最值宝典第十四讲瓜豆原理类问题

1、第十四讲:瓜豆原理类问题整邯感知古人云：“种瓜得瓜，种豆得豆”。讲述的是哲学中的因果原理。即：种什么因就得什么果。所谓“瓜豆原理”，讲述的是两个动点的轨迹之间的关系。也就是说主动点的轨迹与从动点的轨迹一样的。【方法指导】主动点的轨迹是圆，从动点的轨迹也是圆；主动点的轨迹是线，从动点的轨迹也是线。【核心提炼】此类问题的必要条件：两个定量主动点、从动点与定点连线的夹角是定量；主动点、从动点到定点的距离之比是定量.解决问题的策略：1、两动：一个主动点，一个从动点2、一定：瓜豆原理的前提是必须存在定点来充当旋转中心或者位似中心，使主动点经过相应的变换得到从动点。可谓“无定点，不瓜豆”。旋转篇之轨迹是圆

2、引例1：如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP,作AQ丄AP且AQ=AP.当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是什么？【分析】Q点轨迹是个圆，可理解为将AP绕点A逆时针旋转90。得AQ，故Q点轨迹与P点轨迹都是圆.只需要确定圆心与半径.VAPAQ，AQ点轨迹圆圆心M满足AM丄AO；AP=AQ,Q点轨迹圆圆心M满足AM=AO,且半径MQ=PO.即可确定圆M位置，任意时刻均有APOAQM.231中考数学专题最值经典引例2：如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP,以AP为一边作等边APQ.当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是什么？Q232【分析】Q点满足（l）ZPAQ=60；（2）AP=AQ,故Q

3、点轨迹是个圆:VZPAQ=60，AQ点轨迹圆圆心M满足ZMAO=60；AP=AQ,Q点轨迹圆圆心M满足AM=AO,且半径MQ=PO.即可确定圆M位置，任意时刻均有APOAQM.【基本模型】瓜豆原理初体验如图，正方形ABCD中，AB=2/5,O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE=2,连接DE,将线段DE绕点D逆时针旋转90得DF，连接AE,CF贝V线段OF长的最小值（A.2爲B.拓+2C.210_2D.52_2中考数学专题一最值经典【分析】E是主动点，F是从动点，D是定点，E点满足E0=2,故E点轨迹是以0为圆心，2为半径的圆.FTDE丄DF且DE=DF，故作DM丄DO且DM=DO,F点

4、轨迹是以点M为圆心，2为半径的圆.连接DO,将线段DO绕点D逆时针旋转90得DM，连接OF,FM,OM,证明厶EDO竺HFDM，可得FM=OE=2，由勾股定理可得OM=5巨，根据yZEDF=ZODM=90,:,ZEDO=ZFDM，、：DE=DF,DO=DM,:.EDOFDM(SAS),:,FM=OE=2,:正方形ABCD中，AB=1/5，O是BC边的中点,：OC=花,OD=02.5)_；5).5，om=F5,2:OF+MF三OM,OF25迈一匕故选：D.方法策略模式：利用全等找出圆心和半径即可。如图，PA=EPB=2-电,以AB为一边作正方形ABCD，使P、D两点落在直线AB的两侧，当P与D的

5、距离最大时，正方形ABCD的面积为【解析】PA=iE，PB=2.W，AB长度可变，故以AB为一边作正方形ABCD大小位置可变把PA的位置确定，则点B的轨迹是圆P，半径为2.3，P为定点，D为动点，先确定点D的轨迹。点D因B动而动，故点B是主动点，点D是从动点。VAB=AD，故将圆P绕A逆时针选装90得到圆O,及时点D的轨迹。圆O的半径也是2*3，当点P,O,D三点共线时PD最大。当然，反过来旋转也是一样的。将APAD绕点A顺时针旋转90。得到PAB，PD的最大值即为PB的最大值，过A作AH丄P，B于H,根据等腰三角形的性质得到AH=PH=2PP=Tg，根据勾股定理得至【AB=；A用30，于是得

6、到结论.【解答】解：如图所示，将APAD绕点A顺时针旋转90得到PAB，PD的最大值即为PB的最大值，.PPB中，PBVPP+PB，PP=_PA=2瓦PB=2迂，且P、D两点落在直线AB的两侧，当P、P、B三点共线时，PB取得最大值（如图）此时PB=PP+PB=4i1，卩PB的最大值为伞迂，.过A作AH丄PB于H，.ah=ph=2p/p=%，_2/：BH=3迂，AB=述诫十5酹=打加，正方形ABCD的面积为30,故答案为：30.234中考数学专题最值经典瓜豆原理可简单概括为：一条折线段，固定其折点，邻边定比例，夹角不改变.有三点：主动点、固定点和从动点，若主动点在直线上动，则从动点在直线上动；

7、若主动点在圆上动，则从动点在圆上动.【基本模型】旋转篇之轨迹是线段引例3：如图，P是直线l上一个动点，A为定点，连接AP,作AQ丄AP且AQ二AP.当点P在直线l上运动时，Q点轨迹是什么？236【分析】Q点轨迹是一条直线，可理解为将AP绕点A顺时针旋转90得AQ，故Q点轨迹与P点轨迹都是一条直线.而两点确定一条直线，只需要确定两个点即可.Q是其中一个点了，再确定一个点即可。任选直线l上一点B则AB=AB且AB丄AB，则任意时刻均有AAPB竺厶AQB直线BQ即为所求直线。如图，在平面直角坐标系中，A(-3,0)，点B是y轴正半轴上动点,以AB为边在AB的下方作等边ABP，点B在y轴上运动时，求O

8、P的最小值.直线上运动，故可知P点轨迹也是直线.取两特殊时刻：(1)当点B与点O重合时，作出P点位置Pl；(2)当点B在x轴上方且AB与x轴夹角为60时，作出P点位置P2.连接P1P2，即为P点轨迹.根据ZABp=60。可知：pt与y轴夹角为6，作0P丄pt，所得长度即为最小值，OP2=OA=3，所以OP=-.2iiL亠如图，在等边ABC中，AB=10,BD=4,BE=2，点P从点E出发沿EA方向运动，连结PD,以PD为边，在PD的右侧按如图所示的方式作等边DPF,当点P从点E运动到点A时，点F运动的路径长是.【分析】根据DFF是等边三角形，所以可知F点运动路径长与P点相同，P从E点运动到A点

9、路径长为8,故此题答案为8.如图，正方形ABCD的边长为4,E为BC上一点，且BE=1,F为AB边上的一个动点，连接EF,以EF为边向右侧作等边AEFG,连接CG,则CG的最小值为【分析】同样是作等边三角形，区别于上一题求动点路径长，本题是求CG最小值,可以将F点看成是由点B向点A运动，由此作出G点轨迹。因为F点轨迹是线段，故G点轨迹也是线段，取起点和终点即可确定线段位置，初始时刻G点在H位置，只需再任意找一点G的位置，两点确定一条直线，直线GH即为G点运动轨迹.再中考数学专题一最值经典利用垂线段最短，点C到直线GH的距离最小即为CM丄HG时取最小值解：由题意可知，点F是主动点，点G是从动点，

10、点F在线段上运动，点G也一定在直线轨迹上运动AD将AEFB绕点E旋转60，使EF与EG重合，得到EFB竺HEHG从而可知AEBH为等边三角形，点G在垂直于HE的直线HN上作CM丄HN，则CM即为CG的最小值【点评】本题考查了线段极值问题，分清主动点和从动点，通过旋转构造全等，从而判断出点G的运动轨迹，是本题的关键，之后运用垂线段最短，构造图形计算，是极值问题中比较典型的类型方法策略模式：利用旋转和全等，找出两点，确定一条直线即可。1. 两动：一个主动点，一个从动点。一定：瓜豆原理的前提是必须存在定点来充当旋转中心使主动点经过相应的变换得到从动点。可谓“无定点，不瓜豆”2. 种瓜得瓜种豆得豆。主

11、动点轨迹是圆，从动点轨迹就是圆。主动点轨迹是直线，从动点轨迹是直线。3当主动点轨迹是圆时，只需要找到圆心和半径即可。如果只是旋转，旋转前后半径不变。4. 当主动点轨迹是直线时，只需要任意找两点就可，两点确定一条直线。有时找两个端点或者极限点最好。5. 当从动点轨迹是圆时，定点M到从动点Q的最大值等于定点M到Q的轨迹圆圆心O的距离MO加上半径r，即MQ=MO+r，定点M到从动点Q的最小值等于定点QmaxQM到Q的轨迹圆圆心O的距离MO减去半径r，即MQ=MO-rQminQ6. 当从动点轨迹是直线时，定点M到从动点Q的最小值等于点M到轨迹只是的垂线段的长度。走向中考1.如图，已知AB=2,点D是等

12、腰R/ABC斜边AC上的一动点，以BD为一边向右下方作等边ABDE,当动点D由点A运动到点C时，则动点E运动的轨迹长为.2391.如图，在平面直角坐标系中，A(-3,0)，点B是y轴正半轴上一动点，点C、D在x正半轴上.(1) 如图，若ZBAO=60，ZBCO=40，BD、CE是ABC的两条角平分线，且BD、CE交于点F,直接写出CF的长.(2) 如图，AABD是等边三角形，以线段BC为边在第一象限内作等边BCQ，连接QD并延长，交y轴于点P,当点C运动到什么位置时，满足PDDC?请求3出点C的坐标；(3) 如图，以AB为边在AB的下方作等边ABP，点B在y轴上运动时，求OP的最小值XAO图1

13、中考数学专题一最值经典走向中考答案：【分析】由等边ABDE可将从动点E看成是由主动点D绕着定点B按顺时针方向旋转60。得到，因而从动点E的轨迹也可看成是由主动点D的轨迹绕着定点B按顺时针方向旋转60度而来，即所求目标动点E的轨迹就是斜边AC绕着定点B按顺时针方向旋转60度而来；要求动点E的轨迹长，不需要采取“极限法”找到此轨迹的起点和终点，也不需要画图，根据“旋转不变性”，即旋转之后的图形与旋转之前的图形全等知，要求的动点E的轨迹长就是斜边AC的长，即为2迈。综合素质拓展答案：1.【分析】(1)作ZDCH=10,CH交BD的延长线于H,分别证明厶OBDHCD和AOBmHFHC，根据全等三角形的

14、对应边相等解答；(2) 证明CBA竺HQBD，根据全等三角形的性质得到ZBDQ=ZBAC=60，求出CD,得到答案；(3) 以OA为对称轴作等边AADE,连接EP,并延长EP交x轴于点F.证明点P在直线EF上运动，根据垂线段最短解答.【解答】解：(1)作ZDCH=10,CH交BD的延长线于H,VZBAO=60,ZABO=30,AB=2OA=6,VZBAO=60,ZBCO=40,ZABC=180-60-40=80,BD是ABC的角平分线，ZABD=ZCBD=40,ZCBD=ZDCB,ZOBD=40-30=10,DB=DC,在AOBD和AHCD中，Vobd=ZhcdDB=DC,Xodb=zhdcO

15、BD竺AHCD(ASA),OB=HC,在AAOB和AFHC中，Vabo=ZfchOB=HC,ZA0B=ZFHC:.AOBFHC(ASA),:CF=AB=6,故答案为：6；(2) VABD和ABCQ是等边三角形，:,ZABD=ZCBQ=60,/ABC=/DBQ,在ACBA和AOBD中，rBA=BDJZABC=ZDBQ,:BC=BQ:.CBAQBD(SAS),:,ZBDQ=ZBAC=60,:-ZPDO=60,PD=2DO=6,.PD=ZDC,3:.DC=9，即OC=OD+CD=12,点C的坐标为(12,0)；(3) 如图3,以OA为对称轴作等边AADE,连接EP,并延长EP交x轴于点F.由(2)得

16、，AEPADB,:,ZAEP=ZADB=120,ZOEF=60,OF=OA=3,点P在直线EF上运动，当OP丄EF时，OP最小，OP=2OF=-22则OP的最小值为空.21H:JO图戸瓜豆原理之旋转位似篇【基本模型】位似篇之轨迹是圆引例1：如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP,Q为AP中点.当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是什么？【分析】由于点P的轨迹是圆0,点Q为AP中点.可知点Q轨迹是个圆，那么此圆与圆0有什么关系呢？由于Q点始终为AP中点，连接A0,取A0中点M贝点即为Q点轨迹圆圆心，半径MQ是0P半，任意时刻，均有AMQAOP，QM:P0=AQ:AP=1:2.【小结】确定Q点轨迹

17、圆即确定其圆心与半径，由A、Q、P三点共线可得：A、M、0三点共线，由Q为AP中点可得：AM=2A0.Q点轨迹相当于是P点轨迹成比例缩放.典例呈现:如图，点P为函数y=（x0）的图象上一点，且到两坐标轴距离相等，OP半径为2,/（3，0），B（6，0），点Q是OP上的动点，点C是QB的中点，则AC的最小值是（）A.2-迈-IB.2_迈+1C.4D.2【分析】Q点为主动点，C点为从动点，B点为定点由于点C是BQ中点，可知C点轨迹是以BP中点D为圆心，DC为半径作圆，即为点C轨迹.当A、C、D三点共线且点C在线段DA上时，AC取到最小值，根据B、P坐标求D,利用两点间距离公式求得OA,则AC二OA

18、-OC.min还有另一种方法不用画图，利用三角形的中位线。先求出点P坐标是（4,4）,连接OP交OP于点Q，连接BQ因为OA=AB,CB=CQ，所以OQ,所以当OQ最小时，AC最小，Q运动到Q时，OQ最小，由此即可解决问题.【解答】解：点P为函数y=（x0）的图象上一点，且到两坐标轴距离相x等，可设P（x，x）（x0），贝吐=丄，解得兀=4（负值舍去），K点P（4，4）.如图，连接OP交OP于点Q，连接BQ，取BQ的中点c，连接AC，此时AC最小.VA（3，0），B（6，0），点C是QB的中点,OA=AB，CB=CQ，ACOQ.ill当Q运动到Q时，OQ最小，此时AC的最小值AC匸寺OQ=寺（

19、OP-PQ）=2卫-1.故选：A.243中考数学专题最值经典【点评】本题考查点与圆的位置关系、坐标与图形的性质、三角形中位线定理、最小值问题等知识，解题的关键是理解圆外一点到圆的最小距离以及最大距离，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型如图，在等腰RtABC中，AC=BC=lf2，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点.当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是（）B.nC.2卫D.2248【分析】由于点P的轨迹是半圆，且C、M、P共线及M是CP中点，可确定M点轨迹也是半圆。取AB中点0,连接CO取CO中点D，以D为圆心，DM为半径作圆D分别交AC、BC于E、F两点，则弧

20、EF即为M点轨迹.当然，若能理解M点与P点轨迹关系，可直接得到M点的轨迹长为P点轨迹长一半,即可解决问题【解答】解：取AB的中点O、AC的中点E、BC的中点F,连结OC、OP、OM、OE、OF、EF，如图，在等腰RtABC中，AC=BC=2迥，.AB=_2BC=4，AOCAB=2，OP*AB=2，22TM为PC的中点，OM丄PC,ZCMO=90,点M在以OC为直径的圆上，点P点在A点时，M点在E点；点P点在B点时，M点在F点，易得四边形CEOF为正方形，EF=OC=2,M点的路径为以EF为直径的半圆，点M运动的路径长=22nl=n.2故选：B.点评】本题考查了轨迹：点按一定规律运动所形成的图形

21、为点运动的轨迹.解决此题的关键是利用等腰三角形的性质和圆周角定理确定M点的轨迹为以EF为直径的半圆.【基本模型】位似篇之轨迹是线段引例2：如图，P是直线BC上一动点，连接AP,取AP中点Q,当点P在BC上运动时，Q点轨迹是什么图形？A【分析】分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N,在运动过程中，因为AP=2AQ，所以QN二1AM,即Q点至【JBC的距离是定值，故Q点轨迹是一2条直线.当P点轨迹是直线时，Q点轨迹也是一条直线.A如图，已知EF为“ABC的中位线，BC=10，M是边BC上一动点，连接AM交EF于点P，那么动点P运动轨迹的长度是.【分析】由于点M的轨迹是线段，且A、M、P共线及P

22、是AM中点，可确定P点轨迹也是线段且是BC长度的一半即为线段EF，则EF二2BC二5.【基本模型】瓜豆原理与轨迹长度计算如图，在等腰RtABC中，AC=BC=叵，点P在以斜边AB为直径的半圆上,M为PC的中点，当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是【解答】解：如图，连接OP,OC,取OC的中点K连接MKcpABOAC=BC=_P，ZACB=90,AB=12十2=2，.CM=MP,CK=OK，当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径是以为圆心，寺长为半径的半圆，点淀动的路径长专2時語，故答案为今.【点评】本题考查轨迹，等腰直角三角形的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是学会添加

23、常用辅助线，正确寻找点的运动轨迹1初中数学中动点轨迹的问题，一般有两种情况：直线或圆弧.2在运动中寻找不变量，即不变的数量关系或位置关系.如果动点的轨迹是一条线段，那么其中不变的量便是该动点到某条直线的距离始终保持不变；如果动点的轨迹是一段圆弧，则该动点到某个定点的距离始终保持不变.因此，解决此类动点轨迹问题便可转化为寻找定直线或定点3.大胆猜想目标点的起点、中点、末点时的位置，连接起来，猜想它是什么形状；4利用特殊值算出动点路径长：动点轨迹往往是直线或者圆的一部分。线段。当动点到某条直线或线段的距离相等时，动点的轨迹很可能是条线段；当动点是一个固定角的顶点时，轨迹很可能是条弧。当动点到某定点的长度一定时，轨迹是一条圆弧.1.我们把满足某种条件的所有点所组成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹例如：角的平分线是到角的两边距离相等的点的轨迹问题：如图1,已知EF为“ABC的中位线，M是边BC上一动点，连接AM交EF于点P,那么动点P为线段AM中点.理由：线段EF为HABC的中位线，EFBC,由平行线分线段成比例得：动点P为线段AM中点.由此你得到动点P的运动轨迹是：.知识应用：如图2,已知EF为等边ABCAB