数值积分和数值微分ppt课件

1、第5章 数值逼近模型5.25.2节节 数值积分和数值微分数值积分和数值微分数值积分数值积分n假设函数假设函数f (x)在区间在区间a, b上延续，且原函数为上延续，且原函数为F(x)，那么可用牛顿，那么可用牛顿莱布尼兹公式莱布尼兹公式nn来求得定积分。然而，对有些函数来说，找到原来求得定积分。然而，对有些函数来说，找到原函数往往很困难，有些原函数不能用初等函数表函数往往很困难，有些原函数不能用初等函数表示出来，例如：示出来，例如：n在实践问题中，更多的函数是用表格或图形表示在实践问题中，更多的函数是用表格或图形表示的，对这种函数，更无法用牛顿的，对这种函数，更无法用牛顿莱布尼兹公莱布尼兹公式求

2、积分。式求积分。)()()(aFbFdxxfbadxeax02数值积分数值积分n有必要研讨用数值方法求定积分的问题。这种数有必要研讨用数值方法求定积分的问题。这种数值积分方法也是微分方程、积分方程数值解法的值积分方法也是微分方程、积分方程数值解法的根底。根底。n数值积分的根本思想是构造一个简单函数例如数值积分的根本思想是构造一个简单函数例如多项式多项式Pn (x)来近似替代被积分函数来近似替代被积分函数f (x)，然后，然后经过求经过求 求得求得 的近似值。的近似值。bandxxP)(badxxf)(5.2.1 数值积分插值型求积公式插值型求积公式设设插值型求积公式就是构造插值多项式插值型求积

3、公式就是构造插值多项式Pn(x)，使，使称右式为插值求积公式。称右式为插值求积公式。badxxfI)(*bandxxPII)(*两点公式两点公式 n构造以构造以a，b为结点的线性插值多项式为结点的线性插值多项式 )()()(1bfabaxafbabxxP)()()(21)(21)()(21)()()()()()()()(221bfafabababbfbabaafdxaxabbfdxbxbaafdxbfabaxafbabxdxxPTbabababa梯形公式梯形公式 复化求积公式复化求积公式 n假设积分区间比较大，直接地运用上述求积公式，假设积分区间比较大，直接地运用上述求积公式，精度难以保证。可

4、将积分区间精度难以保证。可将积分区间a, b分成分成n个小区个小区间，对间，对f (x)用分段线性插值，然后积分。用分段线性插值，然后积分。n常采取的方法是：常采取的方法是：n1等分求积区间，比如取步长等分求积区间，比如取步长h=(b-a)/n，分，分a, b为为n等分，分点为等分，分点为 k = 0, 1, 2, nn2在区间在区间 xk, xk+1上运用以上求积公式求得上运用以上求积公式求得Ikn3取和值，作为整个区间上的积分近似值。取和值，作为整个区间上的积分近似值。n这种求积方法称为复化求积方法。这种求积方法称为复化求积方法。khxxk05.2.1 数值积分x0 x1x2x3x40y0

5、y1y2y3y4xy 未 知 函 数 f(x)已 知 结 点线 性 插 值 函 数 S41(x)图图5.9 复化梯形求积公式表示图复化梯形求积公式表示图5.2.1 数值积分5.2.1 数值积分5.2.1 数值积分5.2.1 数值积分5.2.1 数值积分5.2.1 数值积分Trapezoidal numerical integration-8000 -6000-4000-200002000400060008000-8000-6000-4000-200002000400060008000图图5.10 卫星轨道和地球外表表示图卫星轨道和地球外表表示图5.2.1 数值积分5.2.1 数值积分5.2.1

6、 数值积分r=6371;d1=439;d2=2384;k=1;a=r+(d1+d2)/2;c=a-d1-r;b=sqrt(a2-c2)y=(x)sqrt(a2.*sin(x).2+b2.*cos(x).2)ezplot(y,0,pi/2)x=linspace(0,pi/2,k+1);s=4*trapz(x,y(x)5.2.2 数值微分5.2.2 数值微分5.2.2 数值微分5.2.2 数值微分5.2.2 数值微分5.2.2 数值微分5.2.2 数值微分5.2.2 数值微分5.2.2 数值微分5.2.2 数值微分5.2.2 数值微分5.2.2 数值微分5.2.2 数值微分5.2.2 数值微分5.

7、2.2 数值微分5.2.2 数值微分5.2.3 水塔流量估计 1. 问题提出5.2.3 水塔流量估计 1. 问题提出5.2.3 水塔流量估计 2. 问题分析5.2.3 水塔流量估计 2. 问题分析5.2.3 水塔流量估计 2. 问题分析051015202588.599.51010.511水 泵 不 工 作 时 段 的 任 意 时 刻 水 位 图时 刻 （ 小 时 ）水位（米）图图5.115.2.3 水塔流量估计 2. 问题分析5.2.3 水塔流量估计 2. 问题分析5.2.3 水塔流量估计 2. 问题分析5.2.3 水塔流量估计 3. 模型假设5.2.3 水塔流量估计 3. 模型假设5.2.3

8、 水塔流量估计 4. 符号阐明5.2.3 水塔流量估计 4. 符号阐明5. 模型建立和算法设计 第1步5. 模型建立和算法设计 第2步5. 模型建立和算法设计 第2步5. 模型建立和算法设计 第3步5. 模型建立和算法设计 第4步5.2.3 水塔流量估计 5. 模型建立和算法设计6. 模型求解 第1步6. 模型求解 第1步6. 模型求解 第1步051015202588.599.51010.511水 泵 不 工 作 时 段 的 任 意 时 刻 水 位 图时 刻 （ 小 时 ）水位（米）图图5.116. 模型求解 第2步6. 模型求解 第2步6. 模型求解 第2步6. 模型求解 第2步6. 模型求解 第2步051015202530354045505560657075水 泵 不 工 作 时 段 的 任 意 时 刻 流 量 图时 刻 （ 小 时 ）水流量（立方米/小时）图图5.126. 模型求解 第3步6. 模型求解 第3步6. 模型求解 第4步6. 模型求解 第4步6. 模型求解 第5步6. 模型求解 第5步6. 模型求解 第5步6. 模型求解 第5步051015202530354045505560657075任 意 时 刻 的 流 量 图时