北师大版：函数的单调性与导数公开课

1、4.1.1导数与函数导数与函数的单调性的单调性高二数学高二数学 选修选修1-1 第四章第四章 导数应用导数应用（4）.对数函数的导数对数函数的导数:.1)(ln)1(xx .ln1)(log)2(axxa（5）.指数函数的导数指数函数的导数:.)()1(xxee ).1, 0(ln)()2( aaaaaxx xxcos)(sin1）（3）.三角函数三角函数 ： xxsin)(cos2）（1）.常函数：常函数：(C)/ 0, (c为常数为常数)； （2）.幂函数幂函数 ： (xn)/ nxn 1一、复习回顾：基本初等函数的导数公式一、复习回顾：基本初等函数的导数公式法则法则1:f(x) g(x)

2、 )()()()()()(xgxfxgxfxgxf法则法则2:2)()()()()()()(xgxgxfxgxfxgxf法则法则3:= f(x) g(x);)()()()()()(xgxfxgxfxgxf2)()()()()()()(xgxgxfxgxfxgxf)()(cxcfxf)()(cxcfxf0 00 00 0 x x0 0f f( (x x + +x x) )- - f f( (x x ) )k k = = f f ( (x x ) )= = l li im mx x 导数的几何意义导数的几何意义 f (x)在在 处的导数处的导数 即为即为f(x)所表示曲线在所表示曲线在 处切线的斜

3、处切线的斜率，即率，即0 0 x = xx = x0 0f (x )f (x )0 0 x = xx = x)(),()(xuxuyyxguufyxgfy的导数间的关系为的导数和函数复合函数复合函数的导数复合函数的导数观观 察察: 下图下图(1)表示高台跳水运动员的高度表示高台跳水运动员的高度 h 随时间随时间 t 变化的变化的函数函数 的图象的图象, 图图(2)表示高台跳水运表示高台跳水运动员的速度动员的速度 v 随时间随时间 t 变化的函数变化的函数 的图象的图象. 运动员从起跳到最高点运动员从起跳到最高点, 以及从最高点到入水这两段时以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别间的运

4、动状态有什么区别?105 . 69 . 4)(2ttth5 . 69 . 4)(ttvaabbttvhOO 运动员从起跳到运动员从起跳到最高点最高点, ,离水面的高度离水面的高度h随时间随时间t 的增加而增加的增加而增加, ,即即h(th(t) )是增函数是增函数. .相应相应地地, ,( )( )0.v th t 从最高点到入水从最高点到入水, ,运动员运动员离水面的高度离水面的高度h随时间随时间t t的的增加而减少增加而减少, ,即即h(th(t) )是减函数是减函数. .相应地相应地, ,( )( )0.v th t(1)(1)(2)(2)xyOxyOxyOxyOy = xy = x2y

5、 = x31yx 观察下面一些函数的图象观察下面一些函数的图象, 探讨函数的单调性与其导函探讨函数的单调性与其导函数正负的关系数正负的关系.一般地一般地, ,设函数设函数y=f(x)y=f(x)在某个区间（在某个区间（a,ba,b）内可导）内可导, , 如果如果 则则f(x)f(x)为增函数；为增函数；如果如果, , 则则f(x)f(x)为减函数为减函数0)x(f 0)x(f 如果在如果在恒有恒有 , ,0)x(f 一般地一般地, ,设函数设函数y=f(x)y=f(x)在某个区间（在某个区间（a,ba,b）内可导）内可导, , 如果如果 则则f(x)f(x)为增函数；为增函数；如果如果, ,

6、则则f(x)f(x)为减函数为减函数0)x(f 0)x(f 则则f(x)为常数函数为常数函数.如果在如果在恒有恒有0)x(f 例例1 已知导函数已知导函数 的下列信息的下列信息:当当1 x 4 , 或或 x 1时时,当当 x = 4 , 或或 x = 1时时,)(xf ; 0)( xf; 0)( xf. 0)( xf试画出函数试画出函数 的图象的大致形状的图象的大致形状.)(xf解解: 当当1 x 4 , 或或 x 1时时, 可知可知 在此区在此区间内间内单调递减单调递减;( )0,fx)(xf 当当 x = 4 , 或或 x = 1时时, . 0)( xf 综上综上, 函数函数 图象图象的大

7、致形状如右图所示的大致形状如右图所示.)(xfxyO14题型：应用导数信息确定函数大致图象题型：应用导数信息确定函数大致图象例例2 判断下列函数的单调性判断下列函数的单调性, 并求出单调区间并求出单调区间:; 32)( )2( ;3)( ) 1 (23xxxfxxxf );, 0(,sin)( )3(xxxxf. 12432)( )4(23xxxxf解解:(1) 因为因为 , 所以所以3( )3f xxx. 0) 1(333)(22xxxf因此因此, 函数函数 在在 上单调递增上单调递增.xxxf3)(3Rx题型：求函数的单调性、单调区间题型：求函数的单调性、单调区间例例2 判断下列函数的单调

8、性判断下列函数的单调性, 并求出单调区间并求出单调区间:; 32)( )2( ;3)( ) 1 (23xxxfxxxf );, 0(,sin)( )3(xxxxf. 12432)( )4(23xxxxf解解:(2) 因为因为 , 所以所以2( )23f xxx).1(222)(xxxf当当 , 即即 时时, 函数函数 单调递增单调递增;0)( xf1x32)(2xxxf当当 , 即即 时时, 函数函数 单调递减单调递减.0)( xf1x32)(2xxxf题型：求函数的单调性、单调区间题型：求函数的单调性、单调区间.1-1)(），），单调递减区间为（，的单调递增区间为（函数xf例例2 判断下列函

9、数的单调性判断下列函数的单调性, 并求出单调区间并求出单调区间:; 32)( )2( ;3)( ) 1 (23xxxfxxxf );, 0(,sin)( )3(xxxxf. 12432)( )4(23xxxxf解解:(3) 因为因为 , 所以所以( )sin,(0, )f xxx x. 01cos)(xxf因此因此, 函数函数 在在 上单调递减上单调递减.xxxfsin)(), 0(x(4) 因为因为 , 所以所以32( )23241f xxxx 当当 , 即即 时时, 函函数数 单调递增单调递增;0)( xf21712171xx或)(xf 当当 , 即即 时时, 函数函数 单调递减单调递减.

10、0)( xf2466)(2xxxf21712171x)(xf总结总结: 当遇到三次或三次以上的当遇到三次或三次以上的,或图象很难或图象很难画出的函数求单调性问题时，应考虑导数法。画出的函数求单调性问题时，应考虑导数法。求定义域求定义域求求( )fx令令()0()()0()fxfxfxfx 解解不不等等式式的的递递增增区区间间解解不不等等式式的的递递减减区区间间作出结论作出结论1 1什么情况下，用什么情况下，用“导数法导数法” ” 求函数单调性、求函数单调性、 单调区间较简便？单调区间较简便？2 2试总结用试总结用“导数法导数法” ” 求单调区间的步骤？求单调区间的步骤？总结：总结：注：注：单调

11、区间不以单调区间不以“并集并集”出现。出现。 练习练习判断下列函数的单调性判断下列函数的单调性, 并求出单调区间并求出单调区间:;)( )2( ; 42)( ) 1 (2xexfxxxfx.)( )4( ;3)( )3(233xxxxfxxxf(1)(1,)单调递增区间:,单调递减区间:(- ,1)(2)(0,)单调递增区间:,单调递减区间:(- ,0)(3)( 1,1)单调递增区间:, 单调递减区间:(- ,1),(1,+ )1(4)(1,)313单调递增区间:,(- ,-) 单调递减区间:(-,1)例例3 3 如图如图, , 水以常速水以常速( (即单位时间内注入水的体积相同即单位时间内注

12、入水的体积相同) )注注入下面四种底面积相同的容器中入下面四种底面积相同的容器中, , 请分别找出与各容器对应请分别找出与各容器对应的水的高度的水的高度h h与时间与时间t t的函数关系图象的函数关系图象. .(A)(A)(B)(B)(C)(C)(D)(D)h ht tOh ht tOh ht tOh ht tO1),(2)( ),(3)(),(4)( )BADC解：（） （ 一般地一般地, , 如果一个函数在某一范围内导数如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大的绝对值较大, , 那么函数在这个范围内变化得那么函数在这个范围内变化得快快, , 这时这时, , 函数的图象就比较函数的图象就比较

13、“陡峭陡峭”( (向上向上或向下或向下) ); ; 反之反之, , 函数的图象就函数的图象就“平缓平缓”一些一些. . 如图如图, ,函数函数 在在 或或 内的图内的图象象“陡峭陡峭”, ,在在 或或 内的图象内的图象“平平缓缓”. .)(xfy), 0(b)0 ,(a),( b),(a通过函数图像，不仅可以看出函数的增或减，还可通过函数图像，不仅可以看出函数的增或减，还可以看出其变化的快慢，结合图像，从导数的角度解以看出其变化的快慢，结合图像，从导数的角度解释变化快慢的情况。释变化快慢的情况。一般地一般地, ,设函数设函数y=f(x)y=f(x)在某个区间（在某个区间（a,ba,b）内可导）

14、内可导, , 如果如果 则则f(x)f(x)为增函数；为增函数；如果如果, , 则则f(x)f(x)为减函数为减函数0)x(f 0)x(f 如果在如果在恒有恒有 , ,0)x(f 一般地一般地, ,设函数设函数y=f(x)y=f(x)在某个区间（在某个区间（a,ba,b）内可导）内可导, , 如果如果 则则f(x)f(x)为增函数；为增函数；如果如果, , 则则f(x)f(x)为减函数为减函数0)x(f 0)x(f 则则f(x)为常数函数为常数函数.如果在如果在恒有恒有0)x(f 总结总结: 当遇到三次或三次以上的当遇到三次或三次以上的,或图象很难或图象很难画出的函数求单调性问题时，应考虑导数法。画出的函数求单调性问题时，应考虑导数法。求定义域求定义域求求(