函数的最大(最小)值

1、主讲：陈刚主讲：陈刚喷泉喷出的抛物线型水柱到达喷泉喷出的抛物线型水柱到达“最高点最高点”后便下落，后便下落，经历了先经历了先“增增”后后“减减”的过程，从中我们发现单的过程，从中我们发现单调性与函数的最值之间似乎有着某种调性与函数的最值之间似乎有着某种“联系联系”，让，让我们来研究我们来研究函数的最大值与最小值函数的最大值与最小值. . 前面我们学习了函数的单调性，知道了在前面我们学习了函数的单调性，知道了在函数定义域的某个区间上函数值的变化与自变函数定义域的某个区间上函数值的变化与自变量增大之间的关系，请大家看某市一天量增大之间的关系，请大家看某市一天24小时小时内的气温变化图内的气温变化图

2、. (1)说出气温随说出气温随时间变化的特点时间变化的特点. 从图象上看出从图象上看出0时时4时之间气温下降时之间气温下降,4时时14时之间气温逐步上升时之间气温逐步上升,14时时24时气温逐渐下降时气温逐渐下降. (2)某市这一天何时的气某市这一天何时的气温最高和何时的气温最低？温最高和何时的气温最低？ 14时气温达到最高时气温达到最高,4时气温达到最低时气温达到最低. (3)从图象上看出从图象上看出14时的气温为全天的最时的气温为全天的最高气温高气温,它表示在它表示在024时之间时之间,气温于气温于14时达到时达到最大值最大值,从图象上看出从图象上看出,图象在这一点的位置最图象在这一点的位

3、置最高高.这就是本节课我们要研究函数最大、最小值这就是本节课我们要研究函数最大、最小值问题问题.观察下列两个函数的图象：观察下列两个函数的图象： yxox0图图2MB探究点探究点1 1 函数的最大值函数的最大值【解答解答】第一个函数图象有最高点第一个函数图象有最高点A A, ,第二个函数图第二个函数图象有最高点象有最高点B B, ,也就是说也就是说, ,这两个函数的图象都有最高这两个函数的图象都有最高点点. .思考思考2 2 设函数设函数y=f(x)y=f(x)图象上最高点的纵坐标为图象上最高点的纵坐标为M,M,则则对函数定义域内任意自变量对函数定义域内任意自变量x,f(x)x,f(x)与与M

4、 M的大小关系如的大小关系如何何? ?【解答解答】 f(x)M f(x)M思考思考1 1 这两个函数图象有何共同特征？这两个函数图象有何共同特征？最高点的纵坐标即最高点的纵坐标即是函数的最大值！是函数的最大值！函数最大值定义函数最大值定义：一般地，设函数：一般地，设函数y=f(x)y=f(x)的定义的定义域为域为I I，如果存在实数，如果存在实数M M满足：满足：（1 1）对于任意的）对于任意的xIxI，都有，都有_；（2 2）存在）存在x x0 0II，使得，使得_。那么，我们称那么，我们称M M是函数是函数y=f(x)y=f(x)的最大值的最大值. .f(x)Mf(x)Mf(xf(x0 0

5、)=M)=M函数图象在最高点处的函数值是函数在整个定义域上函数图象在最高点处的函数值是函数在整个定义域上最大的值最大的值. .对于函数对于函数f(x)=-xf(x)=-x2 2而言，即对于函数定义域而言，即对于函数定义域中任意的中任意的xRxR，都有，都有f(x)f(0)f(x)f(0)当一个函数的图象有最高点时，我们就说这个函数有最当一个函数的图象有最高点时，我们就说这个函数有最大值大值. .当当一个一个函数函数的的图象无最高点时，我们就说这个函图象无最高点时，我们就说这个函数没有最大值数没有最大值. .函数图象最高点处的函数值的刻画：函数图象最高点处的函数值的刻画：函数最大值的函数最大值的

6、“形形”的定义：的定义： 而只有而只有(2)(2)没有没有(1),(1),M M不一定是函数不一定是函数y y= =f f( (x x) )的的 最大值最大值. .注意啦！注意啦！定义中的两个条件缺一不可定义中的两个条件缺一不可, ,只有只有(1)(1)没有没有(2)(2)不存在最大值点不存在最大值点, ,图图1yox0 xmxyox0图图2m观察下列两个函数的图象：观察下列两个函数的图象：探究点探究点2 2 函数的最小值函数的最小值思考思考1:1:这两个函数图象各有一个最低点，函数图象这两个函数图象各有一个最低点，函数图象上最低点的纵坐标叫什么名称？上最低点的纵坐标叫什么名称？提示：提示：函

7、数图象上最低点的纵坐标是所有函数值中函数图象上最低点的纵坐标是所有函数值中的最小值的最小值, ,即函数的最小值即函数的最小值. .函数最小值的定义：函数最小值的定义：一般地，设函数一般地，设函数y=f(x)y=f(x)的定的定义域为义域为I I，如果存在实数，如果存在实数N N满足：满足：（1 1）对任意的）对任意的 ，都有，都有_；（2 2）存在）存在 ，使得，使得_._.那么，我们就称那么，我们就称N N是函数是函数y=f(x)y=f(x)的最小值的最小值. .xI0 xIf(x)Nf(x)Nf(xf(x0 0)=N)=N函数图象在最低点处的函数值是函数在整个定义域函数图象在最低点处的函数

8、值是函数在整个定义域上最小的值上最小的值. .对于函数对于函数f(x)=xf(x)=x2 2而言，即对于函数定义而言，即对于函数定义域中任意的域中任意的xRxR，都有，都有f(x)f(0).f(x)f(0).函数图象最低点处的函数值的刻画：函数图象最低点处的函数值的刻画：最小值的最小值的“形形”的定义：的定义：当一个函数的图象有最低点时，我们就说这个函数有最当一个函数的图象有最低点时，我们就说这个函数有最小值小值. .当一个函数的图象没有最低点时，我们就说这个函当一个函数的图象没有最低点时，我们就说这个函数没有最小值数没有最小值. .(1)( )1;f xx 2(2)( );f xx 请大家思

9、考请大家思考, 是否每个函数都有最大值是否每个函数都有最大值,最最小值？举例说明小值？举例说明.一个一个 函数不一定有最值函数不一定有最值. 有的函数可能只有一个最大有的函数可能只有一个最大(或小或小)值值. 如果一个函数存在最值，那么函数的最如果一个函数存在最值，那么函数的最值都是唯一的值都是唯一的,但取最值时的自变量可以有但取最值时的自变量可以有多个多个. 2(3)( )21,0,3)f xxxx 【1】求函数求函数y=x2- -2x- -1的值域和最值的值域和最值. . (1) x0, 3 (2) x(2, 4 (3) x- -2, - -1 ymin=f(1)=- -2,ymax=f(

10、3)=2.值域值域- -2,2ymax=f(4)=7.值域值域(- -1,7ymax=f(- -2)=7.值域值域2,7ymin=f(- -1)=2, 例例2. .求函数求函数 在区间在区间2，6上的最上的最大值和最小值大值和最小值 21yx 解解:设设x1, x2是区间是区间2,6上的任意两个实数上的任意两个实数,且且x1x2,则则2211(21)(1).()xxxx 由由2x1x20,(x1- -1)(x2- -1)0,12()()0,f xf x121222()()11f xf xxx 21212(1)(1)(1)(1)xxxx 于是于是 因此因此,函数函数 在区间在区间2,6上的两个端

11、点上的两个端点上分别取得最大值和最小值上分别取得最大值和最小值.12()().f xf x 所以所以,函数函数 是区间是区间2,6上的减函数上的减函数.21yx 当当x=2时取最大值时取最大值21yx max2(2)2;21yf 当当x=6时取最小值时取最小值min22(6).615yf 即即xyo1 23 4561321. .函数的最大函数的最大( (小小) )值的定义及几何意义值的定义及几何意义 2. .三类函数的最值的求法三类函数的最值的求法 利用二次函数的性质利用二次函数的性质( (配方法配方法) )求函数的求函数的最大最大( (小小) )值值.利用图象求函数的最大利用图象求函数的最大( (小小) )值值.利用函数单调性求函数的最大利用函数单调性求函数的最大( (小小) )值值 如果函数如果函数