工程流体力学流体静力学课件

1、流体静压强及其特性流体静压强及其特性欧拉平衡微分方程欧拉平衡微分方程重力场中流体的平衡重力场中流体的平衡流体的相对平衡流体的相对平衡静止液体作用在固体壁面上的静止液体作用在固体壁面上的总压力总压力液体作用在浮体和潜体上的总液体作用在浮体和潜体上的总压力压力 当流体处于平衡或相对平衡状态时,作用在流体上的应力只有法向应力而没有切向应力,流体作用面上负的法向应力就是静压强。nnnpdAFdp流体静压强的两个特性流体静压强的两个特性特性一：流体静压强的作用方向沿作用面的内法线方向2-1 流体静压强及其特性流体静压强及其特性 特性二：静压强与作用面在空间的方位无关，只是坐标点的连续可微函数边长 : x

2、、y、z 静压强: Px、Py、Pz和Pn 密度 : 单位质量力的分量:fx 、fy、 fz2-1 流体静压强及其特性流体静压强及其特性力在x方向的平衡方程为: 061,cos21zyxfxpApzypxnBCDnxzyxpAnBCD21,cos由于 031xfppxnx忽略无穷小量nxpp nyppnzpp nzyxpppp证明在静止流体内部,压强只是点的坐标的连续函数。静压强可表示为zyxpp,2-1 流体静压强及其特性流体静压强及其特性在静止流体中取一微元平行六面体边长 x、y、z 中心点坐标 a(x,y,z)中心点压强 p作用在x轴垂直的两个面中心点b、c上的流体静压强，可将a点的静压

3、强按泰勒级数展开，略去二阶以上的无穷小项求得单位质量力的分量fx 、fy、 fz2-2 欧拉平衡微分方程欧拉平衡微分方程流体的平衡微分方程式流体的平衡微分方程式x方向的平衡方程式： 022zyxxppzyxxppzyxfx0zyxxpzyxfxzyxm化简得同除以 01xpfx同理得01ypfy01zpfz（1）（2）（3）2-2 欧拉平衡微分方程欧拉平衡微分方程写成矢量 01pf上式即为流体平衡微分方程式流体平衡微分方程式又叫欧拉平衡微分方程式欧拉平衡微分方程式 意义意义：在静止流体内的任一点上，作用在单位 质量流体上的质量力与静压强的合力相平衡适用范围适用范围： 可压缩、不可压缩流体 静止

4、、相对静止状态流体2-2 欧拉平衡微分方程欧拉平衡微分方程压强差公式压强差公式dzfdyfdxfdzzpdyypdxxpdpzyx0dp0dzfdyfdxfzyx上式中(1)dx +(2)dy +(3)dz得等压面：等压面：在流体中压强相等的点组成的面微分形式的等压面方程等压面等压面2-2 欧拉平衡微分方程欧拉平衡微分方程01xpfx01ypfy01zpfz（1）（2）（3）01pf将写成展开形式性质：在静止流体中，作用于任意点的质量力性质：在静止流体中，作用于任意点的质量力垂直于经过该点的等压面垂直于经过该点的等压面写成矢量形式0dzfdyfdxfldfzyx由矢量代数可知, 这两个矢量必然

5、垂直fdl和流体静力学基本方程式流体静力学基本方程式 0yxffgfzgdzdp1cgpzgpzgpz2211适用于不可压缩重力流体的平衡状态对于不可压缩流体,积分得对1,2两点列方程重力场中,取xoy为水平面,z轴垂直向上,在该坐标系中单位质量力的分量为：2-3 重力场中流体的平衡重力场中流体的平衡物理意义当连续不可压缩的重力流体处于平衡状态时,在流体中的任意点上,单位重量流体的总势能为常数zgp单位重量流体的位势能单位重量流体的压强势能之和为总势能phzgpzgphp对图中a点和b点列静力学方程或2-3 重力场中流体的平衡重力场中流体的平衡gpzgpz2211几何意义不可压缩的重力流体处于

6、平衡状态时,静水头线或者计示静水头线为平行于基准面的水平线zgp位置水头压强水头之和为静水头A-A A-A 静水头线静水头线A AA A 计示静水头线计示静水头线2-3 重力场中流体的平衡重力场中流体的平衡gpzgpz22111自由表面的压强2 淹深为 、密度为 的流体柱产生的压强gphzgpz0ghpp0h帕斯卡原理帕斯卡原理 对淹深为h的a点和压强为p0的自由液面上的点，列静力学基本方程gh上式表明:不可压缩的重力流体处于平衡状态时,流体内部的静压强由两部分构成该式还表明:均质不可压缩的重力流体处于平衡状态时,自由液面上的压强对内部任意点上的影响是相同的,即施加与自由液面上的压强,将以同样

7、的大小传递到液体内部任意点上帕斯卡原理2-3 重力场中流体的平衡重力场中流体的平衡标准大气的压强分布标准大气的压强分布气体的密度RTpgfffzyx,0gdzRTpdp1单位质量力分量为代入压差公式,得CgzpRTln1当1zz时1pp得,积分常数111lngzpRTC代入上式得111lnRTzzgpp去掉对数符号111RTzzgepp2-3 重力场中流体的平衡重力场中流体的平衡dzfdyfdxfdpzyx在大气层中,从高11000m到20100m的空间为恒温层从海平面到11000m的空间,为对流层:已知：KT7 .2161Papmz22638110001163441100022638zep恒

8、温层的压强计算公式:zTT0由压强差公式,得对流层中压强和高度的关系:zTRgdzpdp0积分得RgTzpp001PapKT10132515.28800255. 5443311101325zp海平面上代入得2-3 重力场中流体的平衡重力场中流体的平衡绝对压强绝对压强：以完全真空为基准计量的压强ghppaghpppaeppppaev绝对压强计示压强真空绝对压强计示压强真空2-3 重力场中流体的平衡重力场中流体的平衡计示压强计示压强：以大气压强为基准计量的压强真空真空：当绝对压强低于大气压强时，流体处于真空状态金属式测压计压电晶体式传感器2-3 重力场中流体的平衡重力场中流体的平衡流体静压强的测量

9、流体静压强的测量金属式测压计金属式测压计测压管测压管 appghppaghpeappghppaghpv结构最简单的液柱式测压计为了减小毛细现象的影响,玻璃管直径一般不小于10cm按被测压强高于和低于大气压强分两种情况2-3 重力场中流体的平衡重力场中流体的平衡液柱式测压计液柱式测压计app2211ghpghpaU U形管测压计形管测压计 1122ghghppaapp1122ghghppa1122ghghpv1122ghghpe工作液体一般采用水或水银,压强量程比测压管大得多 被测流体的密度 U 形管中工作液体的密度212-3 重力场中流体的平衡重力场中流体的平衡也按被测压强高于和低于大气压强分

10、两种情况ghghpghpBA22111hghghhgpppBA1211212测量压差测量压差 U形管测压计还可用来测量流体的压强差容器中A,B点的位置高度一样 两个容器中流体的密度U 形管中工作液体的密度212-3 重力场中流体的平衡重力场中流体的平衡12pp 212AAlh sin1lh 2121sinAAlhhhkllAAgghppp2121sink为微压计系数,取值0.2、0.3、0.4、0.6、0.8倾斜式微压计倾斜式微压计工作液体一般采用蒸馏水或者酒精3132351592013600U0.7dmmNkg mkg mhmU例 如图，一压强测试装置，活塞直径，重，油的密度，水银的密度，若

11、不计活塞的摩擦和泄漏，试计算活塞底面和 形管中水银液面的高度差时， 形管中两水银液面的高度差。Padp15590035. 041541522hgghp21122155909200.716.413600 9.80613600phhcmg 解活塞重量使其底面产生的压强为列等压面方程由上式可解得2-3 重力场中流体的平衡重力场中流体的平衡23250200hmmhmm，4514433432232312111hhgppghppghppghppghppBA45143322311hhgghghghghppAB解图中1-1,2-2和3-3均为等压面,根据流体静压强计算公式,可以逐个写出每一点的静压强,分别为将

12、上式逐个代入下一个式子得：整理后得A,B两点的压强差PaghghghghhhgppBA678676 . 0980625. 01334002 . 078503 . 01334003 . 05 . 0980611233243451例如图所示，已知 4=300hmm5=500hmm333123100080013598kg mkg mkg m，求A B两点的压强差2-3 重力场中流体的平衡重力场中流体的平衡112234531979810304945.513600edcmFNpPadcmFNhkg m例 如图所示，两圆筒用管子连接。第一个圆筒直径，活塞上受力，密封气体的计示压强；第二个圆筒，活塞上受力，

13、上部通大气。若不计活塞质量，求平衡状态时两活塞的高度差 。（已知水银的密度）PadFp2010145.043197422111解在F1,F2作用下,活塞底面产生的压强分别为PadFp699643.045.4945422222图中a-a为等压面,题目中给出的第一个圆筒上部是计示压强,所以第二个圆筒上部的大气压强不必考虑，列等压面方程21pghppe解上式得mgppphe3 . 0806. 91360020101981069964122-3 重力场中流体的平衡重力场中流体的平衡afx0yf等加速水平直线运动容器中液体的等加速水平直线运动容器中液体的相对平衡相对平衡静压强的分布规律 gfz代入压强差

14、公式 gdzadxdp坐标原点选在液面不变化的o点，z轴垂直向上，x轴沿罐车的运动方向积分得 Cgzaxp2-4 液体的相对平衡液体的相对平衡dzfdyfdxfdpzyx0z0pp 0pC 当 时得gzaxpp0静压强不仅与垂直坐标有关系，同时还和水平坐标有关系等压面方程 0gdzadx积分得 1Cgzax平面和x轴的夹角为 gaarctg等压面为一簇倾斜平面由公式可以看出,质量力的合力仍然垂直于等压面0 x2-3 重力场中流体的平衡重力场中流体的平衡Cgzaxp等角速旋转容器中液体的相对平衡等角速旋转容器中液体的相对平衡将坐标原点取在抛物面的顶点上，z轴垂直向上，xoy面水平xrfx22co

15、syrfy22singfz单位质量力分量分别为代入压强差公式 gdzydyxdxdp22积分得 2 22 22 2222xyrpgzCgzC 2-4 液体的相对平衡液体的相对平衡当0z0r0pp时代入上式得 0pC 2202rppgzg等压面方程 022gdzydyxdx积分得 1222222Cgzyx1222Cgzr等压面为旋转抛物面等压面为旋转抛物面 2-4 液体的相对平衡液体的相对平衡2 22 22 2222xyrpgzCgzC 自由液面方程 0222sgzrgrzs222ghpzzgpps00代入得 压强分布与绝对平衡时的分布规律在形式上完全相同压强分布与绝对平衡时的分布规律在形式上完

16、全相同01C的等压面为自由液面 2202rppgzg1222Cgzr特例一特例一 顶盖中心开口的旋转容器（离心式铸造机） zgrgpp22200z222rpe0r0epRr 222Rpe流体受惯性力的作用向外甩,由于顶盖的限制,自由液面虽然不能形成抛物面,压强分布为顶盖中心处边缘处2-4 液体的相对平衡液体的相对平衡2 22 22 2222xyrpgzCgzC 特例二特例二 顶盖边缘开口的旋转容器（离心式水泵、离心式风机） Czgrgp2220zRrapp时222RpCazgrRgppa2222液体借助惯性有向外甩的趋势，但中心处随即产生真空,在开口处的大气压和真空形成的压强差的作用下,限制了

17、液体从开口处甩出来,液面不能形成抛物面2-4 液体的相对平衡液体的相对平衡20.50.5UULmam sU例 汽车上装有内充液体的形管，如图所示，形管水平方向的长度，汽车在水平路面上沿直线等加速行驶，加速度为，试求形管两支管中液面的高度差。LhLhhgatg21mmLgah5 .255 . 0806. 95 . 0解解当汽车在水平路面上作等加速直线运动时,U 形管两支管的液面在同一斜面上,设该斜面和水平方向的夹角为 ,由题意知由上式可解出两支管液面差的高度2-4 液体的相对平衡液体的相对平衡01.20.43 0.5dmrmhm例 如图所示，一充满水的圆柱形容器，直径，绕垂直轴等角速旋转，在顶盖

18、上处安装一开口测压管，管中 的水位。问此时容器的转速为多少时，顶盖上所受静水总压力为零。Czgrgp22200rrz解等角速旋转容器中液体相对平衡时,流体静压强的通用公式为将顶盖上的边界条件 时 代入上式,可求得积分常数 ghp2202rghC2-4 液体的相对平衡液体的相对平衡22022rrghp1624422222022220220220drdghdrdrrrghrdrpFdd0Fsdrgh17 .442 .143.085 .0806.91681622220min42727 .4460260rn代入得作用在顶盖上的静水总压力为令 ,由上式可以解出2-4 液体的相对平衡液体的相对平衡在静止液

19、体中，有一和液面呈夹角的任意形状的平面各点的静压强均垂直于平面,构成了一个平行力系。 总压力就是这一个平行力系的合力2-5 静止液体作用在固体壁面上的总压力静止液体作用在固体壁面上的总压力液体作用在平面上的总压力液体作用在平面上的总压力总压力的大小和方向总压力的大小和方向 微元面积上的总压力 dAgyghdAdFPsinAAppydAgdFFsinAyydyAc（面积矩静矩） sinccyh AghAgyFccpsin2-5 静止液体作用在固体壁面上的总压力静止液体作用在固体壁面上的总压力液体作用在底面上的总压力取决于底面积和淹深，与容器的形状和容器内盛水的多少无关静水奇象静水奇象总压力大小总

20、压力大小：等于平板形心处压强PC 与平面受压面积A的乘积。ApAghFccp总压力的作用线和平面的交点，称压力中心 由合理矩定理可知 总压力PFydFyFApDpdAygAyygADc2sinsin对ox 轴的力矩=各微元总压力对ox 轴的力矩的代数和 xAIdAy2（惯性矩二次矩） 2-5 静止液体作用在固体壁面上的总压力静止液体作用在固体壁面上的总压力总压力的作用点总压力的作用点AyIycxD根据平行移轴定理 AyIIccxx2AyIyyccxcDcDyy代入上式得工程实际中的平面往往是对称图形,一般不必计算压力中心的x坐标压力中心D在形心的下方，距离为2-5 静止液体作用在固体壁面上的总

21、压力静止液体作用在固体壁面上的总压力AyIccx液体作用在曲面上的总压力液体作用在曲面上的总压力有一承受液体压强的二维曲面，原点在液面上，坐标系的z 轴垂直向下2-5 静止液体作用在固体壁面上的总压力静止液体作用在固体壁面上的总压力微元面总压力 ghdAdFPxppxghdAghdAdFdFcoscoszppzghdAghdAdFdFsinsin（1）水平分力 AxAxApxpxhdAgghdAdFFxcxAxAhhdA xcxpxAghF曲面A在垂直于x轴的坐标平面内的投影面积 对y的面积矩 xAcxh为投影面积xA的形心的淹深 (y轴垂直纸面向外)2-5 静止液体作用在固体壁面上的总压力静

22、止液体作用在固体壁面上的总压力（2）垂直分力AAzzApzpzhdAgghdAdFFpAzVhdA ppzgVF表示曲面ab和自由液面或者其延长面所包容的体积，称为压力体 2-5 静止液体作用在固体壁面上的总压力静止液体作用在固体壁面上的总压力说明作用在曲面上总压力的垂直分力等于压力体的液重，它的作用线通过压力体的重心。22pzpxpFFFpzpxFFarctg（3）总压力的大小和作用点将上述总压力的两个分力合成，即得到液体作用在曲面上的总压力总压力与垂线之间夹角的正切为：压力体压力体 曲面和自由液面或者自由液面的延长面包容的体积 实压力体：压力体充满液体 虚压力体： 压力体中没有液体OOOA

23、AABBBabcpapapa这三个压力体的大小均为VOAB. 压力体的大小并不改变,曲面所承受的垂直分力的大小也不变化,只是方向改变而已2-5 静止液体作用在固体壁面上的总压力静止液体作用在固体壁面上的总压力NdhHdggVFppz6579125 . 075. 05 . 245 . 098061224323211解对于底盖，由于在水平方向上压强分布对称，所以流体静压强作用在底盖上的总压力的水平分力为零。底盖上总压力的垂直分力顶盖上的总压力的水平分力也为零，垂直分力为NdhHdggVFppz3049125 . 075. 05 . 245 . 0980612243232222-5 静止液体作用在固

24、体壁面上的总压力静止液体作用在固体壁面上的总压力例 如图所示，一贮水器壁面上有三个半球形的盖，其直径相同，d=0.5m，贮水器上下壁面的垂直距离h=1.5m，水深H=2.5m。试求作用在每个半球形盖子上的总压力侧盖上总压力的水平分力NdgHAghFxcxpx481445 . 05 . 298064223NdgFpz321125 . 0980612333NFFFpzpxp482532148142223233侧盖上的压力体为侧盖包容的半球体，所以侧盖垂直分力侧盖总压力的大小和作用线的方向角2 .86321481433arctgFFarctgpzpx由于总压力的作用线与球面垂直，所以作用线一定通过球心2-5 静止液体作用在固体壁面上的总压力静止液体作用在固体壁面上的总压力1212dhGG例 如图