数学分析华东师大第四版1级数的收敛性ppt课件

1、1 级数的收敛性 级数是数学分析三大组成部分之一，是逼近理论的基础，是研究函数、进行近似计算的一种有用的工具. 级数理论的主要内容是研究级数的收敛性以及级数的应用.对于有限个实数对于有限个实数 u1,u2,un u1,u2,un 相加后还是一个实数，相加后还是一个实数，这是在中学就知道的结果这是在中学就知道的结果, ,那么那么“无限个实数相加无限个实数相加”会有什么结果呢？请看下面的几个例子会有什么结果呢？请看下面的几个例子. . 如在第二如在第二章提到章提到 N)m0(N)和和p0p0，有，有0000120.(7)mmmpuuu 由定理由定理12.112.1立即可得如下推论立即可得如下推论.

2、 .推论推论( (级数收敛的必要条件级数收敛的必要条件) ) 若级数若级数(1)(1)收敛收敛, ,那么那么 lim0.nnu注注 推论是级数收敛的一个必要条件推论是级数收敛的一个必要条件: :一般项不趋于一般项不趋于 零零, , 级数一定发散级数一定发散, , 但一般项趋于零但一般项趋于零, , 则级数未必则级数未必 收敛，因此用来判断级数发散很有效收敛，因此用来判断级数发散很有效. . 如级数如级数 1( 1)1( 1)例例3 3 讨论调和级数讨论调和级数111123n的敛散性的敛散性. . 解解 这里一般项这里一般项 10nun,不能利用推论判断级数不能利用推论判断级数 的敛散性的敛散性

3、. . 因为一般项因为一般项un=( )n-1un=( )n-1不趋于零，所以发散不趋于零，所以发散. . 1 若令若令 p = m, p = m, 则有则有122111122mmmuuummm111222mmm1,201,2 故取故取对任何正整数对任何正整数 N N 只要只要 m N m N 和和 p = m p = m 就有就有(7)(7)式成立，因此调和级数发散式成立，因此调和级数发散. . 例例4 判断级数判断级数 111nnnnnnn 的敛散性的敛散性. 解解 因为因为 2121111111limlimlim10nnnnnnnnnnnnnnnnnnn nn 所以由级数收敛的必要条件知

4、原级数发散所以由级数收敛的必要条件知原级数发散. . 例例5 5 运用级数收敛的柯西准则证明级数运用级数收敛的柯西准则证明级数 21n收敛收敛. .证证 由于由于 12mmmpuuu222111(1)(2)()mmmp 111(1)(1)(2)(1)()m mmmmpmp1111111121mmmmmpmp 11mmp1.m因而因而, 10,N 对对任任意意可可取取当当mN及任意正及任意正 整数整数 p,由上式可得由上式可得 121,mmmpuuum 21n依依级级数数收收敛敛的的柯柯西西准准则则, ,知知级级数数收敛收敛. 注注 级数级数11(1)nn n 的收敛性已由例的收敛性已由例5的证

5、明过程所的证明过程所 显示显示. . 定理定理12.2 ,nnuv若级数与都收敛若级数与都收敛则对任意常则对任意常 数数c, dc, d，()nncudv级级数数亦收敛，且亦收敛，且().nnnncudvcudv根据级数收敛的柯西准则根据级数收敛的柯西准则, 级数级数nu的收敛与否与的收敛与否与 级数前面有限项的取值无关级数前面有限项的取值无关. .从而可得到以下定理从而可得到以下定理. . 定理定理12.3 12.3 去掉、增加或改变级数的有限项并不改变去掉、增加或改变级数的有限项并不改变 级数的敛散性级数的敛散性. . 注注 去掉、增加或改变级数的有限项虽不改变该级去掉、增加或改变级数的有

6、限项虽不改变该级数的敛散性，但在收敛时，其和一般还是要变的数的敛散性，但在收敛时，其和一般还是要变的. . 由定理由定理12.312.3知知, , 1,nnu若若级级数数收收敛敛 其和为其和为S,S,则级数则级数12(8)Lnnuu.(8)nnnRSSu也也收收敛敛, ,且且其其和和式式称称为为级级数数的的第第 n n 个余项个余项( (简称余项简称余项), ), 它表示以部分和它表示以部分和 Sn Sn 代替代替S S 时所产生的误差时所产生的误差. . 定理定理12.4 12.4 在收敛级数的项中任意加括号在收敛级数的项中任意加括号, , 既不改变既不改变 级数的收敛性级数的收敛性, ,也

7、不改变它的和也不改变它的和. . ,.nuS为为收收敛敛级级数数 其其和和为为nu下下面面证证明明加加证证 设设括号后的级数括号后的级数111()kknnkuu收敛收敛, 且其和也是且其和也是 1121121.,nnnSvuuvuu为为此此，记记11,kkknnvuu 则则11111().kknnnknkkuuuvkknnvSS的的部部分分和和数数列列是是的的一一个个子子列列。由由于于limknnnnSSSS收收敛敛, ,且且. .故故由由子子列列性性质质，也也收收敛敛，lim,.knkkSSvS且且即即级级数数收收敛敛, ,且且它它的的和和也也等等于于注注 从级数加括号后的收敛从级数加括号后

8、的收敛, ,不能推断它在未加括号不能推断它在未加括号 于是于是, 假设假设 为收敛级数为收敛级数nu的部分和数列的部分和数列, 则级数则级数 nS时也收敛时也收敛. . 例如例如 (11)(11)(11)0000,收敛收敛, , 但级数但级数 1111 却是发散的却是发散的. .*例例6 证明级数证明级数1213nnn收敛，并求其和收敛，并求其和.1213nnkkkSlimnnS证证 令令 ，若能求出，若能求出, 就能得到所就能得到所 要的结论要的结论. . 由于由于 11112121333nnnnkkkkkkSS1111112121213333nkknkkkn1111112121333nnkkkkkk11111221333nknkn 12111121213333nknkn 12121,333nnn 所以所以 13 2121,2 333nnnnS 于是于是 13 2121lim1.2 333nnnnnS 这样就证明了级数这样就证明了级数1213nnn 收敛收敛, 并且其和为并且其和为1.复习思考题 1,()nnn