整体思想在解二元一次方程组中的应用

1、求解一元二次方程时，用代入消元法或是加减消元法，将二元消元为一元。在运用消元法时，对于有些问题，不是从局部着手，而是从大处着眼，从整体上观察，探求解题途径，这种数学思想方法叫整体探求思想，在二元一次方程组中，体现这种思想方法的地方很多.在平常遇到方程组求解时，先从全局观察，再动手求解，可以在一定程度上训练我们“大处着眼，小处着手”的战略眼光，对今后高中数学学习，以至工作中都会有所帮助。例1已知X、y满足方程组则xy的值为.分析：观察题目特点，我们发现可以把原来的两个方程相减，就能够得到所要求的结果.解：把原来的两个方程相减得：，故，答案应该填写1.点评：本题是把x-y作为一个整体来处理，解答起

2、来要比解这个方程组，求出x、y的值，再带入xy计算求值省时，快速，简便.例2解方程组分析此题应抓住6x是3x的2倍，利用方程的3x=8-2y,从而整体代入方程，经消元求解，使解法简洁.解由，得3x=8-2y.把代入，得2(8-2y)+9y=21.y=1.把y=1代入，得3x=8-2.x=2,练习：1.解方程组分析：方程组中的系数成倍数关系，适宜把中的整体彳t入，先求出x的值，再求出y的值.解：由得5y=21-3x把代入，得4x+3(21-3x)=534x+63-9x=53,-5x=-10x=2把x=2代入，得5y=21-6y=3原方程组的解是2 .解方程组解：由，得，将其代入，得，解得.把代入

3、，得，解得.所以原方程组的解为.例3解方程组分析此题数字较大，直接运用代入法或加减法，都会遇到复杂的计算，且容易出错.仔细观察各未知数的系数，第一个方程组的x,y的系数，刚好是第二个方程中y和x的系数，故可采用整体相加减，使系数绝对值变小，得到一个新的简易的方程解+，得58x+58y=638.即x+y=11.-，得16x-16y=-16,即x-y=-1.+，得2x=10,x=5.-，得2y=12,y=6.例4解方程组分析：本题直接解方程组比较复杂，观察方程组中方程的特点，如果把，看成整体，先求出它们的值，计算量会较小，也不容易出错。为此，我们先把方程变得简单.设=从=B,则原方程组化为解得即，

4、整理，得解得练习：1.解方程组分析：方程组中x、y的系数和相等，可以把两式相加减解：+得12x+12y=24,即x+y=2-得4x+2y=2,即2x+y=1-得x=-1,把x=-1代入得y=3原方程组的解是2.解方程组2012x2013y20137®,2013x2012y2012?.分析：两方程中未知数的系数较大，若采用通常的消元法计算量很大，观察方程组的形式，可发现系数有轮换、对称的特点，且和相等，因此可采用整体相加或相减的办法，化简系数，寻找隐含的x、y的关系.解:+，化简得：x+y=1，-，化简得：x-y=-1，+，化简得：x=0,把x=0代入得y=1.所以原方程组的解为x0,

5、y1.3 .已知方程组则x+y的值等于.分析：本题可用“代入法”或“加减法”求得x、y的值，但细心观察X2+，可发现x、y上的系数相同.因此可不求x、y的值而利用整体思想直接解得x+y的值.解：乂2+，得10x+10y=45,所以x+y=.4 .解方程组分析：从形式上看这个方程组比较复杂，应先将每一个方程都进行化简，化成二元一次方程组的一般形式，然后再选择代入法或加减法。但是通过观察可以发现，两个未知数出现的形式只有（x+y）和（x-y）两种，可以把它们分别看成一个整体，利用换元法解。解：设a=x+y,b=x-y原方程化为解得所以，解得5 .解方程组分析：方程组中的系数成整数倍，可以通过变形构

6、造出x-y,且x-y的系数互为相反数，可以把两式相互加减解：由得4（x+y）+3（x-y）=15，+得x+y=3，把代入，得x-y=1+得x=2,-得y=1原方程组的解是例5如果关于mn的二元一次方程组（I）的解是请你用合理的方法求关于x,y的二元一次方程组（n）的解.分析通过观察后发现方程组（I）和（n）中对应的系数分别相等，若把（n）中的x+y和x-y分别看成整体，可知x+y和x-y的值分别与m,n的值相等，从而求得方程组的解.解把方程组（n）中的x+y和x-y分别看成整体，根据方程组（I）的解是可得例6已知方程组3x7yz3,4x10yz4.求x+y+z的值.x、y、z的值，因此可探究分

7、析：本题是一个三元一次方程组，依据条件不能分别求出方程中每项未知数系数的特点，从整体上考虑解决的办法解:x3,x2,得9x21y3z9，2x20y2z8.-得练习1.已知5x+4y=9,且3x+8y=11.求代数式2x+3y的值；2.已知a-2b=5,求15-3a+6b的值.分析：1.中两个方程没有联立方程组，不易观察，可联立方程组利用整体思想探寻特征巧妙解题.2.中可对所求代数式进行变形，整体代入.解:1.联立方程组，得5x4y9,3x8y11.+，得8x+12y=20化简得2x+3y=5.故代数式2x+3y的值为5.2.原式=15-(3a-6b)=15-3(a-2b),由a-2b=5,所以

8、原式=15-3X5=0.3.如果2x+3y+z=130,3x+5y+z=180,求的值.解：将x+2y、x+y+z看作整体，已知条件变形为解得则=例7有A、B两种型号的U盘，其中2个A型U盘与3个B型U盘最多可存储60GB的信息，5个A型U盘与6个B型U盘最多可存储150GB的信息，求3个A型U盘与5个B型U盘最多可存储多少GB的信息？分析：本题可根据题意设未知数列方程组，在解方程组的过程中发现解决问题的办法.解：设1个A型U盘最多可存储xGB的信息，1个B型U盘最多可存储yGB的信息，2x3y60，根据题意得y,5x6y150.X7-，得9x+15y=270,化简得3x+5y=90.故3个A

9、型U盘与5个B型U盘最多可存储90GB的信息.例8有甲、乙、丙三种货物，若买甲5件，乙2件，丙4件，一共需80元；若买甲3件，乙6件，丙4件，一共需144元，现在需购买甲、乙、丙各一件共需多少元？分析：本题可根据题意设未知数列三元一次方程组，但由题中条件只能找到两种等量关系，因此不可能一一求得三个未知数的值，需考虑整体代入探求结果解：设购买一件甲需x元，一件乙需y元，一件需丙z元，根据题意得5x2y4z80，3x6y4z144.+，得8x+8y+8z=224,所以x+y+z=28.故购买甲、乙、丙各一件共需28元.练习：1.有甲、乙、丙三种商品，如果购甲3件、乙2件，丙1件共需315元钱，购甲

10、1件、乙2件、丙3件共需285元钱，那么购甲、乙、丙三种商品各一件共需元钱.分析：我们可以通过设元，构建三元一次方程组来解答.设购买甲、乙、丙三种商品分别需要x元、y元和z元，要想求出购甲、乙、丙三种商品各一件共需多少元钱，我们可以运用整体的思想求出x+y+z的值就可以得到正确答案.解：设购买甲、乙、丙三种商品分别需要x元、y元和z元，那么，根据题意，可以得到：3x+2y+z=315x+2y+3z=285,解得：x+y+z=150.因此，可以填写答案是150元.2.有这样一个问题：今有四数，取其三个而相加，其和分别为22,22,26和20,求此四数各几何？部分学生读不懂题意，但大部分学生是列出了方程组，却不知该如何求解.如果能灵活运用整体思想，此题便能轻松求解解若设此四数分别为a,b,c,d,则根据题意可列出方程组+，得3(a+b+c+d)=90.a+b+c+d=30.-，得d