旋度散度梯度幻灯片ppt课件

1、1.1 1.1 矢量表示法和运算矢量表示法和运算1.2 1.2 通量与散度通量与散度, ,散度定理散度定理 1.3 1.3 环量与旋度环量与旋度, ,斯托克斯定理斯托克斯定理 1.4 1.4 方向导数与梯度方向导数与梯度, ,格林定理格林定理 1.5 1.5 曲面坐标系曲面坐标系 1.6 1.6 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理第一章第一章 矢矢 量量 分分 析析Chapter 1 Vector Analysisv基本要求基本要求 掌握矢量在正交坐标系中的表示方法掌握矢量在正交坐标系中的表示方法 掌握矢量的代数运算及其在坐标系中的物理意义掌握矢量的代数运算及其在坐标系中的物理意义 掌握矢量积、标量积的

2、计算掌握矢量积、标量积的计算 了解矢量场散度的定义，掌握其计算方法和物理意义；掌了解矢量场散度的定义，掌握其计算方法和物理意义；掌握散度定理的内容，并能熟练运用。握散度定理的内容，并能熟练运用。 了解矢量场旋度的定义，掌握其计算方法和物理意义；掌了解矢量场旋度的定义，掌握其计算方法和物理意义；掌握斯托克斯公式的内容，并能数量应用。握斯托克斯公式的内容，并能数量应用。了解标量场的梯度的定义，掌握其计算方法和物理意义了解标量场的梯度的定义，掌握其计算方法和物理意义正确理解标量格林定理和矢量格林定理的内容，并学会应用正确理解标量格林定理和矢量格林定理的内容，并学会应用了解曲面坐标系中矢量的表示方法、

3、三种坐标系的转换了解曲面坐标系中矢量的表示方法、三种坐标系的转换了解曲面坐标系中散度、旋度的表示线元、面积元、体积元了解曲面坐标系中散度、旋度的表示线元、面积元、体积元的表示的表示正确理解亥姆霍兹定理的内容，并能正确应用。正确理解亥姆霍兹定理的内容，并能正确应用。物理量的表示物理量的表示 矢量：大写黑体斜体字母矢量：大写黑体斜体字母 A 大写斜体字母加表示矢量的符大写斜体字母加表示矢量的符号号 标量：小写斜体字母标量：小写斜体字母 u 单位矢量：小写上加倒勾单位矢量：小写上加倒勾x exAxe 若一个矢量在三个相互垂直的坐标轴上的分量已知, 这个矢量就确定了。 例如在直角坐标系中, 矢量A的三

4、个分量模值分别是Ax , Ay , Az, 那么zyxAzAyAxA222zyxAAAA矢量的模矢量的模 Magnitude of vector1 .1 矢量表示法及其运算矢量表示法及其运算1 .1 .1 矢量表示法及其和差矢量表示法及其和差coscoscoszyaxAAzAAyAAxAAAzyxA的单位矢量的单位矢量 Unit vector和或差和或差: Vector addition or subtractionzyxBzByBxB那么 )( )( )( zzyyxxBAzBAyBAxBA 图图 1 -2 矢量的相加和相减矢量的相加和相减 矢量的相乘有两种定义: 标量积(点乘)和矢量积(叉

5、乘)。ABaBABAcos它符合交换律它符合交换律: ABBA1 .1 .2 标量积和矢量积标量积和矢量积定义：标量积定义：标量积AB是一标量是一标量, 其大小等于两个矢量模值相其大小等于两个矢量模值相乘乘, 再乘以它们夹角再乘以它们夹角AB(取小角取小角, 即即AB)的余弦的余弦: 一、标量积一、标量积 Dot production 特点：特点：1、v|B|cosAB是矢量是矢量B在矢量在矢量A上的投影，上的投影， |A|cosAB是矢是矢量量A在矢量在矢量B上的投影。上的投影。vB矢量在矢量在A矢量上的投影或者说矢量矢量上的投影或者说矢量B 在在A 上的分量上的分量等于等于AB/|A|2、

6、2222AAAAAABABABABAzyxzzyyxx并有 0 xzzyyx1zzyyxx互相垂直的两个矢量的点积为互相垂直的两个矢量的点积为03、4、 定义：矢量积定义：矢量积AB是一个矢量是一个矢量, 其大小等于两个矢量的模值其大小等于两个矢量的模值相乘相乘, 再乘以它们夹角再乘以它们夹角AB()的正弦的正弦, 其方向与其方向与A , B成右手螺旋成右手螺旋关系关系, 为为A , B所在平面的右手法向所在平面的右手法向 : n 1、它不符合交换律。、它不符合交换律。 由定义知由定义知, )(ABBAABaBAnBAsin二、矢量积二、矢量积 Cross production 特点：特点：2

7、、 yxzxzyzyxzzyyxx, , 0)( )( )( )()(xyyxxxxzyzzyzyxzyxBABAzBABAyBABAxBzByBxAzAyAxBAAB各分量的下标次序具有规律性。例如各分量的下标次序具有规律性。例如, 分量第一项是分量第一项是yz, 其第二项下标则次序对调其第二项下标则次序对调: zy, 依次类推。并有依次类推。并有 x zyxzyxBBBAAAzyxBA图图 1 -3 矢量乘积的说明矢量乘积的说明 矢量的三连乘也有两种。矢量的三连乘也有两种。 标量三重积标量三重积: Scalar triple production )()()(BACACBCBA矢量三重积矢

8、量三重积: Vector triple production )()()(BACCABCBA公式右边为公式右边为“BAC-CAB”, 故称为故称为“Back -Cab法则法则, 以便记忆。以便记忆。 1 .1 .3 三重积三重积 A B C解：解：zyxzyxBA102213146432AB在C上的分量为：43.14325CCBA例：例：，求 给定两矢量给定两矢量 和和A B上的分量。上的分量。 在在zyxA432zyxB146zyxC如果给定一未知矢量与一已知矢量的标量积和矢量积，那么便如果给定一未知矢量与一已知矢量的标量积和矢量积，那么便可以确定该未知矢量。设可以确定该未知矢量。设A A为

9、一已知矢为一已知矢量，量， ，XApXAPp和和P已知，试求已知，试求X 解：由由P=AX，有，有A P A(A X)=(AX)A-(AA)X=pA- (AA)XAAPApAX例例作业作业 P31 1-1 1-31 .2 通量与散度通量与散度, 散度定理散度定理Flux, divergence of a vector field, divergence theorem1.2.1 矢量场的通量矢量场的通量矢量场的空间变化规律通常用散度和旋度描述矢量场的空间变化规律通常用散度和旋度描述 矢量场的通量 定义：若矢量场定义：若矢量场A A分布于空间中，在空间中存在分布于空间中，在空间中存在任意曲面任意

10、曲面S S，那么，那么为矢量为矢量 A 沿有向曲面沿有向曲面S 的通量。的通量。 若若S S 为闭合曲面为闭合曲面 物理意义：表示穿入和穿出闭合面物理意义：表示穿入和穿出闭合面S S的矢量通量的代数和。的矢量通量的代数和。 在电场中，电位移矢量在某一曲面上的面积分就是矢量通过该曲面的电通量；在磁场中，磁感应强度在某一曲面上的面积分就是矢量通过该曲面的磁通量。 S d SASSA d通过闭合面通过闭合面S的通量的物理意义：的通量的物理意义：在直角坐标系中，通量可以写成在直角坐标系中，通量可以写成 dxdyAdzdxAdydzAdSAzySxSa) 假设假设 ，穿出闭合曲面的通量多于穿入的，穿出闭

11、合曲面的通量多于穿入的通量，闭合面内有产生矢量线的正源；例如，静电通量，闭合面内有产生矢量线的正源；例如，静电场中的正电荷就是发出电力线的正源；场中的正电荷就是发出电力线的正源； 0 b) 假设假设 ，穿出闭合曲面的通量少于穿入的，穿出闭合曲面的通量少于穿入的通量，闭合面内有吸收矢量线的负源；静电场中的通量，闭合面内有吸收矢量线的负源；静电场中的负电荷就是接受电力线的负源；负电荷就是接受电力线的负源； 0 c) 假设假设 ，闭合面无源。，闭合面无源。0 1 .2 .2 散度散度 Divergence of a vector field2、散度的物理意义、散度的物理意义 1) 1) 矢量场的散度

12、代表矢量场的通量源的分布特性；矢量场的散度代表矢量场的通量源的分布特性； 2) 2) 矢量场的散度是一个标量；矢量场的散度是一个标量； 3) 3) 矢量场的散度是空间坐标的函数；矢量场的散度是空间坐标的函数；VSVd limdiv 0SAAAAdiv1、定义：当闭合面、定义：当闭合面 S 向某点无限收缩时，矢量向某点无限收缩时，矢量 A 通过该闭合面通过该闭合面S 的的 通量与该闭合面包围的体积之比的极限称为矢量场通量与该闭合面包围的体积之比的极限称为矢量场 A 在该在该 点的散度，以点的散度，以 div A 表示，即表示，即3 3、直角坐标系中散度的表示、直角坐标系中散度的表示zAyAxAz

13、yxAdiv散度可用算符散度可用算符 哈密顿哈密顿 表示为表示为AAdiv哈密顿哈密顿zzyyxx拉普拉斯2222222zyx0divA0div A0divA正源负源无源 散度的基本运算公式 0CAAkkBBAAuuuAAAC为常矢量为常矢量k为常数为常数u为标量为标量VdsAAdv上式称为散度定理上式称为散度定理, 也称为高斯公式。也称为高斯公式。1 .2 .3 散度定理散度定理 The divergence theorem既然矢量的散度代表的是其通量的体密度既然矢量的散度代表的是其通量的体密度, , 因此直观地可因此直观地可知知, , 矢量场散度的体积分等于该矢量穿过包围该体积的封矢量场散

14、度的体积分等于该矢量穿过包围该体积的封闭面的总通量闭面的总通量, , 即即 v从数学角度可以认为高斯定理建立了面积分和体积分的关系。从数学角度可以认为高斯定理建立了面积分和体积分的关系。v从物理角度可以理解为高斯定理建立了区域从物理角度可以理解为高斯定理建立了区域 V V 中的场和包围区中的场和包围区域域 V V 的闭合面的闭合面 S S 上的场之间的关系。上的场之间的关系。v如果已知区域如果已知区域 V V 中的场，根据高斯定理即可求出边界中的场，根据高斯定理即可求出边界 S S 上的上的场，反之亦然。场，反之亦然。散度定理：散度定理：散度定理的物理意义：散度定理的物理意义：点电荷点电荷q在

15、离其在离其r处产生的电通量密度为处产生的电通量密度为 222 1/23,()4qDrrxxyyzzrxyxr求任意点处电通量密度的散度求任意点处电通量密度的散度D，并求穿出，并求穿出r为半径的球面为半径的球面的电通量的电通量e解解2223/24()xyzqxxyyzzDxDyDzDxyz例例5222/522222/32222/322234)(3)(14)(4rxrqzyxxzyxqzyxxxqxDx52252234,34rzrqzDryrqyDzy2222533()04yxzDDDqrxyzDxyzr 可见，除点电荷所在源点可见，除点电荷所在源点r=0外，空间各点的电通量密度散外，空间各点的电

16、通量密度散度均为零。度均为零。32224444esssqD dsr rdsrqqdsrqrr 这证明在此球面上所穿过的电通量这证明在此球面上所穿过的电通量 的源正是点电荷的源正是点电荷q。e球面球面S上任意点的位置矢量为上任意点的位置矢量为 ,r rz zyyxxr试利用散度定理计算试利用散度定理计算 Sdsr解：解：3zzyyxxr3343343SVVr dsrdvdvrr 例：例： 矢量A沿某封闭曲线的线积分, 定义为A沿该曲线的环量(或旋涡量), 记为 lA dl 1 .3 环量与旋度环量与旋度, 斯托克斯定理斯托克斯定理Curl, circulation, The Stokess th

17、eorem1 .3 .1 环量环量 Curl of a vector field为反映给定点附近的环量情况为反映给定点附近的环量情况, 我们把封闭曲线收小我们把封闭曲线收小, 使它包围的使它包围的面积面积S趋近于零趋近于零, 取极限取极限 0limlSA dlS 这个极限的意义就是环量的面密度这个极限的意义就是环量的面密度, 或称环量强度。或称环量强度。 由于面元是有方向的由于面元是有方向的, 它与封闭曲线它与封闭曲线l的绕行方向成右手螺旋关系的绕行方向成右手螺旋关系, 因此在给定点处因此在给定点处, 上述极限值对于不同的面元是不同的。上述极限值对于不同的面元是不同的。 为此为此, 引入旋度引

18、入旋度(curl或或rotation): 1 .3 .2 旋度的定义和运算旋度的定义和运算1、定义：、定义：max0 limlSA dlCurl AnS 2 2、旋度的物理意义、旋度的物理意义矢量矢量A的旋度是一个矢量的旋度是一个矢量, 其大小是矢量其大小是矢量A在给定点处的最大在给定点处的最大环量面密度环量面密度, 其方向就是当面元的取向使环量面密度最大时其方向就是当面元的取向使环量面密度最大时, 该面元矢量的方向该面元矢量的方向 。 它描述它描述A在该点处的旋涡源强度。在该点处的旋涡源强度。 若某区域中各点若某区域中各点curl A=0, 称称A为无旋场或保守场。为无旋场或保守场。 n 矢

19、量矢量A的旋度可表示为密勒算子的旋度可表示为密勒算子与与A的矢量积的矢量积, 即即 curl AA 计算A时, 先按矢量积规则展开, 然后再作微分运算, 得 yAxAzxAzAyzAyAxAzAyAxzzyyxxAxyzxyzzyx)(3 3、旋度的计算、旋度的计算第一章 矢 量 分 析 xyzxyzAxyzAAA即即 4、旋度运算规则、旋度运算规则: 2()()()()0()ABABAAAA BBAABAAAA 在直角坐标系中有在直角坐标系中有 2222xyzAxAyAzA ()0 Av任一矢量场任一矢量场 A 的旋度的散度一定等于零的旋度的散度一定等于零 。v任一无散场可以表示为另一矢量场

20、的旋度。任一无散场可以表示为另一矢量场的旋度。0BB Av任何旋度场一定是无散场任何旋度场一定是无散场一个矢量场的旋度是一个矢量函数，而一个矢量场的散度是一个标量函数；旋度描述的是矢量场中各点的场量与涡旋源的关系，而散度描述的是矢量场中各点的场量与通量源的关系；如果矢量场所在的全部空间中，场的旋度处处为零，则这种场中不可能存在旋涡源，因而称之为无旋场或保守场）；如果矢量场所在的全部空间中，场的散度处处为零，则这种场中不可能存在通量源，因而称之为无源场或管形场）；在旋度公式中，矢量场的场分量Ax、Ay、Az分别只对与其垂直方向的坐标变量求偏导数，所以矢量场的旋度描述的是场分量在与其垂直的方向上的

21、变化规律；在散度公式中，矢量场的场分量Ax、Ay、Az分别只对x、y、z求偏导数，所以矢量场的散度描述的是场分量沿着各自方向上的变化规律。 4、旋度与散度的区别：、旋度与散度的区别：因为旋度代表单位面积的环量因为旋度代表单位面积的环量, 因此矢量场在闭曲线因此矢量场在闭曲线l上的环量上的环量就等于就等于l所包围的曲面所包围的曲面S上的旋度之总和上的旋度之总和, 即即 ()slA dsA dl此式称为斯托克斯此式称为斯托克斯(Stokes)定理或斯托克斯公式。定理或斯托克斯公式。 它可将矢量旋度的面积分变换为该矢量的线积分它可将矢量旋度的面积分变换为该矢量的线积分, 或反之。或反之。1 .3 .

22、3 斯托克斯定理斯托克斯定理 The Stokess theorem自由空间中的点电荷自由空间中的点电荷q所产生的电场强度为所产生的电场强度为 32223/20044()qqxxyyzzErrxyz求任意点处求任意点处(r0)电场强度的旋度电场强度的旋度E。 例例0333333033344xyzqExyzxyzrrrqzyxxyyrzrzrzyxzx rx ryr 解：解：可见可见, 向分量为零向分量为零; 同样同样, 向和向和 向分量也都为零。向分量也都为零。 故故 x y z 0E这说明点电荷产生的电场是无旋场。这说明点电荷产生的电场是无旋场。 因因535333ryzryzryzrzy证明

23、下述矢量斯托克斯定理：证明下述矢量斯托克斯定理： ()VsA dvA ds 式中式中S为包围体积为包围体积V的封闭面。的封闭面。 证证 设设C为一任意常矢，那么为一任意常矢，那么)()()()(ACACCAAC从而有从而有dvACdvACVV)()(（1-37）例例1 .4根据散度定理，上式左边等于根据散度定理，上式左边等于SSSdsACCdsAdsAC)()(于是得于是得VSdsACdvAC)(由于上式中常矢由于上式中常矢C是任意的，故式是任意的，故式1-37必成立。必成立。coscoscoszyxlcoscoscoszyxlzzlyylxxl1 .4 方向导数与梯度方向导数与梯度, 格林定

24、理格林定理标量场标量场(x, y, z)在某点沿在某点沿l方向的变化率称为方向的变化率称为沿该方向的方向导数沿该方向的方向导数 。它的值与所选取的方向。它的值与所选取的方向 有关有关, 设设 l /l方向导数方向导数一、方向导数与梯度一、方向导数与梯度),cos(|lllgradxyzxyzxyzxyz 梯度梯度 gradient是一个矢量是一个矢量的模就是的模就是在给定点的最大方向导数在给定点的最大方向导数方向就是该具有最大方向导数的方向方向就是该具有最大方向导数的方向, 亦即亦即的变的变化率最大的方向。化率最大的方向。22222220)( )(zyxff)(1)()(2梯度运算规则梯度运算

25、规则: 2 2、梯度的物理意义、梯度的物理意义1)1)、标量场的梯度为一矢量，且是坐标位置的函数；、标量场的梯度为一矢量，且是坐标位置的函数；2)2)、标量场的梯度表征标量场变化规律：其方向为标量场、标量场的梯度表征标量场变化规律：其方向为标量场增加最快的方向，其幅度表示标量场的最大增加率。增加最快的方向，其幅度表示标量场的最大增加率。v任一标量场任一标量场 的梯度的旋度一定等于零。的梯度的旋度一定等于零。v任一无旋场一定可以表示为一个标量场的梯度任一无旋场一定可以表示为一个标量场的梯度v任何梯度场一定是无旋场。任何梯度场一定是无旋场。梯度的重要性质梯度的重要性质0u 0AuA将散度定理中矢量

26、将散度定理中矢量A表示为某标量函数的梯度表示为某标量函数的梯度与另一标量函与另一标量函数数的乘积的乘积, 则有则有 2)(A取上式在体积取上式在体积V内的积分内的积分, 并应用散度定理并应用散度定理, 得得 dsndsndvssV)()(2二、二、 格林定理格林定理 The Greens theorem(1)沿沿n方向的方向导数方向的方向导数格林格林(G .Green)第一恒等式第一恒等式 Greens first identity dsndsndvssV)()(2vS是包围体积是包围体积V的封闭面的封闭面, 是封闭面是封闭面S的外法线方向单位矢量。的外法线方向单位矢量。v适用于在体积适用于在

27、体积V内具有连续二阶偏导数的标量函数内具有连续二阶偏导数的标量函数和和n (2)说明：说明：把式中的把式中的与与交换位置交换位置, 有有 格林第二恒等式格林第二恒等式 Greens first identity (1)(2)两式相减两式相减 得得 dsnndsndvssV)()(22设矢量函数设矢量函数P和和Q在封闭面在封闭面S所包围的体积所包围的体积V内有连续的二阶偏导内有连续的二阶偏导数数, 则有则有 sVdsQPdvQPQP)()()(矢量格林定理矢量格林定理sVdsPQQPdvQPPQ)()()(矢量格林第二定理矢量格林第二定理: v利用上述格林定理利用上述格林定理, 可以将体积可以将

28、体积V中场的求解问题变换为边界中场的求解问题变换为边界S上场的求解问题。上场的求解问题。 v如果已知其中一个场的分布特性如果已知其中一个场的分布特性, 便可利用格林定理求解另一便可利用格林定理求解另一场的分布特性。场的分布特性。 参看图参看图1, 场点场点P(x, y, z)与源点与源点P(x, y,z)间的距离为间的距离为|R |, 试证试证 11RR 这里这里表示对带撇坐标表示对带撇坐标(x, y, z)作微分运算作微分运算(将将P取为定点取为定点, P为动点为动点): zzyyxx例：例：证证 222 1/22221/2222 3/2()()()()()() 1()()() ()()()

29、()()() Rrrx xxy yyz zzRxxyyz zzxyzxxxyzRyyzzx xxy yyz zzxxyyzz即即 31RRR 同理可得同理可得 RRRRR1113例例:2220,4),(zyxrrqzyx求求P点的电位梯度点的电位梯度。 解解 ：3001( , , )44qqx y zrrr E 在点电荷在点电荷q的静电场中的静电场中, P(x, y, z)点的电位为点的电位为 图图 1 -8 柱坐标系柱坐标系 1 .5 曲面坐标系曲面坐标系1 .5 .1 圆柱坐标系圆柱坐标系Cylindrical coordinate system x y z O P(,z) z z三个单位

30、矢量：三个单位矢量： , ,z 矢量矢量P三个坐标分量三个坐标分量, ,z z200各物理量的变化范围：各物理量的变化范围：一、坐标系一、坐标系q 矢量A在柱坐标系中的表示为： zAAAzA以坐标原点为起点以坐标原点为起点, 指向指向P点的矢量点的矢量r, 称为称为P点的位置矢量或矢径。点的位置矢量或矢径。在柱坐标系中在柱坐标系中P点的位置矢量是点的位置矢量是 rzz 对任意的增量对任意的增量d , d , dz, P点位置沿点位置沿 , , 方向的方向的长度增量长度增量(长度元长度元)分别为分别为 z dzdlddlddlz,三者总保持正交关系三者总保持正交关系, 并遵循右手螺旋法则并遵循右

31、手螺旋法则: z q位置矢量位置矢量二、矢量表示及相关物理量的表示二、矢量表示及相关物理量的表示q长度增量长度增量(长度元长度元)每个坐标长度增量同各自坐标增量之比每个坐标长度增量同各自坐标增量之比, 称为度量系数称为度量系数, 又称拉又称拉梅梅(G .Lame)系数系数, 分别为分别为 1, 1321dzdlhddlhddlhz与三个单位矢量相垂直的三个面积元和体积元分别是与三个单位矢量相垂直的三个面积元和体积元分别是 dddldldsdzddldldsdzddldldszzzdzdddldldldvzq度量系数度量系数(拉梅系数拉梅系数)：q面积元和体积元：面积元和体积元：图 1 -9 球

32、面坐标系 1 .5 .2 球面坐标系球面坐标系 Spherical coordinate system y O z x P(r,) r r三个单位矢量：三个单位矢量： , ,z 矢量矢量P三个坐标分量三个坐标分量, ,r 0002r 各物理量的变化范围：各物理量的变化范围：一、坐标系一、坐标系遵循右旋法则遵循右旋法则: rq矢量矢量A在球坐标系中的表示在球坐标系中的表示 ：AAArAr二、矢量表示及相关物理量的表示二、矢量表示及相关物理量的表示q长度增量长度增量(长度元长度元),sinrdldr dlrddlrd q度量系数：度量系数： sin, 1321rddlhrddlhdrdlhrq面积

33、元和体积元：面积元和体积元： rdrddldldsdrdrdldldsddrdldldsrrrsinsin2dddrrdldldldvrsin2图图 1 -10 三种坐标间的变换三种坐标间的变换 1 .5 .3 三种坐标的变换及场论表示式三种坐标的变换及场论表示式q直角坐标柱坐标直角坐标柱坐标cossinsincosxyxyzz cossinsincosxyzzq直角坐标球坐标直角坐标球坐标sincossinsincossincoscoscoscossinsinrxyzxyxyz 在柱坐标中三个长度元分别为在柱坐标中三个长度元分别为d , d和和dz, 因而其算子相因而其算子相应地换为应地换为

34、 zz1球坐标长度元为球坐标长度元为dr , rd和和r sind, 故其算子为故其算子为 sin11rrrq 算子 123112233uuuh uh uh u q柱坐标中矢量柱坐标中矢量A的散度和旋度的散度和旋度zAAAAzAAzzAzz1)(1)(1zAAAzzA1 为了对矢量函数求导为了对矢量函数求导, 一个常用的公式是一个常用的公式是 111)(uAuAuAq球坐标中矢量球坐标中矢量A的散度和旋度的散度和旋度ArArArrrArsin1sin1)(122ArrAArrrrrArsinsinsin12在一对相距为在一对相距为l的点电荷的点电荷+q和和-q(电偶极子电偶极子)的静电场中的静

35、电场中, 距离距离rl处的电位为处的电位为 cos4),(20rqlr求其电场强度求其电场强度E(r, , )。 解解 ：sin4cos42sin11),(3030rqlrqlrrrrrrE例例 1 .7亥姆霍兹定理的简化表述如下亥姆霍兹定理的简化表述如下: : 若矢量场若矢量场F F在无限空间中处处在无限空间中处处单值单值, , 且其导数连续有界且其导数连续有界, , 而源分布在有限区域中而源分布在有限区域中, , 则矢量则矢量场由其散度和旋度唯一地确定。场由其散度和旋度唯一地确定。 并且并且, , 它可表示为一个标量它可表示为一个标量函数的梯度和一个矢量函数的旋度之和函数的梯度和一个矢量函

36、数的旋度之和, , 即即 AF1 .6 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理二二. . 矢量场的分类矢量场的分类根据矢量场的散度和旋度值是否为零进行分类：根据矢量场的散度和旋度值是否为零进行分类：1) 1) 调和场调和场 若矢量场若矢量场F F在某区域在某区域V V内，处处有：内，处处有：F=0F=0和和F=0 F=0 则则在该区域在该区域V V内，场内，场F F为调和场。为调和场。 注意：不存在在整个空间内散度和旋度处处均为零的矢量场。注意：不存在在整个空间内散度和旋度处处均为零的矢量场。调和场，有源无旋场，无源有旋场，有源有旋场调和场，有源无旋场，无源有旋场，有源有旋场假如假如 ，则称矢量场，则称矢量

37、场F为无旋场。无旋场为无旋场。无旋场F可以表示可以表示为另一个标量场的梯度，即为另一个标量场的梯度，即0F uF函数函数u u称为无旋场称为无旋场F F的标量位函数，简称标量位。的标量位函数，简称标量位。 无旋场无旋场F沿闭合路径沿闭合路径C的环量等于零，即的环量等于零，即0CdlF这一结论等价于无旋场的曲线积分这一结论等价于无旋场的曲线积分 与路径无关，与路径无关，只与起点只与起点P和终点和终点Q有关。有关。标量位标量位u的积分表达式：的积分表达式：2) 有源无旋场有源无旋场 QpF dl由由 ，有，有uFQQQPPPudu ddll Fll( )( )QPduu Pu Q AFSd0SFG

38、FgF函数函数A称为无源场称为无源场F的矢量位函数，简称矢量位。的矢量位函数，简称矢量位。无源场无源场F通过任何闭合曲面通过任何闭合曲面S的通量等于零，即的通量等于零，即4) 有源有旋场一般的情况下，如果在矢量场一般的情况下，如果在矢量场F的散度和旋度都不为的散度和旋度都不为零，即零，即 假如假如 ，则称矢量场，则称矢量场F为无源场。无源场为无源场。无源场F可以表示可以表示为另一个矢量场的旋度，即为另一个矢量场的旋度，即0 F3)无源有旋场无源有旋场可将矢量场可将矢量场F表示为一个无源场表示为一个无源场Fs和无旋场和无旋场Fi 的叠加，即的叠加，即isFFF其中其中FsFs和和FiFi分别满足

39、分别满足 GFFss00FFiiguisFAF于是于是 AFu因而，可定义一个标量位函数因而，可定义一个标量位函数u u和矢量位函数和矢量位函数A A，使得，使得 常用的矢量恒等式)()()(BACACBCBA)()()(BACCABCBAVVVAAAAAA)()()(BAABBAuu2AAA2)()(0u0AVdsAAdvlsdlAdsA)(矢量分析小结基本内容基本内容 矢量场的表示方法和代数运算和乘积矢量场的表示方法和代数运算和乘积运算运算 矢量场的散度和旋度矢量场的散度和旋度 标量场的梯度标量场的梯度 曲面坐标系曲面坐标系 亥姆霍兹方程亥姆霍兹方程v基本要求基本要求 掌握矢量在正交坐标系

40、中的表示方法掌握矢量在正交坐标系中的表示方法 掌握矢量的代数运算及其在坐标系中的物理意义掌握矢量的代数运算及其在坐标系中的物理意义 掌握矢量积、标量积的计算掌握矢量积、标量积的计算 了解矢量场散度的定义，掌握其计算方法和物理意义；掌了解矢量场散度的定义，掌握其计算方法和物理意义；掌握散度定理的内容，并能熟练运用。握散度定理的内容，并能熟练运用。 了解矢量场旋度的定义，掌握其计算方法和物理意义；掌了解矢量场旋度的定义，掌握其计算方法和物理意义；掌握斯托克斯公式的内容，并能数量应用。握斯托克斯公式的内容，并能数量应用。了解标量场的梯度的定义，掌握其计算方法和物理意义了解标量场的梯度的定义，掌握其计

41、算方法和物理意义正确理解标量格林定理和矢量格林定理的内容，并学会应用正确理解标量格林定理和矢量格林定理的内容，并学会应用了解曲面坐标系中矢量的表示方法、三种坐标系的转换了解曲面坐标系中矢量的表示方法、三种坐标系的转换了解曲面坐标系中散度、旋度的表示线元、面积元、体积元了解曲面坐标系中散度、旋度的表示线元、面积元、体积元的表示的表示正确理解亥姆霍兹定理的内容，并能正确应用。正确理解亥姆霍兹定理的内容，并能正确应用。本章重要公式)( )( )( zzyyxxBAzBAyBAxBAABaBABAcosABaBAnBAsinzAyAxAzyxAdivVdsAAdvzyxAAAzyxzyxAlsdlAd

42、sA)(zzyyxxgrad),cos(|llldsndsndvssV)()(2例例 利用直角坐标，证明利用直角坐标，证明 fffAAAAAAAffAzfAyfAxzfAzAfyfAyAfxfAxAfzfAyfAxfAzAyAxAfzzfyyfxxfzAyAxAfffzyxzzyyxxzyxzyxzyx证明：证明：例：例：给定两矢量给定两矢量A=2ex+3ey-4ezA=2ex+3ey-4ez和和B=4ex-5ey+6ez B=4ex-5ey+6ez ，求它们，求它们之间的夹角和之间的夹角和A A在在B B上的分量。上的分量。解：解：A A与与B B之间的夹角为之间的夹角为 131772931

43、coscos11BABAABA A在在B B上的分量为上的分量为 52. 37731BBAAB例：例：222()()()xyzx yzx yzx yzxyzeee222xyzxyzx zx yeee345505050 xyzeee345505050 xyzeee在在的方向导数为的方向导数为50550450622yxzxxyzell 求标量函数求标量函数x2yzx2yz的梯度及的梯度及在一个指定方向的方向在一个指定方向的方向导数，此方向由单位矢量导数，此方向由单位矢量 定出；求点定出；求点(2,3,1)(2,3,1)的方向导数值的方向导数值解：解：例：例：利用散度定理及斯托克斯定理证明：利用散度

44、定理及斯托克斯定理证明：0u 1）0)(A2）证明证明:对于任意闭合曲线为边界的任意曲面，由斯托克斯定理对于任意闭合曲线为边界的任意曲面，由斯托克斯定理0CCCCSdudlludllududSul由于曲面由于曲面S S是任意的，故有是任意的，故有 ()0u 2) 对于以任意闭合曲面对于以任意闭合曲面S为边界的体积为边界的体积V，由散度定理有，由散度定理有 11SSSVdSAdSAdSAdvA其中其中S1S1和和S2S2如图如图1 1所示。由斯托克斯定理，有所示。由斯托克斯定理，有 11CSdAdSAl由题图由题图1 1可知可知C1C1和和C2C2是方向相反的同一回路，则有是方向相反的同一回路，

45、则有 21CCdAdAll图1S1S2C2C1n1n2所以得到所以得到 0dvAV由于体积由于体积V V是任意的，故有是任意的，故有0)(A习题及答案习题及答案(12)(94)( 1 3)3132xyzxyzABeeeeee (12)(94)( 1 3)54xyzxyzABeeeeee 2943236335xxyyzzA Beeeeee 191( 274)( 23)( 4 18)24 331514xyzxyzxyze eeABeeeeee 243xyzBeee 9xyzAeee 知知 , , 求：求：AB AB A B AB (b)(c)(d)（a a）1-5解：解：(a)(b)(c)(d)1

46、-8B 设设129xyzAeee xyBaebe BA 为使为使，且且，的模的模B=1，试确定，试确定a、b的值。的值。1B 22222216931,9255Babaaaa 34 34;53 55ab 34;55ab 解：解：BA 0A B 1290A Bab 12493baa ， 那么那么得得，又因又因即即得得或或223222222220005520()(2)()sin12 cos 2055xyzvvaIxz ex yz exyy z e dvxyz dvrrdrd dara 应用散度定理计算下述积分：应用散度定理计算下述积分：2232()(2)xyzsIxz ex yz exyy z ed

47、s 12222()zaxyS是是0z 和和所围成的半球区域的外表面所围成的半球区域的外表面解：解：1-131-14，在在r=1和和r=2两个球面之间的区域存在矢量场两个球面之间的区域存在矢量场23cos/rDer计算：（计算：（a）sD ds vDdv（b）解：解：22213002222300220000cos() sincossin11111cos(1sin2 )cos(1sin2 )222222rrrsrrrDdsee rd dree rd dr （a）2222224100221001()1cossin111( cos )(1sin2 )22122rvvDdvr D dvrrrd drr

48、（b）可见散度定理成立。可见散度定理成立。1-16，证明：证明：()A BBAAB xxyyzzAA eA eA e xxyyzzBB eB eB e ()()()yzzyxzxxzyxyyxzABA BA B eA BA B eA BA B e()()()()yzzyzxxzxyyxA BA BA BA BA BxyA BA Bz 证：证：设设所以，所以，()()()yyxxzzxyzAAAAAABABBByzzxxy ()()()yyxxzzxyzBBBBBBABAAAyzzxxy 又又所以，所以，()()()()()()yyzzzyyzxxzzxzzxyyxxyxxyyzzyzxxzxy

49、yxABBABAABBABAxxxxBAABBABAyyyyBAABBABAzzzzA BA BA BA BA BA Bxyz 1-18，y的积分限为的积分限为）。并验证斯托克）。并验证斯托克设设2xyAe xyex ，试计算下述面积分：试计算下述面积分：()sIA ds S为为x-y平面第一象限内半径为平面第一象限内半径为3的四分之一圆即的四分之一圆即x的积分的积分限为限为20, 9y0,3斯定理。斯定理。解：解：303xyz1l2l3l(2)20 xyzzeeeAe xxyzxyx 293003220321301(2)(2)1 (9)2 929192(9sin)2622327279(9si

50、n 1)(9)262yzzsIe xe dsxdxdyyydyyyyyy 所以所以123322000322203200(cossin )3 cossin(sincos )2 3cos 30( 9sincos6cos)39193 sin3(1sin2 )(9)322l lllA dldxeeeeeddyd 又，又，()slA dsA dl 所以，所以，斯托克斯定理成立。斯托克斯定理成立。1-21在静电场中，电场强度在静电场中，电场强度E 。试求点。试求点2，2，0处的处的E，设，设a）0sin4xye0cosr；（；（b）解：解：（a）00()(sin)cos0444xyzxxxyzEeeexyzyyeeeee 220020(2,2,0)cos42xyxEeeeeee所以；所以；0000220001cossin(si