前n项的和。解本题实际是求各奇数的和，在数列的前n项中，共有1+2+,+n=；n(n1)个奇数).二最后一个奇数为：1+1n(n+1)-1x2=n2+n-1因此所求数列的前n项的和为1+Cn3十n-1)2(2)、分解转化法对通项进行分解、组合，转化为等差数列或等比数列求和。【例9】求和S=1.(n2-1)+2-(n2-22)+3.(n2-3)+n(n2-n2)解S=n2(1+2+3+n)-(13+23+33+n3)=n1*nCn+1)-n2(n十1)，口24(n+1)(a-1)=/Q-)(3)、倒序相加法适用于给定式子中与首末两项之和具有典型的规律的数列，采取把正着写与倒着写的两个和

15、式相加，然后求和。13例10、求和：Sn3C：6c2L3nCn例10、解Sn0?C：3C：6C；L3nC：XSn=3力或+3(n-1)C：-】十+0C®相加，且运用=C及可得2sli=3n(C：+C：*+%)=3口，2".Sn=3n.2n-1(4)、错位相减法如果一个数列是由一个等差数列与一个等比数列对应项相乘构成的，可把和式的两端同乘以上面的等比数列的公比，然后错位相减求和.例11、求数列1)3x)5x2，,(2n-1)xn-1前n项的和.解设&=1+3+5攵+(2n-1)xn-1.(1)当区=1时p5*=1+*n=n3.(2)x=0时，S=1.(3)当xw0且x

16、w1时，在式两边同乘以x得xSn=x+3x2+5x3+(2n-1)x-,得(1-x)Sn=1+2x+2攵+2x3+2xn-1-(2n-1)x由公式知2117P1-*_(2口工1).仇4(2口1)君=(1B-(5)裂项法:14把通项公式整理成两项(式多项)差的形式，然后前后相消。常见裂项方法:lip1+k)knn*k_ui_jin(n+l)(n*2)2nn+1口+2L例12、求和建康康1(2n1)(2n3)例w求和一+一+二一+''J153-759(2n-1)(2n十3)1(2nZl)(2n+3)j,S三一口i叶+十十爪4537592n-32n+12n-12n+3111.&quo

17、t;-I4l32口十12口十5ti(4n+5)=-2.十1)(2.-3)注：在消项时一定注意消去了哪些项，还剩下哪些项,一般地剩下的正项与负项一样多。在掌握常见题型的解法的同时，也要注重数学思想在解决数列问题时的应用。二、常用数学思想方法1 .函数思想运用数列中的通项公式的特点把数列问题转化为函数问题解决。15【例13】等差数列an的首项a0,前n项的和为S,若S=S(l力k)问n为何值时&最大？解依题氤谩f(Q=也如+”"&,-f(a)=(如，Ca,-n此函数以逸为竽龌诲次豳施/n。a0Si=S(lwk),83心次函学瞅黑壕开口向下f(l)当=k如檄时，n=t/时S

18、.最大。2 .方程思想【例14】设等比数列an前n项和为$,若$+S=2S,求数列的公比q。分析本题考查等比数列的基础知识及推理能力。解,依题意可知q1。16;如果q=1)则S3=3ai)S6=6ai)S9=9ai。由此应推出ai=0与等比数列不符。.q#1支Cl-q5)%Q-q°)2%(1-q)')-有一1丁+1丁=-f整理得q3(2q6-q3-1)=0;q%。2q6-q3-1=0q；=l舍，翥=-u,淞7=)此题还可以作如下思考：$=S+q3$=(1+q3)S3S9=S+q3$=S(1+q3+q6),.由$+S=2S可得2+q3=2(1+q3+q6),2q6+q3=0ji

19、平q二.3.换兀思想fr，了J-.【例15】已知a,b,c是不为1的正数)x,y,zGR+,且求证：a,b,c顺次成等比数列。证明依题意令ax=by=cz=k.x=1ogak)y=logbk,z=logck.112xry故号十号二21即阳+1募=21gbIgkIgkIgk17/.b2=ac.a）b,c成等比数列（a,b,c均不为0）数学5（必修）第二章：数列提高训练C组一、选择题1 .数列an的通项公式an则该数列的前（n、n1项之和等于9A.98B.99C.96D.972 .在等差数列an中)若S41,S84)则ai7a18a19a20的值为()A.9B.12C.16D.173.在等比数列a

20、n中,若a26)且a52a4a3120)则升为()A.6B,6(1)n2C62n2D.6或6(1)n2或62n24.在等差数列an中aa1a2.a50200,a51a52.a1002700)则a,为()A.22.5B.21.5C20.5D.205已知等差数列(an的前n项和为Sn，若m1,且am1am1a；0§m138,则m等于()A.38B.20C.10D.96.等差数列（an,（bn的前n项和分别为，若"优，则瞥18A2b组c,红D.生33n13n13n4二、填空题1 ,已知数列a。中）a11）an1anan1an）则数列通项2 .已知数列的Sn'n15则a8a

21、9a10a11a12=3 .三个不同的实数a，“成等差数列，且a，c,b成等比数列，贝Ua:b:c。d14 .在等差数列an中，公差2,前100项的和S1。45,则a3a5a995.若等差数列an中,8,a11a44,§36.一个等比数列各项均为正数，且它的任何一项都等于它的后面两项的和）则公比q为O:、解答题1.已知数列an的前n项和Sn32n，求an2 .一个有穷等比数列的首项为1,项数为偶数，如果其奇数项的和为85,偶数项的和为170,求此数列的公比和项数。191600），的前多(1)n1(4n3),求3 .数列lg1000,lg(1000cos60°),lg(100

22、0cos2600)，lg(1000cos少项和为最大？4 .已知数列an的前n项和Sn15913S15S22S31白勺彳直°205 .已知数列an的前n项和为Sn,满足Sn=2an-2n(nGN)(1)求数列an的通项公式an;(2)若数列bn满足bn=log2(an+2),Tn为数列Aan2的前n项和)求证T>1-n2-参考答案(数学5必修)第二章提高训练C组一、选择题1.Bann1,n,Sn、一21、3-2.n1、n、nvn1Sn.19,=10,n99212.AS41,S8S43,而S4,SS4SS8,&6RS。S16,成等差数列即1,3,5,7,9,a17a18a

23、19a20S20S1693.Da52a4a32a20,%a32a422a2,%(q1)2a2(q21)a32a2或q210,q2,1或1)当q1时,an6；q1时,a16,an6(1)n16(q2时,a13,an32n162n2；4.C270020050d50,d1,S5050/y(a1350)200)a1a508,2a149d8,2al41,a120.55.Camam2am0,am(am2)0,am2,S2m16.Ban2an2m1(a1a2m1)2n1/、2(aa2n1)(2m1)a2m38,2mS2n12(2n1)119bn2bn2n1小丁(bb2n1)3(2n1)12n13n1填空题工，1,，工J1是以工为首项，以1为anan1an1anaana1公差的等差数列,an1(n1)(1)n,an1.100a8a9a10a11a12S12S7122121(7271)1003.4:1:(2)ac2b,c2ba,abc2(2ba)2,a25ab4b2ab,a4b,c2b4.10S100100,2(a1400)45,a1a1000.9,a1a99aai00d0.4,50