数学归纳法证明不等式选修IBppt课件

1、 一般地一般地, 当要证明一个命题对于不小于某正整数当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的的所有正整数所有正整数n都成立时都成立时,可以用以下两个步骤可以用以下两个步骤:(1) 证明当证明当n=n0时命题成立时命题成立;(2) 假设当假设当n=k 时命题成立时命题成立, 证明证明 n=k+1时命题也成立时命题也成立.在完成了这两个步骤后在完成了这两个步骤后,就可以断定命题对于不小于就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立的所有正整数都成立. 这种证明方法称为数学归纳法这种证明方法称为数学归纳法.+ +0 0( (k k N N , ,且且 k k n n ) )什么是数学归纳法什么是数

2、学归纳法 ? 用数学归纳法证明时用数学归纳法证明时, 要分两个步骤要分两个步骤, 两者缺一不可两者缺一不可.证明了第一步证明了第一步,就获得了递推的基础就获得了递推的基础,但仅靠这一步还不能但仅靠这一步还不能 说明结论的正确性说明结论的正确性. 在这一步中在这一步中, 只需验证命题结论成立的最小的正整数就可以只需验证命题结论成立的最小的正整数就可以 了了, 没有必要验证命题对几个正整数成立没有必要验证命题对几个正整数成立.(2)证明了第二步证明了第二步, 就获得了推理的依据就获得了推理的依据. 仅有第二步而没有仅有第二步而没有 第一步第一步,则失去了递推的基础则失去了递推的基础;而只有第一步而

3、没有第二步而只有第一步而没有第二步, 就可能得出不正确的结论就可能得出不正确的结论,因为单靠第一步因为单靠第一步, 我们无法递推我们无法递推 下去下去, 所以我们无法判断命题对所以我们无法判断命题对n0+1,n0+2,是否正确是否正确. 在第二步中在第二步中,n=k命题成立命题成立,可以作为条件加以运用可以作为条件加以运用,n=k+1时时 的情况则有待利用命题的已知条件的情况则有待利用命题的已知条件,公理公理,定理定理,定义加以证明定义加以证明. 完成一完成一,二步后二步后,最后对命题做一个总的结论最后对命题做一个总的结论. 用数学归纳法证明不等式问题用数学归纳法证明不等式问题2:;2:.1,

4、?.nnnnnanbab例 观察下面两个数列 从第几项起始终小于 证明你的结论1,4,9,16,25,36,49,64,81,2,4,8,16,32,64,128,256,512,)5,(2,5,2 nNnnbannn即即项项起起从从第第由由数数列列的的前前几几项项猜猜想想25:(1)552 ,n 证明当时,有命题成立2(2)(5),2 .1,knk kknk假设当时命题成立 即有 当时21.(1)(2),2 (,5)nnknnNn即 当时 命 题 成 立由可 知2.sinsin()nnnN例证明不等式:(1)1 ,sin,.n证明当时 上式左边右边 不等式成立(2)(1),sinsin.1

5、,nk kkknk假设当时 命题成立即有 当时1.(1)(2).,nkn即当时不等式成立由可知 不等式对一切正整数 均成立3.:,1,0,1, (1)1nxxxnxnx 例 证明贝努利不等式如果 是实数 且为大于 的自然数那么有22:(1)2,0(1)1212 ,.nxxxxx 证明当时 由得 不等式成立(2)(2),(1)1. 1,knk kxkxnk假设当时不等式成立 即有 当时1.(1)(2),.nk当时不等式成立由可知 贝努利不等式成立,1,0,(1)1,211nxxxxnxnxx 当是实数 且时 由贝努利不等式可得对一切不小于 的正整数 成立,.,10, (1)1(1),01, (1

6、)1(1)nxx xxx x 把贝努利不等式中的正整数 改为实数 时 仍有类似不等式成立当 是实数 并且满足或者时 有当 是实数 并且满足时 有1212124.:(),1.,nnnn na aaa aaaaan例证明 如果为正整数 个正数的乘积那么它们的和1:(1)1 ,1,.na证明当时 有命题成立1212(2),.1, kknkka aaaaak假设当时 命题成立即若 个正数的乘积则 1211211,1,1.kkknkka aaaa aa当时 已知个正数满足条件1211,1,1,kkka aa ak若这个正数都相等 则它们都是其和为命题得证1211 21121,11(1).1,1.kkkka aa aaaaaa若这个正数不全相等 则其中必有大于 的数也有小于的数 否则与矛盾 不妨设1 21 2311 231,1,kkkkaakaa aa aaaaaak为利用归纳假设 我们把乘积看作一个数 这样就得到 个正数的乘积是 由归纳假设可以得到34112kkaaaaka a121121 2121 212(1)11(1)(1)kkaaaakaakaakaaaaaa 121212112